Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 99
Текст из файла (страница 99)
е. положим: вопрос же о том, в каких случаях целесообразно вводить в рассмотрение второй член этого обп<его решения, будет обсужден во второй половине 2 96. Если в соответствии с 9 94 понимать под я потенциал (скалярный или векторный) электромагнитного поля, то под определяемой уравнением (95.3) величиной я нужно понимать потенциал полн, возбуж<)пел<оси зарядом или током, находящимся в точкс <,). Согласно (95.3), значения потенциала зарядов и токов, находящихся в ь/. распространяются из этой точки в форме шаровой волны скорости о, амплитуда которой убывает обратно пропорционально расстоянию. 3.
Формула (95.3) не может быть справедливой во всех точках пространства, ибо при И =О она обращается в бесконечность, т. е. тернет смысл. Кроме того, при у ~ О искомая функция должна удовлетворять не волновому уравнению, а уравнению Даламбера. Чтобы найти решение этого уравнении, вспомним решенно аналогичной проблемы электростатики. Вне электрических зарядов электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа (ус<( =.О, сферически-симметрическое решение которого <! =<г/)<э аналогично выражению (95.3). Полное решение электростатической проблемы, т. е.
решение уравнения Пуассона <7э<р= --4пр, может быть получено суммированием сфсрически-симметрических решений уравнения Лапласа в форме интеграла ) Их можно найти в любом классическом курсс элскгрннестаа (см., напрнмер: Лоренц. Теорнн элск<ронов. М.. 1'ос<ехнздат, 19)52), гм так>к< Канин Гй б. Векторное нсннсленне н начала тензорного исчисления.— Мл Наука, 1960; см. такж< прнмечанне ь с. 49. (Пуиисн. усд.) В том, нто (95.2) удовлетворяет уравнению (95.1), можно убеднться непосредственной подстановкой.
)(ля <ого аге чтобы показать, по всякое рсюснне уравнення 195 1) лсвпкно нме<ь вял 195.2), введем вместо < н С< новые перенснныс " и и. "=< — йгс'с, и -<+йг/<с Тогда ди ди ди дэи дхи дхи дхи — — + — н —,= — +2 —.+ —; д! дь' дЧ дс~ дьх дй дЧ дЧх дхи ! Г дви дхи дхи х анасюгнчно этому — ~ — ~ — — 2 —, + — ) ° д)(в о ~дйэ дйдЧ дчв )' дви дви дви Внгкя этн нырак саня в (95.1). нолуннм — — —, огкуда — 9. Это дЧ дй дЧ дй '' дЧ д~ значит, нго в оба<ем <'лукас н может состоять нз двух слагаемых, каждая нз которых является пронзвшц ной функцией лншь одного пэ независимых переменных н П. Уравненне (95.2) прссмтавлнсг собой мансмвгннсскую формула!к<вку этого вывода. причем интеграл этот сохраняет конечное значение во всех точках пространства.
Ввиду аналогии между уравнениями Лапласа и волновым, с одной стороны, и уравнениями Пуассона и Даламбера, с другой, можно ожидать, что решение последнего уравнения выразится суммои решений типа (95.3), причем ввиду аналогичной роли функций р и у можно предположить, что Х (С вЂ” <Цо) (95.4) )2 В этом случае потенциал поли, возбуждаемый «зарядом» у (() <((< бесконечно малого элемента объема <()', выразится формулой х (( — )(со),()с 8= совпадающей по виду с выражением (95.3) н аналогичной соответствующей Нчг. ч формуле электростатики В том, что выражение (95.4) действительно является решением уравнения Даламбера (94.8), можно убедиться непосредственной подстановкой уравнений (95.4) в уравнение 194.8) (см.
ниже). Пусть л., у, г суть координаты точки Р, в которой мы разыскиваем значение функции з", х', у', г' —. текушие координаты произвольно расположенного элемента объема «У'„а « — расстояние точки Р от с)У'. Введем обозначение (г = ( — й>'о (95.5) и будем называть У эффективным нрел<енел< в <(У' по отношению ко времени в Р. Тогда формулу (95.4) можно будет записать следуюшим образом: «(х у х г)=~ б(У (95.6) где под «У' нужно понимать произведение с)х' «у' <(г'.
4. Прежде чем проверять подстановкой решение (95.6), проведем аналогичное вычисление для более простого случая: подставим в уравнение Пуассона его решение <р(» у х) ~ р(х у г ) цУг (95ч7) полученное нами в $12 математически безупречным образом. При вычислении ь>><! можно дифференцировать по переменным х, у, г под знаком интеграла, взятого по х', у', г' при условии, что вторые производные подынтегрального выражения конечны и непрерывны во всей области интегрирования. Если в точке наблюдения Р и в конечной области вокруг этой точки плотность заряда р равна нулю, то это условие выполняется (ибо К остается конечным во всей области интегрирования), и мы можем дифференцировать под знаком интеграла.
Ввиду независимости р (л' у' г') от координат х, у, г точки наблюдения Р в этом случае получаем в соответствии с уравнением Пуассона: <>гф= ~ р(х', у', х') ° фг — ° <(У<=6 ибо, согласно уравнению (11.10), <7 -=О. >! >! Если же р в точке Р отлично от нуля, то при вычислении <„> вф можно выполнить под знаком интеграла только одно, а не два последовательных дифференцирования ').
') Действительно, произволные гб например го к, равны Если после лиффсреинироваиии внесли вмесп~ к', у', а' полнриые иоорлинаты >1, О, а с венгром в точке л, д, а и г полириой осью, направленной по оси л> го Л" примет вид й««)! <<Г>, где <<и = =Ми О <<О <>а и — *~ р сов дд>)дй>. — й. ~ — (Зсоавй — !) дуда. дф двф Г р дх 3 дх 38 Таким образом, подыигегральное выражение во втором из »<ил интегралов обращается в бесконечность при >> =-О.
Мы воспользуемся уравнением (11.2) т7гф= б<<>афтаб ф и, выполнив первое дифференцирование под знаком интеграла, получим где К вЂ” вектор, проведенный из точки х', у', г' в точку наблюдения х, у, г Далее, на основании (!8») можно выразить дивергенцию в форме поверхностного интеграла <~>а дВ <!!<<в= 1(п> к+о где, по определению, поверхность 5 объема У должна охватывать ту точку наблюдения Р, в которой ш>ределяется значение <!<у а. В нашем случае а=йгаб <р и, стало быть, $дгадф д8 Чг<р = (пп р-во Вычисляя поверхностный интеграл, получим, меняя порядок интегрирования по <11Р н по <!Ь: Кгабф Ж= — — $ИЬ ~ Р "' и; с(У'= — ~р(х'„у', х')<(У'$ — кт —.
$" ' =-- Г х (х', у', г', У) .=.,+«,. «,=~~ ' л ' где К вЂ” вектор, проведенный из точки х', у', г' к элементу поверхности 88. Поток вектора К/йз через произвольную замкнутую поверхность был вычис- лен нами в 5 3; он равен 4п, или нулю в зависимости от того, лежит ли точка истока х', д', г' вектора К внутри или вне объема' У„охватываемого этой поверхностью Я. Следовательно, <)>К<<а<1 <1 .<15= — 4н)рд1г, где интегриронашн должно быть, очевидно, распространено по объему У, охватываемому поверхностью 5. Следовательно, '1> ф= — 4п 1ип у — — — 4пР>м где рг есть значение р в центре объема У, т.
е. в той <очке наблюдения Р, в которой мы определяем значение величины <))с К<а<! <! ==- <,> ф. р -',, Таким об нзом, мы доказали, что выра>кение (95.7) для <) действительно удовлетворяет уравнени>о Пуассона. 5.
П >ист ним теперь к проверке формулы (95.6) . Прежде всего, выделим оло точки наблюдении Р некоторый маленький объем 1о, р р ф около (95.6) на два К центр<>м в Р, и разобъем интеграл выражения (.5.6) интеграла: по объему сферы У, который мы в дальнейшем будем стремит нулю, и по остальному ввнсшисму» пространству: х(х', у', г', с') „(уг «в И вины Во втором из этих интегралов расстояние Я превышает конечную величину 11м стало быть, мы можем непосредственно дифференцировать под знаком интеграла. Так как функция — )1!хк, У, г, 1 — — ) / в г г 11Х удовлетворяет, согласно уравнению (95.3), волновому уравнению (94.9), , то 9э ' д'вв 1 Г эг'ХХ ! д' внюн Далее, Уа при безграничном уменьшении радиуса йа сферы Рв интеграл этот стремится, очевидно, к нулю, ибо д"у/81э есть величина конечная, а 1 Г ~ вВ'= ~ — ° 4пФв®=4вт ~ )(сЯ.
31(' Таким образом, левая часть волнового уравнении сводится к 1 двв 1а-дв1 дв 7ва — — в д1э-= 7 в,=с)(чрабг,=!пп к. о (95.8) Далее, йтас(в, =- ~ йтас) у л!)1'= ~ ~( — Огас()(+ Хдгас) ! ) Д". .3 ~,Л 11 / Г1ри безграничном уменьшении сферы Гн интеграл первого члена в скобках стремится к нулю, так что его можно сразу отб )оситды Т бразом, При переходе к пределу, когда как сфера Гм так и поверхность 5 становятся бесконечно малыми, можно пренсбречь зависимостью ф у (х, у', з', --Гсгн) от Рс, т.
е. от расстояния между точкой к'. у', з' объема )Ув и элементом поверхности с18, а приравнять Гс в аргументе это ф„ н 'лю. Ф нк и)о е р ументе этой функции 11 нулю. ункци)о же т (к'. у', з', 1) можно вынести за знак поверхностного интеграла. Таким образом, чы приходим к выражсник~ только что рассмотренного типа (предполагаем, что повсрхность 5 целиком лежит внутри ф К ) н т и сферы в) Ф эв! зхпхздывхюшик и опвнвжхюшие потенцихлы 361 откуда на основании (95.8) следует: двв 9ав — — — х- = — 4вв)(в, ав дв что и требовалось доказать. Вопроса об однозначности решения уравнения Даламбера мы коснемся в следующем параграфе.
$ 96. Запаздывающие и опережающие потенциалы. Калибровочная инвариантиость 1. Результаты последнего параграфа позволя!от непосредственно написать интегральные выражения потенциалов электромагнитного поля, определяемых дифференциальными уравнениями (94.4) и 194.5) . Сравнивая эти уравнения с уравнениями (94.6) и (94.8), мы на основании уравнения (95.4) получаем непосредственно: 1 ( р(1-Фа) „А И 1 Ь(1-Жа) „ в Д Й и аналогичные выражения для Л„и Л„так что вектор А выразится формулой с 3 и Г 1(1-1с1а) Н (96.2) причем, согласно уравнению (94.7), и =- аЯ.)~в)в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
