Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Это уравнение будет удовлетворено, если положить: 1 дА Е = — — — — дга)1 гр с а) Э (94.2) где гр есть произвольный скаляр, ибо ротор градиента скаляра тождественно равен нулю (427). На основании уравнений (94.!), (94.2) и (421) уравнение (1) 4п) е дЕ го1Н = — + —— с дг ') Заметим, что результаты этого онраграфа существенно связаны с предположением, гю иге электрические токи саодятся к токам проаоднмости.
олотногп которых 1, согласно )У), однозначно оиределнегоя заданием г., Е и Е"э. Если гке ввести а рассмотрение, например, также и токи, создаваемые даижением свободных электроноа а аакууме (наорнмер, а катодной лампе или а рентгеиоаской трубке), то для определения поля яо начальным условиям необходимо, очевидно, дополнить систему максаеллоных ураанеиий аолл ураанеоиями механики. т.
е. урааненнямн движения электронов. ') Результаты ооследуюягих параграфов легко обоб~даются на случай наличия скачкообразного изменения г и р на отдельных ооаерхносгнх раздела различных сред. Однако а общем случае ироиаиольной зааиоимостн г и ~» от координат точки задача рещения максаеллоаых уравнений чрезвычайно усложняется. )й И Е т 'еи,! ляется заданием начальных значений векторов Е и Н во всех точках пространства для момента времени рл удовлетворяющего неравенству т~1е -1 (ср. конец э 96) '). принимает вид 1 4я) е дзА е )л — го( го( А = — (8га«) йч А — Ч'А) = — — — —, — — ага«) ~с-. )« с с д«н с Распорядившись надлежащим образом величинами А и <р, можно это уравнение упростить.
Действительно, до сих пор нами были определены только вихрь от А и градиент от <р, теперь же мы можем дополнительно потребовать, чтобы ') йчА= — — —. е)л дч< с д)* (9$.3) Образовав градиент от обеих частей этого равенства, убедимся, что два члена предшествующего уравнения взаимно сокращаются, так что оно принимает вид ер д*А 4я)л Ч'А — сз- д)Ч- = с (94.4) Из основных уравнений поля нам остается еще удовлетворить уравнению (1Ч). Внося в него уравнение (94.2), получим Йч )д = в «)!ч Е = — — — Йч А — в Йч дга«) «р = 4яр.
е д с д« Разделив это равенство на к и внеся в него значение й)у А из уравнения (94.3), получим — — — Йч ага«) «р = — р П д*ф . 4я с* д« е или на основании (40») е)л дав 4я Чзгр — — ~ — — р. са д)в е (94.5) ') Гтеисиь ирои>вича в оирсделении <ипсиниалон Ч< и А прн заданных напряженное<я' Г Н буде я чю н ко <с 4)рб 2. Уравнения (94.3), (94.4) и (94.5) дают возможность определить значения скалярного и векторного потенциалов электромагнитного поля по заданному распределению зарядов и токов проводимости; зная же <), и А, ьюжно с помощью уравнений (94.1) и (94.2) найти Е и Н. Заметим при этом, что хотя скалярный потенциал <р, как и в случае стационарных полей, зависит лишь от распределения зарядов, а векторный потенциал А — от распределения токов проводимости, однако напряженность электрического поля зависи~ не только от градиента скалярного потенциала, но и от производной по времени векторного потенциала; в этом обстоятельстве проявляется закон электромагнитной индукции.
В случае стационарности поля, когда все производные по времени обращаются в нуль, приведенные уравнения, как и следовало ожидать, принимают вид ранее установленных нами уравнений стационарного поля [ср. соответственно уравнения (94.2), (94.3), (94.4) и (94.5) с уравнениями (10.2), (64.2), (64.3) и (23.1)). Итак, зная р и 1 в.их зависимости от координат и времени, мы можем определить сначала ч и А, а затем и Е и Н. Однако, как уже указывалось в $ 91 (с. 343), понятие электрического заряда носит в классической теории поля, в сущности, характер вспомогательного термина, обозначающего исто- Ч з — —, дН = — — 4««Х(х, у, я, 1), (94.8) где у:х, у, г.
<) есть, по предположении>. известная функция координат и времени, а и<щ к надо понимать <>дну из величин <р, Л„Л«, Лг. Вв<'дн обозначение (94.7) можно записат< уравнение (94.6) следующим образом: ) дзз Чзз — — —. = — 4пХ. сз д)Я (94,8) В дгихьнейшем мы убедимся. что г равно скорости распространения электромагнитных возму<пений. Уравнения типа [94.))) носят название уравнений (аламбера. При х=0 уравнение Даламбера принимает вид так называемого волкового уравнения (94.9) с которым нам неоднократно придется иметь дело в дальнейшем.
Наконец, при независимости з от времени (стационарное поле) уравнение Даламбера вырождается в извес<нос нам уравнение 11уасгони (!1.3) Чзз= — 4пХ(х, у, г). ') )< «уинюг<и ю он<и< но<иыь ил' < для момента Г -0 распределения зарядов р, достаточно знать зи<чь ) н <р)икинн ю ординат и нр< м< ии, ибо оо чтим даииьж< значение р в каждой точке иросграиюна л<ож«быль <юрсдслюю д<я,иобого ли<монга времени с <юможью ураннсния неирсрыиногги ()ч<0 н< ноги янгтьусг, между и)ючил<. что ) и р ие ннлнются независимыми фуикнияии вр.ин ии и < омону <И мог) г ыднвнп«я исзааисимО друг от друга )ч кн вектора электрической индукции 1У.
Иными словами, с ~очки зрения этой теории, р и 1 нужно, в сущности, считать функциями искомых величин Е и Н, т, е. в свою очередь величинами искомыми. И действительно, согласно теореме однозначности, для определения значения векторов Е и Н в любой момент времени достаточно знать начальные значения этих векторов для 1=0; определив же Е н Н, мы, очевидно, можем вычислить значения величин р и 1 для любого момента времени и любого места, Однако фактическое решение этой «полной» задачи, вообще говоря, в высшей степени сложно. Поиому мы в дальнейшем предположим, что зависимость р и ! от координат и времени нам тем или иным способом стала известной для всего пространства <).
В этом случае, пользуясь установлен<юй в этом параграфе сне~смой уравнений, мы действительно можем определить напряженность злсктромагнитно«о поля в любой точке пространства и и любой момент времени и притом определить иднозначщ>, если только мы примем во шшмание п«которые добавочные условия, о которых будет сказано г< $ 96. Основная задача сводится прн >том к решению определяющей значения <ютенциалов системы уравнений 194.3), (94.4) и (94.5), ибо, определив <) и А, мы найдем Е и Н простым дифференцированием.
3. Как скалнрный потенциал <р, так и каждая пз слагающих Л„, Л„Л, век«орпого потенциала в произвольной системе декартовых координат удоплпп<оряктг, согласно травнсниял«(94.4) и (94.5), уравнению типа и 1 ~( )<) (95,3) г 1 1 1 1 2 95. Решение волнового уравнения и уравнения Даламбера 1. Мы не станем здесь излагать классических, вполне строгих с математической точки зрения способов решения этих уравнений '), а воспользуемся гораздо более простыми рассуждениями, не отличающимися, правда, особой математической строгостью и носящими, в сущности, лишь наводящий характер.
Проверив, однако, найденное решение подстановкой его в исходные уравнения и доказав однозначность этих решений, мы тем самым сообщим этому решению полную достоверность. Чтобы найти решение уравнения Даламбера (94.8), предположим сначала, что )( при любом ! равно нулю во всех точках поля, за исключением лишь исчезакпце малой области вокруг некоторой точки (~, в которой й равно заданной функции времени у(С). Для краткости мы будем при этом говорить, что у отлично от нуля лишь в самой точке ~), которую можно называть истоком полн.
Таким образом, вне этой точки я должно удовлетворять волновому уравнению (94 9) . Поставим себе, прежде всего, задачу найти сфсрицеск<с-сил<метриг<мо< решение эпгго волнового уравнения, т. г. такое е< о решение, которое в полярной системе координат, имеющей центр в !), зависит лишь от радиуса-вектора (<, но не от полярного н долготного углов О и с<. В этом случае х7 я= =<йу рта<1 я опредслястси уравнением нида (21в), так что волновое уравнение (94.9) принимает вид дхя 2 дя 1 дхя Умножая его на (<', получим: двя дя да ()<я) )2 двя ! дх ()(я) ~ д)<Я + д)( дк<х оэ д(э ов дсх (95.1) где нами временно введено обозначение с< =-с<я.
Общий интеграл уравнения (95.1) имеет, как известно, вид 1, .„=~( )+ф((+ — "), (95.2) где / и ф суть произвольные (но обладающие производными) функции указанных в скобках аргументов '). 2. Легко убедиться, что первый члсн этого выражения представляст собой !паровую волну, распространяющуюся из центра координат <,) со скоростью о.
Действительно, функция ) (! — )</<г) имеет в каждый данный момент с на каждом данном расстоянии йэ от точки б) то же значение, которым она обладала в момент ! — 1, на расстоянии /<' — г от (,с (ибо ! — 1— — (/< — и) /о=! — Й/<г). А это и значит, что значения величины и распространяются из точки источника поля ч) в виде шаровой волны скорости о. Подобным жс образом можно убедиться, что вто(юй член выражения (95.2) представляет собой шаровую волну той же скорости щ приходящую из бесконечности и сходящуюся в истоке поля (), как в фокусе. В этом параграфе и в первой половине следующего мы ограничимся рассмотрением первого члена общего решения (95.2), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
