Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 97
Текст из файла (страница 97)
(.. Особ<.ийОЙ Отчетлнш)с)ью п()О><в)$51 1<.й иго В 6$<Г) роцр$>еме!5. ных токах. При Очспь бы<"|рык изм<ш иий ьш, 1 о )и; р) йи ир ус!и васт достигнут|* виу|ренних слоев пр<>водник<1 и |и|Вы р! арг< я пррйрашрнию В джоулево тепло лишь В пов<рхй и)пых слоях проводника, и к<ни>рых и сосредоточийаются и<"рсм< ниии: токи <.лин з($)феи) (З 90). 6. В зайди)и<пи< $;!и< !им, ~$)О п)>сдиолои«'ии<' О $)авш!Гиии: й к|!ждоЙ тОчл<' И$>ОГ)$)йй<"|йй пг>|шю:г||<'$>ГИИ г|лск|$>оч||пи|тиОГО $И)л|1 и<'кт0$)у ПОЙИ- тйи!а й !«!«>|орых |и!учайх р(д< ! |.:липс<ВО!и, !«ИО$)ыс ) О| <Г иоказй)ьсй Лйй«щгЫМИ фйЗИЧССЛО|О ГМЬИ.|И. Гйи, НИПРИМ:Р, П <ШГ|ОЯИПОМ ИОЛЕ, ВОЗ- буй<де<в)!Ои и<Индий)киьж| элеи)$>рис<ком зо!)йдом й !«!«|||йй лиь!и ростояниым магнитом.
Вскт<|р 1$ОЙИ)ии!а, Воооиш говоря, О<лицеи О< й)ля, причем лишш мого вектора замкйу|ы (:шбо |аиолйиют <Обой |«ко|ору!о иоверхиосм ). Таким Обр.|,им|, щи !|ри.<О1ш к. | Изи.|о<.л (йи, <ЛГГО>«ржйтельном) В$)<де|ИВ:ийию О 6<ГИ$$<$)о|инни ш|$ л<,иь(йц 'ги<)$)|ии ш> |змии«Гым и!тям й ггсмичрскыи э«кц)сгмш пят<<ох< ипе«.
<$>!$з!$ исхпй сиьи ц »го< О цр<лставлснпя ВыЯГпитг51 и х $0!. |и иго)и 'и | и'. и | ' гпи '|ы < п|и |' и<$$ и и. и и |ич и>. почи и~ и ' > <г> <1ис!|о< ии|ши' ~ и |и гоп< о|1ми>г о|рии Ог и и<и р Го ~ ! о| г и| $~ <| или|го иж $$ $$< ~ |н. <ии«римгиой )гиии г<о<о<$<$ и,<р><и ги>г<гии) иронии< <ни. И и;и|оп гг|г"ои, и |, ии и ~р<<и< о>г' и |ирои>гиж циР»<ииоии 'г ~!$~$<>и<<г | <о|ппж и«ои< и | $ ''-,,, ип |о ~$>Рг $ ип «| |и |и | |ыиРиип инги |.и,и ( З 93.
Однозначность решений уравнений Максвелла Я„= !Ен'Н'н)„= 0$ стало быть, в любой момент этого промежутка <)(р'"' - „, ! !"'~ д! з А (93.1) Так как подынтегральное выражение существенно положительно, то д (<го'/д((0, т. е. энергия поля Ю''и может либо убывать, либо (при !"', равном повсюду нулю) оставаться постоянной. Но при (=О, согласно условию (е)), энергия (Г''о поля Е"', Н™ равнялась нулю; отрицательных же значений она принимать не может; стало быть, и в течение всего рассматриваемого про) Нп<>ом><ии при »топ, ито, гпгпагио огиооиоиу по><у<ценил>, пгжашгиу и осйовг иггх рого) жлеиий отой го»ой, значения г., р и л считаю)ся иипаинмии функциями точки, от времени Ио зависящими, и Г'" гии)пегги известной функцией точки и ир<иеии.
<) Цбп ии 3' — -), (Рсс( йп"! и 3"=-.), (Е"-(.Еои! следует: 3"'=3' — 3"=)Е"'. 1. Установив в й 91 систему основных максвелловых уравнений, мы указали, что зта система полна, т. е. что электромагнитное поле в каждой точке пространства и в каждый момент времени однозначно определяется этой системой, если только для момента (=-О заданы начальные значения векторов Е и Н во всех точках пространства. Впрочем, зта формулировка «теоремы однозначности» не вполне точна. Мы не можем определить напряженность поля во всем бесконечном пространстве, — нашему наблюдению доступна лишь ограниченная его часть. Поэтому теорема однозначности приобретает непосредственный физический смысл лишь в том случае, если мы ограничимся некоторым конечным участком пространства и дополним условия, определя!ощие решения максвелловых уравнений, определенными граничными условиями на границах этого участка.
2. Мы докажем сначала теорему однозначности в следующей формулировке: электромагнитное поле в любой момент времени (| - 0 в любой точке объема $<, о!.рапиченного произвольной замкнутой поверхностью О, однозначно определяется уравнениями Максвелла, если заданы начальные значения электромагнитных векторов Е и Н во всем этом участке пространства для момента (: —.-0 и если, кроме того, для одного из этих векторов (например Е) известны граничные значения его тангснииалоных слагающих на поверхности,э в течение всего промежутка времени от (=О до (=(, '), Предположим противное, т. е.
предположим, что существуют две различные системы решений максвелловых уравнений Е', Н' и Е", Н", удовлетворяющие одним и тем жс начальным и граничным условиям. Ввиду линейности уравнений поля разность этих решений Е" = Е' — Е" и Н»и = Н'— --Н" также должна удовлетворять уравнениям Максвелла при следующих дополнительных условиях; а) Е"Р=-О)), $)) в момент (==0 во всех точках объема )е: Е"'==Н'".==-.О (ибо при ( —.-0 Е', Е" и Н', Н" имеют, по предположеишо, одинаковые заданные значения), с) в течение всего промежутка времени от (=О до $=-($ во всех точках поверхности О' тангенциальные слагающие вектора Е"' либо вектора Н|п равны нулю (по той же причине).
Применим к этому полю Е'", Н" вытекающую из максвелловых уравнений теорему Пойнтинга [уравнение (92.6) ), положив в ней, согласно сказанному, работу сторонних сил Р равной нулю. Входящий в уравнение (92.6) поверхностный интеграл будет равен нулю в течение всего промежутка времеш! от (=.О до (=-(1, ибо из условия (с) следует, что на поверхности 5 межутка 0 -1<6 энергия В"гг= 1 1 (аЕгггл+ )эНггг~) ду агг к должна оставаться равной нулю, что может иметь место лишь в том случае, если Ект и Ньт остаются равными нулю во всех точках объема )г. А это значит, что две системы решений исходной задачи Е', Н' и Е", Н", предпопагавшиеся нами различными, по необходимости тождественны между собой.
Таким образом, теорема однозначности доказана. 3. Легко убедиться, что при рассмотрении всего безграничного пространства задание значений векторов поля на граничной поверхности 5 может быть заменено наложением следугощих условий в бесконечности: агтт и Нгтт при г( оо остаются конечными. (93.2) Действительно, из условий (93.2) следует, что интеграл вектора Пойнтинга по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль. Это обстоятельство позволяет доказать, исходя из уравнения (92.6), применимость уравнения (93.!) ко всему бесконечному пространству.
Из уравнения же (93.1), как мы видели, следует однозначность решений уравнения поля. Условия (93.2) совпадают с прежними уравнениями (12.!О) и (49.10); в случае постоянного поля они являются выражением того факта, что если все возбуждающие поле заряды и токи расположены в ограниченной области пространства )г, то напряженность поля в бесконечности должна убывать не медленнее, чем обратно пропорционально квадрату расстояния Ат от произвольно выбранной в )г начальной точки отсчета.
Однако условия (93.2), которыми можно пользоваться в случае постоянного поля, неприменимы к полю переменному. Так, например, в $99 мы убедимся, что поле излучения осциллятора убывает в бесконечности обратно пропорциона.льна первой, а не второй степени расстояния )7. В этом случае поток вектора Пойнтинга через бесконечно удаленнуго повеохность не исчезает, а равняется вполне определенной конечной величине ).
Впрочем, при рассмотрении поля излучения часто можно ограничиться задачами следующего типа. Допустим, что вплоть до момента времени 1=0 поле вне некоторой конечной области пространства равнялось нулю либо было стационарным и удовлетворяло условиям (93.2). Затем за промежуток времени т от момента 1=0 до момента )=т происходили какие- либо пертурбации. перемещение тел, замыкания и размыкания цепей тока, включение переменных сторонних э. д. сг Е'™ и т. п.; с момента же времени 1=— — т величины в, )г и д во всех .точках поля вновь приобрели постоянные значения. Как мы убедимсн н $ 97, возмущения электромагнитного поля распространяются со скоростью света с.
Поэтому, если все заряды и токи сосредоточены внутри сферы конечного радиуса гтр, то вне сферы 5 радиуса Ато+с1 поле сохранит невозмущенное значение вплоть до момента й т. е. будет удовлетворять условиям (93.2) . Таким образом, в этом случае на основании доказанного поле в любой момент времени 1'= т однозначно опреде- ) Для исчезновения потока вектора 1)ойнтинга через бесконечно удаленную ооаерхность условия (93.2) достаточны, но не необходимы.
Ноток этот исчезает и орн гораздо менее жестком условии, чтобы ироизаедеиие (ЕН)убывало ири к — ь оэ быстрее, чем 1/Я'. Однако а иоле осциллятора и это условие не выполняется. й 94. Дифференциальные уравнения для потенциалов электромагнитного поля 1. Убедившись в однозначности максвелловых уравнений, мы должны попытаться найти способ фактического решения этих уравнений. В случае стационарного электромагнитного поля задача эта, как мы видели, существенно облегчается введением вспомогательных величин — — потенциалов гр и А. Теперь мы покажем, что, видоизменив надлежащим образом определение скалярного и векторного потенциалов„можно воспользоваться этими потенциалами для решений уравнений ))4аксвелла и в общем случае переменного поля.
При этом мы для простоты предположим, что как диэлектрическая е, так и магнитная р ггромииаемости одинаковы на всем ггрогяжении полного поля ') и что поверхностных зарядов и поверхностных токов в поле нет. При этих условиях векторы Е и Н и их первые производные всюду остаются непрерывными. В качестве определения вектор-потенциала А мы можем сохранить уравнение (62.10): (94.! ) В=РН=го1А, из которого в свою очередь, согласно уравнению (421), следует уравнение (1Н). Внося уравнение (94.!) в уравнение (11), получим 1 дВ г 1 дА т го1 Е = — — — = го1 ~ — — — ~, с дг или го1(Е+ — — ) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
