Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 100
Текст из файла (страница 100)
11ользуясь обозначениями 3 95, а частности ураннснисм (95.5), можно записать уравнении (96.1) и (96.2) следующим образом: ф(к,у,к,1)= — ~ "( '"„' ' ) с(У', (96.3) с(с =.-р (! — Я/н) с(Ь', который находился в нем в момент времени 1- -Й1'о, где Й есть расстояние с(г' от Р. Разделив затем этот заряд с1е на с)с и взяв сумму полученных выражений по всем элементам объема, мы и получим ~р. Аналогичным способом определяетсн и значение А. Таким образом, потенциалы переменного поля определяются совершен.
но аналогично потенциалам поля стационарного с тем единственным, но весьма существенным дополнением, что в каждый момент 1 потенциал поля, (96.4) где под с(Г нужно понимать произведение с1х' с(у' с(г'. В случае независимости и и 1 от времени, т. е. в стационарном поле, формулы (96.11 и (96.2), как и следовало ожидать, совпадают с ранее выведенными уравнениями (8.8) (при е=-1) и (64.3).
2 Итак, чтобы вычислить, аапример, значение скалярного потенциала ср в произвольной точке Р в момент 1, нужно, согласно уравнению (96.1), разбить все пространство на элементы объема с(Г и для каждого элемента с(И определить величину того заряда В соотношение (94.3) входе <(п Д. 1(ри вычи<еичшн <Ь< Д вЂ” ',' Д мо кно переменить порядок дифференпироаания по х, и. г и и~гге<рирования по л', </'. ' нп обппгнын. б(у Л = Ул.= л- '! у ! (' У ' ° ' ) д!г, с,1 <.о<ласно (43:), ) (х', У'. »', /') 1 = — Ч)(х', у', »',/")-1-)(»', у', » (96.5) Т ак как аргумент вектора 1 зависит от л.
</ . линя. ч рсь по<рсдщно зффекзшшшо прем<пи (', то 7)(х', у', х', /') —.'. - — + — — ", — + —,::- -.—. = — -т7/С д/' дх д/' дп д/' <)в д/> Принна во внимание, ч<о, с<плато ~ урншнчп<лл (95: <, 1 У/' = — — УА', получим окончательно: У вЂ” =) У вЂ” — — =т Чр: ! 1 1 д) Ал Р, пйл д/' С другой стороны, ош ни>пю, что с,) х 1 д! /) ~ гас „„м /! д/ ' гд< ~7' в отличие от хг означает дифференпнронанис но жюршпштам л'.
и. г'. Вьшо,шнв простые нреобразоваиия, получаем< гл + )з (~ В<' согж( и/з д/' ПРиннв тепеРь во внимание, что УРавпени< К<а<(л / (/<л):. — (Ив<1„ / (//1 )см УРвиисник (5*) н (9*)) в наших теперешних обошнчсннях прнннчпст гнл 7'/ ()<) — У/ (/!), и сравнивая выражения длн гр — н ', ' 1- ,1 )( й 7 — — 7' — + — ((г')) ° 1 )( )( Г' сонь<' Стал > -' нло быть, обозначая Ь "! через <!ш'1 и т. л., получим из урвпнспия (96.5): ЙтА= — — 3< й!в' .дУ' ! (<ц „.!) рГ .,3, рГдУ <пл с з) й ' ('-сспв( возбуждаемого на рас<ггояннн /< от элемента объема д(' зарядами н токами элемента, определяется не одновременной < /, в предшествовавшей (в момент / — Й/и) плотностью этих зарядов и токов.
Таким образом, льо>кььо скя. зать, что потенциалы Ч и Л зарядов и токов каждого элемента обльсма <(1/ распространяются нз </У но всем направлениям со скоростью, . </эь(<, убывая нри этом в интенсивности обратно нронорцнональш> расстоянию р. Поэтому онределиемыс уравнениями (96.1) н (96.2) ш'личины <1 и Л носят название эапаэдыааюи(и» потенциалов элсктромаь нитном> поли. 3.
В предыдущем нами сщс не было принято во внимание у!>авн<нис (94.3), связываю(Нее Оц рсдс ленным СООтнОШ<нисм НО<мОжныс зь(аченыьь потенциалов <р и Л. В том, что наши решения (96.1) н (96.2) удовлетворя(от и этому уравнению, можно убедиться гьутсы нсгн>срсдственного вычисления. 11ервый из юих интегралов может быть преобразован с помощью теоремы Гаусса в интеграл по поверхности 5, охватываюа<ей объем 1' ') < цели распространить шпегриронанис на пес бесконечное прог<рапота<<, то згот интеграл обратится в нуль, если только все злектрические токи сосрслзпочены в конечной области про<»раис<на, так что окончательно д(~ Л (» У в 0 = — — (й!т'! (»' у' »' /')) р Г дуг с Обратимся теперь к правой части соотношения (96.31.
Вниду уравнения (955) для произ. вольной функпин / (/') имеем: д!(/') д)(/') д/' д)(/') д/ д/< д/ д/' Позтому, лифференпируя уравнение (96.3) по времени пол знаком интеграла, получим: е!ь д<р(х, у, », Ц (л 1 ду' др(»', у', »',/') [' С другой стороны, уравнение непрерывности ((уа) можно записать в следующем вире: др(х, у, », /) д!»)(»,у,»,/)( со 1- — 'д,' ' ибо прн пространственном диффереппироваяни (образовании днжргенпин) время / >юлжно сч<патьсн постоянным параметром.
Зал<сияя в атом уравнении непрерывности непмрихояанные величины штрихованными (что является простым изменением обозначений), убедимся, по запаздывающие п<ченпиалы действительно удогметворшот соотношсппю (94.3) еи дй> 61»А= — — —, с д/' которое требовалось доказать 4. Обратимся к вопросу об однозначности найденных нами решений (96.!) и (96.2) системы уравнений (94.3) — (94.5).
Если не принимать во внимание никаких дополнительных условий, то рен(ения эти необходимо признать неоднозначными. Вспомним хотя бы, что нри получении решения (95.4) мы откинули второй член в общем решении (95.2) уравнении (95.1), Если мы, наоборот, сохранили бы только второй член этого общего решения и откинули первый, то мы могли бы цовторить все предшествующие вычисления с единственным отличием, заключающимси в замене всюду аргумента / — ///и на /+ <с/и. В результате мы получили бы решение уравнений (94.3) †.
(94.5) в форме так называемых опережающих потенциалоа электромагнитного поля: Г р(/+ Я/и) Л 1< ! (/+ ~/") ((У (96.6/л связывающих значение потенциала в точке Р в моььент / с нространсгвенным распределением зарядов и токов в последующие моменты времени /+)</ш ') Преобразование зто нельзя применить нспосредстнеоно л исходному выражению (96.5) потому, что в нем объемное интсгрироиание и пространственное дифференпировани<' (образонание дивергенпни) произнодятси по координатам различных точек. Далее, так как неоднородные диффсрснциальные уравнения (94,3) (94.5), определяющие потенциалы >( и А, линейны, то общее решение этих уравнений может быть представлено в внлс суммы произвольного частного решении этих неоднородных уравнений и общего рсшснии соответствующих ос)породных уравнений с)!хс А = — ' — —.
с дс» и«д! ' Ъ' А = — —, Фр = — —. (96.?) ! д»А э ! д»>э е» д!» ' д!» ' Как запаздывающие потенциалы (96.1), так и опережающие потенциалы (96.6) являются различными частными решениями неодноролных уравнений (94.3) — - (94.5); поэтому обшсс рс>пение этих уравнений отличается от них на произвольное решение уравнений (96.7). Слсловательно, в частности, н самые опережающие потенциалы можно представить как сумму заназдывающих потенциалов плюс некоторое решение одноролных уравнений (96.7). =>та нсолнозначность решения интересующей нас системы дифференциальных уравнений в соответствии с известным общим правилом может быть устранена только заланием определенных ничальных и грипичмьсх условий. Только задание этих условий выделяет из бесконечной совокупности решений системы дифференциальных уравнений то единственное решение, которос соответствует дашюй конкретной постановке физической задачи, Так, например, можно показать, что общее решение уравнения (94.5) внутри произвольного обьема Г, ограниченного замкнутой поверхностью Б, может быть представлено в форме а ~ >>с + 4яе з ( )х ) дп1 ~р~ дп Ь)+ е)с дЛ д! ~!) ~'(96'8) к 3 '> Дола»аз«пьет»о фо>1мулы (ЭГ»8! ллв заваздываюших потенциалов приведено, иазгччер, з х!с»снча (теория»лектровов.
мг Го«техивдат, >%5.— с. ззэ — 34б!. »сока»к>«хьство зв».югичной формулы для опережающих вотекци»лов совершенно аналогично приведение> 4>евца; нужно только в его выкладках заменить Е (>+Й/с) иа П (> — й/е). з>' где п есть внешняя нормаль к 5, а квадратные скобки означают, что значения находящихся в этих скобках величин лолжны быть взяты для эффсктивного момента времени >'=-> —. /с/о. Иными словами, если известны значения величин, входящих в правую часть уравнения (96.8), то этим уравнснисм значсзия >1, в произвольной точке об ьсма к' опрслсляются однозначно. То жс общее зсшснис уравнения (94.5) может быть, однако, представлено также в форме, мличак>щейся от (96.8), во-первых, знаком у последнего члена подынте"рального выражения поверхностного интеграла и, во-вторых, тем, что значе>ия величин в квадратных скобках должны быть взяты не для предшествующсго момента времени р = ! — /х/)Г, а для последук>и!его момента р =(+ Й/о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
