Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 3
Текст из файла (страница 3)
7: Распределение магнитного поля вблизи длинного тонкого цилиндраBHcHРис. 8: Кривая намагниченности цилиндра в однородном поле параллельном образующей11zBrθxAРис. 9: Кривые намагниченности цилиндра и сферы в однородном магнитном полеH. Примем направление поля H за ось z, ось y направим вдоль образующей, ось x перпендикулярноим обеим. Введем полярные координаты в плоскости x, z с центром на оси цилиндра, как показанона Рис.9 и перепишем уравнение Лапласа 14 в этих координатах1 ∂21 ∂ ∂ψr+ 2 2 = 0.r ∂r ∂rr ∂θ(16)Поскольку магнитное поле при r → ∞ должно стремиться к однородному, то потенциал ψ должен стремиться к −(Hr) = −Hr cos θ.
Поэтому естественно искать решение 16 в виде ψ(r, θ) =Ψ(r) cos θ,, обеспечивающим правильную (такую же как на ∞) угловую зависимость. Уравнениедля радиальной части11 ∂ ∂Ψr− 2Ψ = 0(17)r ∂r ∂rrлегко решается и его общее решение есть Ψ(r) = Ar + Br−1 , где A и B- произвольные постоянные.Отсюда, используя условия на бесконечности и регулярности решения в начале координат, находимдля потенциала внутри и снаружи следующие выраженияΨi = −Hi rΨe = −Hr − Ar −1(18)c двумя неопределенными коэффициентами Hi и A, которые легко находятся из условия непрерывности потенциала на поверхности цилиндра.Ψi = Ψe |r=a ,∂r Ψe |r=a = Ber |r=a = 0(19)Находя коэффициенты получаемΨi = −2HrΨe = −H(r + a2 r −1 ),откуда следует, что• напряженность H внутри однородна и равна удвоенному полю на бесконечности• поле снаружи представляет суперпозицию однородного и дипольного поля.
Величина дипольного момента A = a2 H123.2.3Сверхпроводящий шар в магнитном полеЗадача о сверхпроводящем шаре в магнитном поле практически, с точностью до некоторых деталей аналогична задаче о цилиндре, решенной в предыдущем пункте. В меридиональной плоскостикартинка силовых линий и геометрия задачи выглядит точно также, как и для цилиндра и какпоказано на Рис.9. Система координат теперь будет сферической, и мы будем должны решитьуравнение Лапласа для магнитного потенциала и удовлетворить условию однородности поля набесконечности ψ(r, ϕ, θ) → −(Hr) = −Hr cos θ.
Записывая уравнение Лапласа 14 в сферическойсистеме координат1∂1 ∂21 ∂1 ∂ 2 ∂ψr+sinθ+ψ = 0.(20)r 2 ∂r ∂rr 2 sin2 θ ∂ϕ2sin θ ∂θ∂θи отыскивая решение, обладающее угловой зависимостью поля на бесконечности ψ(r, ϕθ) =Ψ(r) cos θ найдем для Ψ(r), уравнение аналогичное уравнению 1711 ∂ 2 ∂Ψr− 2 Ψ = 0,2r ∂r ∂rr(21)общее решение которого есть Ψ = Ar + Br−2 иΨi = −Hi rΨe = −Hr − Ar −2(22). Находя коэффициенты из граничных условий, которые выглядят также как в предыдущей задаче,получаем3a3Ψi = − Hr Ψe = −H(r + 2 ),22r.Пока напряженность магнитного поля внутри образца Hi не превышает Hc образец находитсяв сверхпроводящем состоянии и Bi = 0.
Такое состояние реализуется при H < Hc /2 для цилиндраи H < 2Hc /3 для сверхпроводящей сферы. При H > Hc реализуется нормальное состояние. А какое состояние реализуется при промежуточных значениях магнитных полей, при Hc /2 < H < Hcдля сверхпроводящего цилиндра и 2Hc /3 < H < Hc для сферы. Легко сообразить, что это состояние не может быть сверхпроводящим, так как при этом Bi = 0 и магнитное поле Hi превышалобы критическое значение и сверхпроводимость бы разрушилась. Это состояние не может быть инормальным, так как при этом Bi = Hi < Hc и сверхпроводимость должна была бы возникать.Ответ заключается в том, что при таких промежуточных значениях полей реализуется такназываемое промежуточное состояние, структура которого будет рассмотрена после изучения термодинамики сверхпроводящего перехода, в п.4.3.
В этом промежуточном состоянии внутренняянапряженность магнитного поля в точности равна критическому значению Hi = Hc а магнитнаяиндукция имеет произвольное значение, определяемое уравнениями Максвелла. Поэтому для определения коэффициентов в формулах 22 и 18 нужно использовать не условие 19 c Ber |r=a = 0, аусловие Hi = Hc , что дает вместо Biz = 0 следующие значения для внутреннего поля BBi = 2H − Hc для цилиндраBi = 3H − 2Hc для сферы(23)(24)Картинки кривых намагничения сверхпроводящих цилиндра и сферы приведены с учетом существования промежуточного состояния приведены на Рис.1013BBHc/2Hc2Hc/3 HcHHРис. 10: Кривые намагниченности цилиндра и сферы в однородном поле14S1, E1, V1, N1S2, E2, V2, N2Рис.
11: Установления равновесия в замкнутой системе4Элементарная термодинамика сверхпроводящего перехода4.1Краткие изложение основных понятий термодинамикиГлавное содержание термодинамики заключается в формулировке вариационного принципа, указывающего направление развития неравновесных систем и играющего роль принципа наименьшегодействия в динамике. Этот вариационный принцип называется вторым началом термодинамикиили принципом возрастания энтропии.• Принцип возрастания энтропииКратко этот принцип можно сформулировать следующим образом.
Для изолированной системысуществует функция S - энтропия, которая при стремлении системы к равновесию возрастает, и вравновесии достигает своего максимального значения. Чтобы понять как работает этот принцип,рассмотрим мысленный эксперимент. В сосуде с жесткими стенками находится газ, который состоит из двух частей 1 и 2 каждая из которых находится во внутреннем равновесии, но не в равновесиимежду собой. Схема мысленного эксперимента изображена на Рис.11. Тогда энтропия каждого изкусков будет функцией их внутренних энергий, объемов и чисел частиц,S1 = S1 (E1 , V1 , N1 )S2 = S2 (E2 , V2 , N2 ),а общая энтропия будет суммой энтропий кусковS = S1 + S2Потребовав максимума энтропии при изменении E1 и учтя сохранение энергии δE1 = −δE2 мынайдем, что в равновесииδS1δS211δS=−=−= 0.(25)δE1δE1δE2T1T2При переходе к последнему равенстве мы воспользовались обычных определением температуры дляравновесной системыδS.(26)T −1 =δEИ таким образом мы из закона возрастания энтропии пришли к выводу, что при стремлении системк взаимному равновесию у них выравниваются температуры.
Из этого определения температуры15следует, что поток тепла, переданный системе квазистационарным образом может быть записанкак δQ = T δS. Если же тепловой поток передается неравновесным (необратимым, не квазистационарным) образом, то в силу возрастания энтропииδQ − T δS ≤ 0(27)Это так называемая формулировка второго начала термодинамики в форме неравенства Клаузиуса.Напишем теперь изменение энергии δE для какой либо термодинамической системы,δE = T δS + δA + µδN(28)связанное, соответственно с приходом тепла от окружающей среды, с работой окружения над системой и переносом частиц.
Если термодинамическая система - газ, то δA = −pδV , где p-давлениеиδE = T δS − pδV + µδN(29)Это равенство определяет функцию E как функцию независимых переменных S, V, N . Говорят, чтовнутренняя энергия представляет термодинамический потенциал в переменных S, V, N . Это дифференциальное равенство 29 фактически определяет температуру, давление и химический потенциалT =δE,δSP =−δE,δVµ=δE,δN(30)соответственно.Возвращаясь к условиям равновесия неравновесной системы, показанной на Рис.11, еще разнапомним, что они находятся путем приравнивания производных энтропииS = S1 (E1 , V1 , N1 ) + S2 (E2 , V2 , N2 )по внутренним параметрам E1 , V1 , N1 нулю.δS1δS211δS=−=−=0δE1δE1δE2T1T2δS1δS2P1P2δS=−=−+=0δV1δV1δV2T1T2δS1δS2µ1µ2δS=−=−=0δN1δN1δN2T1T2(31)(32)(33)Эти условия представляют хорошо известные условия теплового, механического и химическогоравновесия, выражающие баланс потоков энергии, импульса и частиц между двумя подсистемами.В качестве независимых переменных для термодинамического потенциалов вместо энтропии Sможет быть выбрана температура T = δE/δS.
Преобразование к новым переменным осуществляется с помощью преобразования Лежандра. Рассмотрим равенство 29, добавим и вычтем SδTоткудаδE = T δS − pδV + µδN = T δS + SδT N = δ(T S) − SδT − pδV + µδN(34)δF (T, V, N ) = δ(E − T S) = −SδT − pδV + µδN(35)Это термодинамический потенциал называется свободной энергией (или свободной энергией Гельмгольца) и зависит от переменных T, V, N. Производя аналогично преобразования Лежандра поостальным переменным можно определить другие термодинамические потенциалы, такие как энтальпияδW (S, P, N ) = δ(E + P V ) = T δS + V δP + µδN(36)и свободная энергия Гиббса (или просто термодинамический потенциал)δG(T, P, N ) = δ(E − T S + P V ) = −SδT + V δP + µδN16(37)BNSjeРис. 12: Двухфазный образец в магнитном полеТаким образом, чтобы описать состояние вещества, достаточно задать один из функционаловS(E, V ) или E(S, V ), или F (T, V ), или G(T, p).
Все остальные функции получают дифференцированием исходного функционала по различным переменным.Термодинамические потенциалы зависящие от T , такие как свободная энергия F (T, V ) и термодинамический потенциал G(T, P ) позволяют сформулировать второе начало термодинамики какпринцип убывания этих потенциалов при фиксированных T, V и T, P соответственно. Действительно, рассмотрим, например изменение во времени свободной энергииdE − T SdEdSdQdSdF==−T=−T≤ 0.dtdtdtdtdtdt(38)При получении этого неравенства было использовано определение 35, равенство δE = δQ, V = constи неравенство Клаузиуса 27Теперь мы можем перейти к изложению элементарной термодинамики сверхпроводников.4.2Выбор термодинамической системы и окружения.
Выражение дляработы иВ качестве основы для термодинамического описания сверхпроводящего перехода рассмотрим образец в форме длинного узкого цилиндра, помещенного в однородное магнитное поле, параллельное образующей цилиндра. Магнитное поле создается какой то внешней системой, показанной наРис.12 в виде катушки. Если в цилиндре сосуществуют нормальная и сверхпроводящая фазы, тобудем предполагать, что граница раздела фаз тоже имеет цилиндрическую форму параллельнуюмагнитному полю.Применим термодинамическое описание, рассмотренное в предыдущем параграфе для газа, ксверхпроводникам.
Отметим, что для сверхпроводников такой подход должен быть модифицирован, т.к. его состояние определяется не только T, V, N , но также магнитным полем и тангенциальными напряжениями. Сверхпроводник - твердое тело, и работа над ним со стороны внешних силзаписывается не как для газа δA = −P δV , а, строго говоря, какδA = −3Xσi,k δuk,i ,i,k=1где σi,k - тензор натяжений, а ui,k - тензор деформации. Однако, из-за того что в магнитном поле насверхпроводник действует только нормальное давления, мы сможем пренебречь этой спецификойсверхпроводника как твердого тела и записывать механическую работу как δA = −P δV . Итак, вкачестве термодинамической системы будем рассматривать систему ”сверхпроводник + магнитноеполе”, а катушку, создающую магнитное поле и газ в лаборатории, который давит на образец будемотносить к окружению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
