Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Естественно, что величина критического магнитного поля зависит от температуры. График зависимости Hc (T ) Рис.3 разделяет плоскость H, T на две области,в одной из которых реализуется сверхпроводящее состояние, в другой - нормальное.
Эта картинка называется фазовой диаграммой. На рис.3 показаны два типа возможных фазовых диаграммсверхпроводников. Сверхпроводники с фазовой диаграммой, показанной на Рис.3 (a), называютсясверхпроводниками первого рода. К ним относятся сверхпроводники из чистых элементов, кромеN b. Все сверхпроводники из сложных соединений и и N b - сверхпроводники 2-ого рода. Их типичная фазовая диаграмма изображена на Рис.3 (b), она отличается от Рис.3 (a) тем, что линия Hc (T )расщеплена на две Hc1 и Hc2 и при промежуточных магнитных полях Hc1 < H < Hc2 реализуетсяпространственно неоднородное, так называемое, смешанное состояние.5Приведем характерных значений критического поля Hc (0) для некоторых сверхпроводников:W - Hc (0) ' 1Gs,Hg - Hc (0) ' 411Gs,N b - Hc (0) ' 2060Gs.Кроме критической температуры и критического магнитного поля, существует также и критический ток, при превышении которого сверхпроводимость пропадает. Для достаточно толстыхпроводов, критический ток может быть найден из условия, чтобы магнитное поле на поверхностипровода Hsurf = Hc .1.2Эффект МейсснераУдивительно, но до 1933 года, никто из исследователей не задался вопросом о проникновении магнитного поля в сверхпроводник.
По-видимому ответ казался тривиальным и следовал из представления о сверхпроводнике как о проводнике с бесконечной проводимостью σ = ∞. В соответствии сэтими воззрениями при переходе в сверхпроводящеее состояние магнитное поле должно бы остатьсятаким же, каким было до перехода, или говоря другими словами, замораживаться. Действительно,из материального соотношенияj = σEи условия конечности тока и бесконечности проводимости следуетE = 0,откуда, используя уравнение Максвелла∂B= −crotE,∂tмгновенно получаем∂B= 0,∂tт.е поле B - постоянно во времени, заморожено.
Если бы мы заморозили сверхпроводник в нулевомполе, а потом поле включили, мы получили бы картинку силовых линий как на Рис.4-(a), а еслиохлаждали в конечном поле, то поле не изменилось бы, и картинка была бы как Рис.4-(b).Австрийский ученый Мейсснер предположил что вопрос о проникновении магнитного поля всверхпроводник не совсем тривиален и в 1933 году предпринял экспериментальные исследованияи обнаружил эффект, который носит его имя.
Он обнаружил, что независимо от того в нулевомили конечном поле происходит переход в сверхпроводящее состояние, в конечном состоянии внутрисверхпроводника всегда B = 0 и картинка силовых линий выглядит как показано на Рис.4-(a).Это и есть содержание эффекта Мейсснера, из сверхпроводника магнитное поле выталкивается ивнутри сверхпроводника магнитное поле B = 0.
Можно сказать, что сверхпроводник представляетсобой идеальный диамагнетик.2Элементарные электродинамические следствия из существования эффекта МейсснераОбозначим индексами e, i поля снаружи и внутри сверхпроводника. Тогда из уравненияdivB = 0и следующего из него граничного условия непрерывности нормальных компонентBne = Bni6BBÑâåðõïðîâîäíèêSРис. 4: Распределение магyxfBjРис. 5:7и условия Bi следует что внешнее магнитное поле чисто тангенциально и картинка силовых линийвнешего магнитного поля вблизи сверхпроводника выглядит какпоказано на Рис.4-a и Рис.5.Раз в глубине сверхпроводника Bi = 0, то вблизи поверхности сверхпроводника, в слое некоторой толщины, должен течь ток.
Толщину слоя где течет ток называют глубиной проникновениямагнитного поля в сверхпроводник или Лондоновской глубиной. Введем систему координат вблизиповерхности сверхпроводника как показано на Рис.5 Интегрируя уравнение Максвелла rotB = 4πc jjгдеповерхностнаяплотностьтокавдоль нормали к поверхности найдем Bext y = 4πsurfzcZ 0jdx.jsurf =−∞Выражение для поверхностного тока можно записать в инвариантном векторном видеc[nBe ].jsurf =4πПоскольку в поверхностном слое сверхпроводника течет ток и есть магнитное поле, то на поверхность сверхпроводника будет действовать сила Лоренца, объемная плотность которой равна11[rotB × B].f = [jB] =c4πДля нахождения поверхностной плотности силы необходимо выполнить интегрирование по глубине,которое проще всего выполнить проектируя векторное соотношение на оси системы координатZ 0Z 0B2∂By1dx = − e .fx dx = −Byfxsurf =4π −∞∂x8π−∞Возвращаясь к инвариантным векторным обозначениям, получаемBe2.(1)8πНормальная компонента поверхностной силы представляет собой давление, и мы, таким образом,B2получили что на сверхпроводник в магнитном поле действует магнитное давление P = 8πe .f surf = −nP,3P =Сверхпроводник в магнитном поле.
Аналогия с магнетиком.• Уравнения Максвелла в различных формах, ток, намагниченность, поляризация, напряженности и индукции полей. Квазистатическое приближение.• Материальное уравнения для сверхпроводника, аналогия с магнетиком• Граничные условия на поверхности сверхпроводника, поверхностный ток, магнитное давление• Задачи о сверхпроводящих шаре и цилиндре в однородном магнитном поле3.1Уравнения Максвелла. Индукции и напряженности.Напомню некоторые сведения из электродинамики, которые нам понадобятся при описании сверхпроводников.
В качестве основных уравнений будем использовать уравнения Максвелла в двухвектороной форме, описывая электромагнитное поле двумя векторами E, B, представляющие усредненные напряженность электрического и индукцию магнитного полей. Уравнения запишем в форме∂E= crotB − 4πj∂t∂B= −crotE∂tdivE = 4πρ, divB = 0,8(2)(3)(4)подчеркивающей, что с динамической точки зрения мы имеем только два эволюционных уравнения для полей E, B, третье уравнение представляет определение плотности электрического заряда,удовлетворяющего уравнению непрерывности, а четвертое уравнение есть просто ограничение надопустимые начальные условия для магнитного поля.
Эти уравнения должны быть дополненыматериальной связью, описывающей динамику вещества и дающей связь электрического тока cэлектромагнитным полем. Часто представляют материальную связь в видеj = σ̂E,где оператор σ̂ называется оператором проводимости.Четырехвекторная форма уравнений Максвелла получается при выделении из полного тока jтоков поляризации, намагниченности и остальных.∂P+ crotM + je .(5)∂tЗдесь P, M - вектора поляризации и намагниченности, je - внешний или сторонний ток, не включенный в ток поляризации и намагниченности. Это разделение неоднозначно и всегда необходимодоговариваться что понимается под каждым вкладом в ток.
Например, весь ток может быть включен в ток поляризации Подставляя выражение для тока 5 в уравнения Максвелл 6 и объединяячлены под знаком rot и ∂t мы придем кj=∂D= crotH − 4πje∂t∂B= −crotE∂tdivD = 4πρe , divB = 0,(6)(7)(8)Вектора электрической индукции D и напряженности магнитного поля H образованы следующим(стандартным) образомD = E + 4πP, B = H + 4πM.Материальные связи для четырехвекторных уравнений выглядят следующим образомD = ˆE,B = µ̂H,je = σ̂E,где , µ электрическая и магнитная проницаемости.3.2Сверхпроводник во внешнем магнитном поле.Типичная схема эксперимента по измерению магнитных свойств сверхпроводника выглядит следующим образом.
Сверхпроводник помещают во внешнее магнитное поле, созданное внешним токомje ,, текущим по катушке. Геометрия эксперимента показана на Рис.6Если предположить, что изменение (включение) тока происходит медленно, с характернымвременем T L/c, где L - характерный масштаб магнитного поля, то будет применимо квазистатическое приближение, заключающееся в пренебрежении током смещения (производной ∂t E) вуравнениях Максвелла.
В этом приближении уравнения выглядят следующим образом.crotB = 4πj,divB = 0(9)∂B,(10)crotE = −∂tТеперь удобно разбить полный ток на внутренний, текущий по сверхпроводнику, и внешний токиj = ji + je и внутренний ток представить в виде тока намагниченности ji = crotM, и ввести векторH = B − 4πM. Уравнения 9 примут видcrotH = 4πje ,divB = 0∂B,crotE = −∂t9(11)(12)BÑâåðõïðîâîäíèêSjeРис. 6:а материальная связь между полями B и H может быть записана в виде B = µH, где, посколькуBi = 0, то µ = 0 внутри сверхпроводника и µ = 1 вне.
Из уравнений 11 следуют граничные условиянепрерывности тангенциальных компонент H и нормальных компонент B на границе сверхпроводника(13)Bne = Bni Hτ e = Hτ iДавайте используем приведенные уравнения для нахождения распределений магнитного полявокруг сверхпроводящих образцов различной формы, помещенных в однородное магнитное поле H0и найдем кривые намагничения, т.е.
зависимости B(H0 ) и M (H0 ), предполагая что сверхпроводникявляется сверхпроводником первого рода или что при B = Hc происходит фазовый переход изсверхпроводящего в нормальное состояние.Из уравнения crotH = 4πje и граничного условия на границе сверхпроводника следует, что полеH потенциально в области где je = 0. Поэтому мы можем искать поле H в виде H = −gradψи придем к уравнению divµgradψ = 0, откуда следует, что снаружи и внутри сверхпроводникамагнитный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа∆ψe,i = 0,c граничными условиямиψi |S = ψe |S ,∂ψ/∂n|S = 0,(14)(15)выражающими непрерывность потенциала на границе сверхпроводника и равенство нулю нормальной производной.
Последнее условие следующет из равенства нулю поля внутри.3.2.1Длинный узкий цилиндр в магнитном поле, параллельном образующейЭтот случай наиболее прост. Если цилиндр длинный и узкий L a, где L длина, a - радиусцилиндра, то из условия непрерывности тангенциальной компоненты H следует, что магнитноеполе вдали от концов цилиндра практически не возмущено.
Это иллюстрирует Рис.7, на которомпоказана картина силовых линий. Напряженность H(r) однородна, не искажается присутствиемсверхпроводника и не зависит от того в сверхпроводящем или нормальном состоянии находится образец. Bнутри образца B = 0 и 4πM = −H когда образец находится в сверхпроводящем состояниии B = H, M = 0 когда образец - в нормальном состоянии. Здесь и в дальнейшем мы будем считать нормальное состояние металла слабо магнитным и пренебрегать отличием µ в нормальномсостоянии от единицы.3.2.2Цилиндр в магнитном поле, перпендикулярном образующейКартина силовых линий магнитного поля вокруг цилиндра качественно показана на Рис.4, а для еёаналитического нахождения мы должны решить уравнение 14 с условиями 15 на поверхности сверхпроводника, так чтобы при r → ∞ магнитное поле стремилось бы к однородному с напряженностью10HBXM-A+AxРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
