Учебное пособие - Физика сверхпроводников. Вводный курс - Курин В.В. (1238778), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Будем считать, что с точки зрения рассматриваемойфеноменологической теории два соприкасающихся металла 1, 2 различаются коэффициентами a1 , a2и будем считать, что при рассматриваемой температуре T a1 > 0, a2 < 0, так что слева мы имеемсверхпроводник, а справа- нормальный металл. Границу между сверхпроводниками будем считатьрезкой в масштабе длин когерентности, так что можно воспользоваться кусочно постоянной аппроксимацией функции a(x), как показано на Рис.19 b), но в тоже время плавной, чтобы былоприменимо дифференциальное уравнение Гинзбурга-Ландау−~2 ∂ 2 Ψ+ a(x)Ψ + b|Ψ|2 Ψ = 0,4m ∂x2(84)где a меняется в узкой области перехода, а за границами этой области постоянна.
Заметим также,что параметр порядка может быть выбран действительным. Интегрируя уравнение по области31a(x), Ψ(x)SΨ(x)NA(x)−εa1x+εa2xРис. 19: Эффект близости - проникновение сверхпроводимости в нормальный металлперехода нетрудно получить граничные условия связывающие поля слева и справа от переходнойобласти, которые выражают непрерывность функции и её производной слева и справа от скачка a.Ψ(−0) = Ψ(+0), Ψx (−0) = Ψx (+0).В глубине нормальной области x → ∞ параметр порядкадолжен стремиться к нулю, а в глубинеpсверхпроводника - к своему равновесному значению |a1 |/b Уравнение 84 c постоянным a−~2 ∂ 2 Ψ+ aΨ + bΨ3 = 0,4m ∂x2(85)может быть решено точно и его решение выражается через эллиптические функции Якоби, а принаших граничных условиях эти функции Якоби еще и выродятся в элементарные функции.
Чтобыэто показать, заметим, что домножая на Ψx , мы можем свести его к видуb~2 2∂Ψx + aΨ2 + Ψ4 = 0,−∂x4m2откуда находим первый интеграл−b~2 2Ψx + aΨ2 + Ψ4 = C = const4m2(86)Рассмотрим это уравнение для области сверхпроводника, где a = a1 < 0. Находя из граничногоусловия при x → −∞ значение постоянной C = −|a1 |2 /(2b) запишем уравнение для области x < 02|a1 |~2 2 b2Ψ += 0,Ψ −−4m x 2bоткуда сразу же следует решение−Ψ =r|a1 |tanhbp!2m|a1 |(x − x1 ) ,~где x1 - произвольная постоянная. Рассматривая уравнение ГЛ в форме 86 для нормального металла, из граничных условий, что при x → ∞ Ψ → 0 мы найдем значение постоянной C = 0, иуравнение для параметра порядка в нормальном металле|a2 |~2 2 b 22Ψ + Ψ Ψ += 0,−4m x 2bрешение которого имеет видrΨ+ =a2sinh−1b√2ma2(x − x2 ) .~32+Требуя непрерывности параметра порядка Ψ− = Ψ+ и его производной Ψ−x = Ψx при x = 0 мынайдем неопределенные постоянные x1,2 и тем самым решение поставленной задачи.
Вид решения изображен на Рис.19. Главным результатом этого параграфа является обнаружение эффектаблизости, что при контакте сверхпроводника и нормального металла, в нормальном металле в узкой области возникает наведенная сверхпроводимость. В свою очередь, нормальный металл портитсверхпроводимость (уменьшает Ψ) в сверхпроводнике.6.4Калибровочная инвариантность и взаимодействие с магнитным полем. Уравнения Г-Л.Взаимодействие с магнитным полем основывается на уже обсуждавшейся аналогии уравнения 80 cуравнением Шредингера. Напомним, как входит магнитное поле в уравнения квантовой механики- уравнение Шредингера. Выпишем хорошо вам известное уравнение Шредингера для волновойфункции одной свободной частицы в отсутствие электромагнитного поляi~ψ̇ =1p̂2ψ=(−i~∇)2 ψ;∗2m2m∗p̂ = −i~∇(87)и в присутствии егоi~ψ̇ =1e∗(p̂ − 2e/cA)2ψ + e∗ ψ =(−i~∇ − A)2 ψ + e∗ ϕψ,∗∗2m2mc(88)и заметим, что уравнение 87 отличается от 88 заменой временных и пространственных производных на ковариантные или ”удлиненные”производные−i~∇ → −i~∇ −e∗A, и i∂t → i∂t − e∗ ϕ,c(89)где A, ϕ - векторный и скалярный потенциал электромагнитного поля, связанные с полевыми векторами E, B соотношениями1 ∂A− ∇ϕ.(90)B = rotA, E = −c ∂tВхождение потенциалов в квантовую теорию в виде 89 обеспечивает калибровочную инвариантность, знакомую вам по курсу классической электродинамики.Остановимся несколько на понятии калибровочной инвариантности.
Потенциалы электромагнитного поля определены неоднозначно. Как легко видеть из 90 электрическое и магнитное поляостанутся неизменными, если мы подвергнем потенциалы калибровочному преобразованию,A → A + ∇f,ϕ→ϕ−1 ∂fc ∂t(91)Нетрудно также видеть что классическая механика, как релятивистская, так и нерелятивитская,инвариантны относительно калибровочного преобразования, поскольку уравнения движения частицмогут быть записаны в форме, когда электромагнитное поле входит в них только через силу Лоренца1F = e∗ E + [v × B],cкуда входят только поля E, B, которые калибровочно инвариантны.
В квантовой же механике,уравнение движения частицы - уравнение Шредингера 88, явным образом содержит потенциалы, иказалось бы не может быть калибровочно инвариантным. Однако, если мы наряду с 91 преобразуем∗фазу волновой функции ψ → ψeie f /~c , т.е. сформулируем калибровочные преобразования какA → A + ∇f,ϕ→ϕ−331 ∂f,c ∂tψ → ψeie∗f /~c,(92)то нетрудно проверить, что при таком преобразовании уравнение Шредингера, в которое временныеи пространственные производные входят в виде 89 останется неизменным, поскольку добавка кпотенциалу будет скомпенсирована производной от фазы∗∗e∗e∗(A + ∇f )]ψeie f /(~c) = eie f /(~c) [−i~∇ − A]ψ,cc∗∗1[i~∂t − e∗ (ϕ − ∂t f )]ψeie f /(~c) = eie f /(~c) [i~∂t − e∗ ϕ]ψc[−i~∇ −(93)(94)∗и не равный нулю множитель eie f /(~c) проносится через все уравнение.
В силу этого же равенствапри калибровочном преобразовании 92 остается инвариантной любая физическая величина, которая,как известно, выражается как среднее отψ ∗ Q(−i~∇ −e∗A)ψ,cгде Q(p̂) произвольная функция оператора p̂, понимаемая как разложение в ряд Тейлора.
Такимобразом и квантовая и классическая механика, как и электродинамика являются калибровочноинвариантными. Калибровочная инвариантность в настоящее время является стандартным требованием, которому должна удовлетворять нормальная физическая теория.Потребуем, чтобы и наша теория Гинзбурга-Ландау включала взаимодействие с электромагнитным полем калибровочно инвариантным образом, подобно квантовой механике.
Вспоминая, чтозаряд куперовской пары e∗ = 2e, можно заключить, что мы должны заменить пространственныепроизводные в выражении для свободной энергии 79 на ”удлиненные”−i~∇ → −i~∇ − 2ec A, и добавить выражение для магнитной энергии, в результате придем к следующему выражению длясвободной энергии теории Гинзбурга-ЛандауZ2e11|Ψ|4|(−i~∇ − A)Ψ|2 + a|Ψ|2 + b+(rotA)2 d V.(95)F [Ψ] = F0 +4mc28πТеперь, требуя экстремальности свободной энергии по отношению к параметру порядка и векторному потенциалу, который теперь тоже является динамической переменной, получим следующиеусловияδFδFδF= 0,= 0,= 0.δΨ∗δΨδAПервые две вариации мы можем заново не вычислять, совершенно очевидно, что они приведут к калибровочно инвариантному обобщению уравнения 80 и граничного условия для параметра порядка81, которые мы можем получить путем замены производных на ”удлиненные”и сразу же записать2e1(−i~∇ − A)2 Ψ + aΨ + b|Ψ|2 Ψ = 0,4mc(96)2eA)Ψ)|S = 0,(97)cУравнение же для векторного потенциала придется вывести путем непосредственного вычислениявариационной производной.
Представим полную свободную энергию как сумму свободных энергийвещества и поляF = Fmatter + Ffield ,(n • (−i~∇ −гдеZFmatter = F0 +2e1|Ψ|4|(−i~∇ − A)Ψ|2 + a|Ψ|2 + bdV4mc2Z1(rotA)2 d VFfield =8π34(98)и вычислим сначала вариацию полевой частиZ1(rotA)(rotδA)d V.δFfield =4πЗдесь область интегрирования - все пространство, а не объем сверхпроводника Vs , V = Vs + Vout .Преобразуя δFfield с использованием формулыdiv[a × b] = brota − arotb, a = δA, b = rotA,мы найдем для объемной частиZδFfield =1(rotrotA)δAd V.4πоткуда мы найдем, что1δFfield=rotrotA.δA4πЭто выражение представляет часть уравнения МаксвеллаrotrotA =4πj,c(99)откуда следует, что плотность тока дается выражениемj = −cδFmatter.δA(100)Поскольку функционал Fmatter не содержит пространственных производных по A мы можем простозаписать, что∂ 12eδFmatter= −c|(−i~∇ − A)Ψ|2 ,j = −cδA∂A 4mcи окончательно записать выражение для токаj=−2e2 2ie~ ∗(Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) −|Ψ| A.2mmc(101)В заключение параграфа приведем сводку уравнений Гинзбурга-Ландау и граничных условийна границе сверхпроводника и вакуума2e1(−i~∇ − A)2 Ψ + aΨ + b|Ψ|2 Ψ = 0, (n • (−i~∇ − 2ec A)Ψ)|S = 0,4mc2e2 2ie~ ∗4π(Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) −|Ψ| A = 0,[Bτ ] = 0,−rotrotA −c2mmc(102)(103)а также формулу, выражающую свободную энергию 95 на решениях уравнения Гинзбурга Ландау,представляющую обобщение формулы 104 на случай ненулевого магнитного поляZbB2dV.(104)F [Ψ] = F0 + − |Ψ|4 +28π6.5Различные формы записи тока в теории Гинзбурга-Ландау.
Связь стеорией Лондонов.Представим комплексный параметр порядка в форме Ψ = |Ψ|eiθ и подставим в выражение для тока101. Поскольку−i(Ψ∗ ∇Ψ − Ψ∇Ψ∗ ) = 2|Ψ|2 ∇θ35то выражение для тока может быть представлено в виде2ee2j = |Ψ| ~∇θ − A = ens vs , где ns = 2|Ψ|2 ,mc(105)а сверхскорость vs введена соотношением2mvs = ~∇θ −2eA.c(106)Еще раз подчеркнем калибровочную инвариантность теории. В приводимых выражениях для токаэто следует из факта, что векторный потенциал содержится только в комбинации с градиентомфазы параметра порядка ~∇θ − 2(e/c)A.Рассмотрим ситуацию, когда можно пренебречь изменением параметра порядка в пространстве и считать его однородным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
