Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Слсдоввтсльна, (й)) ),=$«)1 ( . (83.1) Вычислив (б)1«)> нз этого соотношения, можно, очевидно, опредсглить и искомое знв и нне плотности сил 1. с)нергии магнитного поля может быть выражена одным яз следующих уравнения (8! 3) и (81 1) )(т> — — з — ~ НВ <( = и ~ — >8 Лт, )т 2=-)(' > = — А1«(~ . оп )> 2о 3 Лт» выражения энергии, как неоднократно указь>валос>в справедливы лип>ь при отгутств>т««)>вр)>оа<игнет>тков; следова.гсльнс>, все нзшн выводы будут применимы лишь к диа- и парзмагпнтным средам.
В<с дальнейшие выкладки весьма аналогичны вычислениям, проведенным нами при с>пределении пондеромоторных сил электрнческо>о поля. В частности, мы предположим, чта поверхностей разрыва в палс нет и что объем интегрирования охватывает полное поле, так что нсе поверхностные интегралы, с которыми мы будем встречаться в дальнейшем, обратятся в нуль. ') я»том выражении не учнтыоаетен равнина межву (и„„,р„)» и и„„п„. >) 11рн первом чтении параграф»тот. л>ожет бм>в опушен 2. Изменение энергии шшя при произвольном бесконе во милом перемсгценин ц находящихся в нем тел равно 6)Т>= — '~В'6 Яа + — '~-'-Вбв ()У или 6)Г>'В= 6)р'> =- — ~А 6[С()г+ 1 ~[6АС()> где 6 — '1, 61, 6А суть изменения соотнетствуюигил величин, обусловленные ',»/ пс'реме>щенке'и ц.
Так как В.=.-го( А, то 6В=:. » го> А. !!орядок вы>н>лнеиия ог>ераций диф ференцирования и варьирования может быть изменен без нарушении результата, так ч1о 6 го1 А--го> (6А) Следовательно, — В ° 6В = Н го((бА). н Далее, на основании (44а) и (62.7! Н го((6А) =- г(!ч [бА ° Н[+ го1 Н ° 6А = гВч [6А ° Н[+ — [ - 6А, Внося это в выражение для 6)Г'> и восцсх»с>с>иавн>ись >еорс мои )ауссн (17а'), получаем 6(ТУ, = — 8„1 В26 Е а + 4'„$ [6А Н[„с(5+ —, 1 [ 6А с((> Согласно условиям, сформулированным н >щчалс цара>.рнфн, поверхностный интеграл в этом выражении обращается в нуль. 1(акои ц, шш,>у того ч>о 6(Г>> =6(ГУ>, приращение энергии 6()с' можно, очещ>дно, >>рекс>явит> также в следующей форме: щ =26(р, 6(р,= ' ~А6) с((у — — в'-~В'-'6( — ')Л' Таким об>разом, вычисление с>)Г> сведено нами к определению измен>;нин плотности токов проне>димости ) и ма>з>итной проницаемости среды р при виртуальном нерсме гснии ц находящнхс:я в ноле тел.
3..>!окальнос изменение 1»1> выразится, очевидно, формулой, анжюгичной выраженик> для 6с [см. ~ 32, формулу (32.>1') [: 1 с) /1х 1 6 — = — — (х — ) ° т ЙЧ Ц вЂ” Ц йта д —, н ат [н[' )з где т означает плотность среды (массу единицы объема) ). Что касается виртуальном> изменения плоююсти тока 61, то оно может быть определено из того о>меченного в начале параграфа условия, что при виртуальном перемещении ц сила тона через произвольнук> иовсрх- ') >хая н а случае дизае>слрилов, >и аяя оросноы нрснсонсгает> завнсвмольл> восприимчивости и твердых магнстинов от дефо>>маний, не связанных с изменением и»относго срс.п» ность должна оставаться ~>ктоянной (если только эта поверхность перемен>с>етс>я н>асс ге со сред(>н) 11усть через иронзв >льнло нонерхносчь .'> до сне~Тенин ц протекает ток У: 11ри сме>цснии ц может, яо-первые.
измениться на 6) г>лотност> тока н различных точках цош'рхности 5 и. во-вторых. может деформироваться контур 6 этой нонсрхности, бла>одари чему )всличится или уменьшится ее общая плошадь. Если >УТ означает элемент контура 6, то цри смещении ц этот эдеме>гг сншшст площадку >х8-.:=- [цс(к[ (см. Э 60, в частности рис. 50). 1)риращснис охватывасмой контуром площади Ь»водится к сумме площадок с>з, описанных всеми его элементами >бь Следовательно, должеиствукицсе обращатьсн в нуль полное изменение тока 7 и>рсз произвольную нснытывик>щук> деформацию поверхность 5 равш> 67 =- ~ 6|„си + $ [ [ц а] =- 0. а ь Преобразуя последний интс>рсич но теореме Сто>сс>а [уравнение (27*)[, получаем $) [ц (3[=-(~ [[ц[,(в=.
~ го( [)ц[„~ ь ь Ь Внося это в црсдц>с'с>ну>оигс"с раве>и гво вниду произвольности новерхно сти 6>', полччш и оконча>ельно: 6)=:= - гог [)ц (83,2) 4. Внося приведенные значения 6-- и 61 в нырвжснис для 61(с. полу- 1 и чаем 6()с' =- — — ) А го( [[ц[ с(1> + — ) В - — - - - т с(!ч ц -)- ц дга с) — ~ с()г . Г, 1 >1 (17>з) 11 ' вм.') 1 Л: р На основании уравнения (44е) А го( [)ц[ -= с!гт [ [)ц[ А) 1- [)ц] го1А, причем последний член может бьгп преобразован слсдукицич образом: [)ц[ го1 А::.
[)с![ В=- — ц [)В[. Далее, В . тс)1чЦ=-с)1ч1В' — — ТЦ) Ццгаб'Вг т) в с> (1/и) ° ° г з с>11>и) х г с> (1)н) лс Внося эти значения в выраженис' для 6)Г' и принимая во внимание, что объемный интеграл дивергенцин может быть преобразован в интеграл цо поверхности и поэтому, согласно нашему усчовик>, обращается в нуль, получаем 6Ф' = ~ ц (- [[В[ — — ьга с! (Вв ' . 1' т) + — В' Вгас) — ~ с()с. Сравнивая это выражение с выражением (83.1] и приняв во внимание, (гл. )ч 1 В41 314 ТЕНЗОР НАТЯЖЕНИЯ МАГНИТНО!'О ПОЛЯ 315 (83.3) (83.4) $" =- — пгаб ~озт — ) . (83.6) д (!)Р) ! с)т )с (83.5) Т =- Т'+ Т" д! сь духу дтхх Г =-: — -':-"'+ -- — "-"-+ --.-"-', х дх ду дх с!!хх с)! 487 „ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ что с) является произвольной функцией точки, получаель следующее выражение для плотности пондеромоторных сил: $ =- — [!В] — — пгас) (ВВ ~э~~~) т) + — ВВ агаб —. Таким образом, пондсромоторные силы слагаются из сил плотности !сь = сь) (18), действующих на обтекаемые током проводники и совпадающих ь с прежней формулой (65.1), и из сил плотности (сх) =-.
— В'йтас! — — — пгас( !(В' 1 1 ! Г д(!сйх) т), 8гс Р 8п (, д'с действующих на находящиеся в иоле магнетики. 5. Нетрудно показать, что плотность сил 1 совпадает с ранее вывеы) денным выражсььием (66.6). Последнсе выражение, как Отмечалось в $ 66, справ!алино лишь для слабо памагиичивающнхсп магнетиков (ср.
$ 32). В этом случае, согласно (69.5)) и (70.4), величина н)(с пропорциональна числу молекул в единице объема среды, т. е. пропорциональна плотности сРсДы с с тало бы )ч я р-1 Р 4пр где сесть некоторая постоянная, от плотности среды не зависящая, Следпваплшю, !/!с = —. 1 — 4пст Вносн это в уравнение (83.4), получаем (гз) =- — — - ((га с( ! ВВ (--- — ! ) ! + --- В Пгас( — =- вйс !с (, !с ))! Ея р р — 1 8пх П7 =-- — ~~! — — 1 вегас! В'= — ЧВ', 8яр что действитс"льно ьшлносгь)о сошьадает с уравнением (66.6).
6. !'.ели в формуле (83.4) заменить В ьш НН и выпсьлнпть простые преобразования, то опа принимает нпд 4:=-:- — — (1гнс1( В т — ) — — В угас) р, П) ! ' с дПЛ 1 В '=' 8п ' ~ д.с-) 8я соверпьешьо аналогичный вььрсьженьью (32.12) пондеромоторпых спл, испытываемых диэлектриками н электрическом поле: формула (83.5) получается пз (32.12) замс иой Е на Н и е на р. В этом обсмштсльстве проявляется отсшченный в конце $ 73 факт, что благодаря эквивалентности эль ментарных токов и мапнппых диполей вгя макро!что)нсческал теории магнстнкои можь.г быть одинаково успепшо интерпретирована кяк пя основе соьь!)сльс)ьььоьь теории, так н с гочки зрения старых теорий мапнтнзма, исходивших пз пре)пюложшшя о супшствсншпни в мнгиегикпл реяльяых магнитных зарндоп ()пшолей), т.
е. и:ь пред- положения о полном соответствии между злектрььческимьь свойствами диэлектриков и магнитными свойствами магнетиков. Именно, с точки зрения этих теорий существует соответствие между векторами Е и Н и между величинами В и р, тогпа как в действительности вектору Е соответствует не вектор Н, а вектор В-- — Нх„„„„, а диэлектрической проницаемости г соответствует нс р, а 1/р.
Отме)пм, что Максвелл н ряд других авторов (например, Абрагам, Кось и др.) не принимали ио внимание зависимости магнитной восприим. чивости от плотности среды, благодаря чельу выражение пондеромоторных сил в магнетиках, которым они пользовались, отлича.шсь от (83.5) отсутствием перво~о члена, т. е. стрикционнььх сил: Впрочем, совершенно так же, как и в случае диэлектриков (см. 8 32 и 34), можно показать, что неучитывавцшнсн Максвеллом слагакнцая 1" плспностн сил г сказывяетсн лишь на расп))еделснии пондеромоторных спл РВ) по обьему магнетика, тогда как равпсьдейст)ьук)ьцан Г н резульгььруюпснсь льомент Н стрикцпонных сил !", приложенных ко всем элементам объема какого-либо тела, либь) равны нулк) (если тго тело находится в вакуум!), либо уравновешиваются гььдрс)статическььм дасль)сььисьь, возпьььаньщььхь под воздействием магнитного поля в окружякнцей тело жндкой илп газообразной среде (см.
также 8 84). 8 84. Тензор натяжения магнитного поля !. Пондеромоторные силы магнитного поля сов! ршеино так жс, кяк и пондеромоторные силы ноля электрического, могут быть с'ведсньь к эквивалентной этим силам системе натяжений, характеризуемой иекоторыч тснзором натяжсннн Т. Соответствующие вычисления совершсншь аналогичны ньшнглгншьм $ 34. Мы представим общее ныряжснььс поидсромоторпых спл (83,3) кян сумму двух сл)п'асмых- $==-$'+ $", ! =-'- —. (! "1 — — В йтяс()с* ! С всс — — ((~ ас( 1 Яхт -'-'- 1 вя л дт.ь (ср. ураипсние (83.5)).
Тензор нспяжеипй Т мы также представим кяк сумм) двух )!взоров Т' и Т": Вяк, побы Т' ьььотьььтсьььыьяыьо 1', а Т" сскпиь гств ныло 1", г. ь. Янк»Я бьшп удовлетворены уравнения и япялоснч)пь д)ььь,ь",,, )': и ). л. (ь'р уряннепиь' 133.7) (. 2. Рассмотрим сначала силы Г н тснзор Т'. Выражая илом<ость юков 1 через го( Н [уравнение (62.7) ), мы можем написать: — [)В) — [го1 Н В) — — [го1 Н ° Н), Легко убедиться [см. (431'), гл<' П соответствует в ппшем глу ци Н,[, что ВТ> П,= — В .ТН„= — ГНу(ВН,) — Н д(чВ, нли ввиду того, что <1>у В=О, ВГ7 ° Н„= й!<>(ВН„) = —,„(Н,Н ) + —,1 — (Н„Нк) + — ()ЗаНк).
Внося это в прели>ествукпцсг пырпжгпш Гкш 1',, убсж;ик чся, ! >О <ии> совпадает по форме с уравнением (84.3), гслн положит!с )с> 1 ( На Псз ) Т' = — "НН кк 4>< к р' а<налогично определяются и остальные компоненты тгнзорв Т', совокун ность которых может быть прслставленя в форме табл>щы типа (33.6) (84.4) 1 42<Т' = '!'аким образом, тензор натяжений магнит!и>ю> поля Т' может быть получен из соответствуюсцего тензора Т' электрич<>ск<п.о поля [формула (34.2) [ простой заменой Е нв Н и е па р '), То жс самос Отпосьпся и к тс>жор) натяжений Т", эквивалентному <и><ах< 1'", ибо выра>коппс плотности этих гил в магнитном поле (84.1) получается нз выражения плогм<ости с в электрическом поле (34.1) заменой Е на Н и > иа р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
