Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Рассмотрим сначала скалярный потенциал пашей системы зарядов. Под интегралом правой части уравнения (96.3) стоит функция расстояния )с: р (х', у', х', » — И/с) Выражая в ней /с' через >со — 1()(о//с>о и разлагая в ряд Тейлора, получасм р (х', у', х', г — К/о) р (х', у', х', г — )со/о) й )С)го д Р(х'.у',Х',à — )(,/О) )1о дйо яо Если размеры системы й а вместе с тем н радиус-вектор Й' достаточна р м приближения моною ограничиться приведсннь>ми двумя членами разложения, отбрасывая члены с высшими степенями />>'. Оставляя рассмот ение нец па аг ас а и вн я р условий, при которых это приближение закона, о, на кар р ф и внося уравнение (98.2) в уравнение (96.3), получаем (п и ем при о=1) ( 2»»с 80» ( 1 1 о д Р (х у о/ )л»У» <р(х» у, я» 1) = д, У ) )1о д)(о лсо ° -1 В первом из этих интегралов можно вынести за знак интеграла /со, ат положения точки сл (х', у', з') не зависящее.
Так как интеграл ~ р(х', у', а', л — — о) с(у' равен полному заряду системы в момент 1 — /со/с, то ввиду предполагаемой нейтральности системы он обращается в нуль, а вместе с ним и весь первый член выражения для 4>. Второй же интеграл ввиду независимости /с>о от х', у', г' можно записать в следующей форме: д Я1(' ° р(х", у', я г — ~ )'с»У Интеграл ~ )ц» р(х», у ° а~, 1 — о»з»о/о) с(У' = Р(г >со/а) (98.3) рсдстлвпяст собои очевидно значение вектора электрического момента системы р в момент (†/со/с 1см.
уравнение (20.1), от которого уравнение (98.3) отличается только переходом от системы точечных зарядов к зарядам об'ьсмиым) . Таким образом, скалярный потенциал ц> ранен (индекс 0 у />>о мы отбрасываем). Это выражение можно записать в следующей окон >ательной форме: (98.4) где зиачсж а. у знака дивсргенции отмечает дифференцирование по точке наблюдения Р. Действительно, на основании (43о) и (1О*).
1 ! . Рй 1 с)(у ( о ) =рпгас) у + — с((ур= — —,+ ч с)Ьр. й Далее, так как аргумент р зависит от координат только через Й, то дрх дро др» х дрх р дро х дро $~ др дх ду дх й М+)1 да+у д)1 й дй' вноси эти выражения в (98.4), убеждаемся, что зто уравнение совпадает с непосредственно ему предшествуюцгнм.
В фо муле (98.4) под />> можно понимать расстояние тачки наблюдения р извилиной точки обьема 1', занимаемого нашей системой зарядов, ибо выбор положении «центра» системы О внутри этого объема никаким усп в п е ы ущем ограничен не был. Впрочем, зто и непосредственно очевидно ввиду оговоренной малости размера /этого объема по сравн .. у ственно, что и значение вектора электрического момента р произвольной 372 ПЕРЕМЕННОЕ ЗЛЕКТРОМА!'НИТНОЕ ПОЛЕ (гл. нп ОСЦИЛЛЯТОР. ЗАПАЗДЫВАЮШИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 373 4 ов1 нейтральной системы зарядов также от выбора точки О не зависит (это было уже доказано нами в $ 20). В случае независимости р от времени формула (98.4) с помощью соотношения (43$) может быть преобразована так, чтобы она совпадала с прежней формулой (8.11), определяющей потенциал статического диполя.
.4 . 3, Перейдем теперь к векторному потенциалу А, выражаемом ф (96. ). Разлагая подынтсгральное выражение этой формулы по аналогии с формулой (98.2) в ряд Тейлора 1(х' У' х', ! — Нс) 1(х', Ч', х', ! — й,(с) К'Я, д 1(х Р х ! ь,>с) йо око Йо +"., >со мы можем ограничиться одним лишь первым членом этого разложения (в случае скалярного потенциала !(: Мы должны бьши сохранить второй член разложения, потому что интеграл первого члена уравнения (98.2) б в нуль). Тогда уравнение (96.4) дает (при 8=1): о ращался ! ( 1(х'.д',",! — й1с) сьо 1) (~ ' гг е 1 с) с((г'. (98.5) В случае замкнутых токов интеграл, 1!>'н", взятый по в ° б ( ' ', взятый по всему объему токов, тождественно равен нулю (см.
в э 57 доказательство ог, ( . ) следует (57.6)); стало быть, в рассх>атриааемом прибл>сосен>>и равны нулю и вектор-потенциал и магнитное поле системы. В случае же незамкнутых от нуля и, как мы переменных токов этот интеграл, вообще говоря, отличен от и ля и, сейчас покажем, равен производной по времени электрического р к момента Дифференцируя по времени уравнение (98.3) и воспользовавшись уравнением непрерывности (1>>а), д / Юо1 ° ° ( где Йн' означает дифференцирование по координатам х', >>', г' точки Г> (на- помним, что Йо от этих координат не зависит), получаем П й постоянный вектор омножим это уравнение ня произвольный единичны а (а= — 1).
Тогда подынтегральное выражение можно будет преобразовать с помощью уравнений (43!) и (11*): (а)( ) с((н Я = с) (н' () (а)й')) — ) дга!(' (ай') = с((н' () (аК')) — а). Таким образом, Р0 — ~ой~ $ 61;()(ат(~)) е>>>с+ $ ) (1 ~~ ),Г(г~ П ремы аусса преобразован в 1ервый интеграл может быть с помощьк> теоремы Га сса интеграл по поверхности 5, охватывающий объем Р.
Так как все электрические заряды, по условию, находятся внутри объема Г>, то через граничную поверхность 5 токов не протекает, т. с. на ней ).=-0; поэтому ~ б(ч ((аК') 1) !((с' = Г)! (ао( ) 1о >(8 =- 0 Так как предпоследнее равенство справедливо при любом выборе иаправле ния постоянного вектора а, то окончательно получаем — р (( — — ') =- ~ ) (х', у', е', 1 — — ') с()т'. (98.6) Наконец, внося это выражение в (98.5) и опуская у )со индекс, полу*ш:„! выражение для векторного потенциала , ! а 4 Итак как скалярный так н векторный по>снп!Шцы пр<п>яоц>нс>!! нейтральной системы на больших от нес расстоиниях однозначно определяются вектором р электрического момента этой спспмы.
Простейшей такой системой является обыкновенный диполь-- совокупи ють леух точечных зарядов противоположных знаков. В отличие от статического диполя диполь, момент которого р изменяется во времени, часто называется ося>>л ллгором нли вибратором. Таким образом, по>нс нейтральнсхй с>>с>ем!о зпр>яд<> на болсцдих ог нее ригггоянллх сопппдс>ет с >н>вен огцплляго!чь момент которого равен моменту системы.
Ьлагодаря этому об>стоятсльстяу пз) цеи!и поля оспиллятора играет весьма нажну>о роль в теории злектрпчсс .ва. Г!рц известных условиях, которь>е мы сейчас рассмотрим, рапп!>Телсгра!йн; !о антенну можно заменить эквивалентным оспиллитором, светящееся тело совокупностью элементарнь!х осцилляторов и т. д. 5. Формулы от!по параграфа применимы лишь в >ом случш. ! ели в рз ь ложении (98.2) и в аналогичном разложении подып>сгральноп> выра кспп; формулы для А можно пренебречь последукпцимп'цлепамк разложения по сравнению с предыдущими.
Рассмотрим теперь условия, при ко!орых это приближение законно, причем достаточно будет ограничиться тем слуцщн, когда векторы К!> и К' имеют одинаковое направление. В этом с>>н !а! Гс-- =Йо-- )с' и разложение (98.2) принимает более простой вид (,,), Р,Г,),,> (! — 1>,1,) >,о э' Р 1! — 7~) Ро ар, >1о 2 дй~~ 11о причем Д р (! — Ро/с) Р (! — Йо1с) р~1 — — — ). Дко ~!о око с>! с Дифференцирование сомножителей типа 1/Щ увеличинае> показатель Йс н знаменателе, так что при А>'«й>!~ последукццпми членами, полуцаюшимися при дифференцировании этих сомножителей, наверное можно пренебрс*->ь.
Таким образом, весь вопрос о законности сделанных упрощений, кпк легко видеть, сводится К относительной величине членов типа Предположим для пр<ктоты, что р нвляется периодической функ!Очи времени: р(х', р~, е', 1 — Йо/с) =) (>" ° 1> ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ !Гл. Рн 374 ОСЦИЛЛЯТОР.
ЗДПАЗДЫВДЮШИЕ ПОТЕНПИАЛЫ Тогда п6 порядку вепичины дифференциронанне р по) сведется к умножении> р на са, а отношение последовательных членов рассматриваемого разложения по порядку величины будет равно Й'ш/с. Таким образом, пренебречь последующими членами разложения по сравпсник> с предшествующими можно при условии Й'ш/с<(1. Так как Й'( 1, и >а:=-2Л/Т, гдг Т есть период колебаний, то это условие эквивалентно условию 1 — ~1, с! (98.8) р = ро) (1) где ро есть постоянный вектор, направленный по осч вибрнтора, а / (1) .— некоторая периодическая затухающая функция времени. Сила токи в вибраторе раппа, очевидно, скорости изменения величины зарядов е н е'1 если мы условимся считать ток положительным при совпадении его направления с векторолг 1, то У ==:де/д1, откуда /1= — ! =- —. де др д! д) (98.9) ] Направление р сонпадвш с ! при с .
В и н)юзнвгшаи»кшг ч> яри,, О совгидающему с уравнением (97 !). Таким образом, применимость форму> настоящего параграфа ограничена„но-псрнык. угловпем 198.1) достаточнои 'удаленности рассматриваемых участков поля от системы зарядов и гоков, возбуждан>щей это поле, н, во-вторых, требование л, чтобы эта система удов- летворяла огновному усчоник> квазистационаре ности (97.!). Коне шо.
при этом условии поле )у .=.)) ~ системы будет квизнстацнонарным лишь в непосредственной близости от пес, но никак не вдали. 6. Рассмотрим в заключенно простейшую систему. экнивалснпгую огциллитору. С точки зрения электрош~>й теории, простсй- А т шей формой осупиттвленпя осцнллязора инляспя совокупность !~дно>х> электрона н одного протона, взаимное расстояние которых периодически нзменяс>ги во времени. В максвелловой макро. скопичгской теории полн прогтсйп>ей модельк> можно считать >н«иазыннг.мый в и 6 р н тор Г г р ц а: два металлических шарика Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
