Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Зг> ]ц г(э] =56, где 66 есть элемент площади, описанный элементом контура 1>э при его пере- мещении ц (рис. 50), причем порядок сомножителей дэ и ц в выражении для 56 выбран так, что направление вектора 66 (т. е. направление полоз>гагельнай нормали и к элементу 66) образует с направлением тока в контуре ХХ пряво- винтовую систему.
Стало быть, где интегрирование должно быть распространено по всем элементам 65 поверхности Л, описанной контуром тока Х прн перемещении его точек нз расстояние ц в положение Х.С ПОНД1 РОИО>> 1>Ч> П ' ИЛЫ, НСПИТЫВЛСМЫК ТОКОМ Обозначим через 10 поток магнитного вектора, или„выражаясь короче, ма:нитный поток через контур тока Х.
(т. е. через произвольную поверхность Ъ, опиракшгуюся нз этот контур): где п сеть >голамт>>ельная нормаль к 5, образующая с направлением тока правовинтовую систему. Этот поток зависит лишь от рзсгюложения контура й. по не от формы поверхности 5, ибо, согласно уравнениям (46.2) и (27"), Таким оГ>разом, магнитный поток 11> через контур Х. равен циркуляции вектор- потенциала Х> по этому контуру. Пользуясь обозначением (50.!), можем напнсзтьг ибо изменение магнитного потока через контур тока равно, очевидно, магнитному потоку через поверхность >, описанную контуром при его перемещении. Стало быть, ЬА = — ЬФ.
(60.3) Таким образом, мы приходим к следующему весьма простому результату; работа пондероыоторных сил магнитного поля при произвольном перемещении тока равна умноженному нз Х/1 изменению магнитного потока через контур этого тока. Значит, в частности, такис перемещения тока, при которых магнитный поток через его контур зс испытывает изменения, не связаны с работой мап>игного поля. 2. Если ввести обозначение: Х (Х = — — Ф с где индекс Х при М/ означает, что при определении прирщценин функции Г силу токов Х нужно считать постоянной.
Следователыю, рзГ>ота пондеромоторных сил магнитного поля равна убыли функции 1', которая, таким образом, играет роль потенциальной или саловой функциг> тока в магнитном поле. В частности, путем обычных в аналитической механике способов рассуждения легко убедиться, исходя из уравнения (50.5), что если функция (> выражена в зависимости от каких-либо «обоб>ценных» координат 1>1, характеризующих положение контура тока, то «обобщенная» (в смысле аналитической механики) пондеромоторнзя сила 0„ дсйствукнцая на ток по направлению какой-либо из этих координат г)„ будет равна 1 »1! !ГЛ, 11 ! Р)НЦЕРОМО~Ы СЮ«»ЗКИПЮС )( ~ О ' ~ . « ИОндГРомОтОРнОв азлимодипствие 1юстойнных токОв Эти свойства потенциальной или силовой функции (/ могут побудить 1тождествить ее с потенциальной энергией магнитного поля. Однако такое шключение было бы неосновательным, ибо, как мы убедимся в следующей лаве, перемещения проводника в магнитном поле сопровождаются не только )аботой пондеромоторных сил этого поля, но также и работой сил электро(вижущих, индуцируемых полем в движущемся проводнике; ввиду этого изсенение энергии магнитного поля при перемещении проводников нельзя )пределить по работе одних только пондеромоторных сил поля.
Поэтому, если мы иногда и будем для краткости называть Н потенциальюй «энергией», то лишь в том смысле, что пондеромоторные силы магнитного юля связаны с (/ той же зависимостью, с какой силы консервативного поля ил связаны с потенциальной энергией этого поля. Хотя потенциальная силовая функция (/ и не равна энергии магнитного толя, тем не менее введением в рассмотрение этой функции значительно )блегчается изучение пондеромоторных сил, действующих в магнитном поле ча замкнутые токи, ибо устраняется необходимость а каждом отдельном .лучае производить сложное суммирование сил, действующих на отдельные )лементы тока.
В частности, исходя из уравнений (50.5) и (50.6), путем обычных, хорошо известных рассуждений легко убедиться, что устойчивое равновесие контура постоянного тока соответствует минимуму потенциальной функции (/, т. е.„ согласно уравнению (50.4), максимуму магнитного потока Ф. 3. Формулы, полученные нами для токов линейных, легко обобщить на случай токов объемных, т. е. на тот случай, когда нельзя пренебречь изменением напряженности магнитного поля на протяжении сечения тока.
С этой целью внесем сначала (50.2) в уравнение (50.4): с с А((в' / с а затем выполним в полученном уравнении переход к объемным токам согласно формуле (44.6): (50.7) и= — -1А) д1. 1 Г с л (50.8) Это и является искомым представлением формулы (50.4). Два последних уравнения можно истолковать в том смысле (со всеми только что сделанными оговорками), что каждый элемент тока / дз (или ) (()/) обладает в магнитном поле потенцналь- / 1 ной «энергией» вЂ” — А((з(или — — А! д)/) и что С с н потенциальная функция (/ замкнутого тока в равна сумме «энергий» отдельных его элементов.
При мер. Рамка в однородном магнитном поле. Рассмотрим произвольный плоский контур (рамку) площади 5, обтекаемый током силы /. Пусть эта рамка помещена в однородное магнитное поле Н и закреплена так, что может вращаться около оси, перпендикулярной полю Н (рис. 51). Пусть б есть угол между Н и положительной нормалью к рамке и, т. е. нормалью, образующей с направлением тока в рамке правовннтовую систему. Тогда магнитный поток через рамку будет равен Ф=НЯ сов 6, а потенциальная функция рамки будет равна (/ = — — ХЗН сов 0. 1 с (50.9) Обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате О, как известно (см, пример в $ !8), есть не что иное, как момент Й приложенных к рамке сил, стремящийся повернуть рамку около оси вращения: й/= — — =- — — 3БН в(пб.
а1/ (Тб с Положения равновесия рамки соответствуют А(=0, т. е. 6=0 и 6=я. Первое из этих положений соответствует минимуму, второе — максимуму потенциальной функции (/, и, стало быть, лишь первое положение равновесия является устойчивым. Отсюда следует, что пондеромоторные силы магнитного поля стремятся повернуть плоскость тока так, чтобы положительная нормаль к ней совпала с направлением магнитного поля Н. В частности, два взаимодействующих контура тока будут стремиться установиться так, чтобы плоскости нх были параллельны друг другу, а направление обоих токов было одинаково, $51.
Пондеромоторное взаимодействие токов. Коэффициент взаимной индукции !. Рассмотрим теперь взаимодействие двух замкнутых линейных токов /, и!,, обтекающих контуры /, и 1.» Пусть Н, и А, суть значения напряженности и векторного потенциала поля первого тока, а Нс и А) — соответственные величины для второго тока. Далее, обозначим через Ф)1 магнитный поток поля первого тока через контур второго тока: Ф(т= ~ Н)„(!8,=$ А„((э»=$А(дв„ э (« (51.1) где 51 есть поверхность, опирающаяся на контур !.н а (/зс — элемент длины э~ого контура [ср.
уравнение (50.2) ]. Магнитный поток, посылаемый вторым током через контур первого тока, мы обозначим соответственно через Фн) Фсч —— ~ Нэс()3! = $ Ас ((в!. (51.2) получим /, $~ мь. с| Е, где интегрирование должно быть произведено по обоим контурам й! и (.ь причем каждый элемент длины дз! контура Е! должен быть скалярно помножен на каждый элемент дэь и полученное произведение разделено на расстояние )( элементов (/з) и с(з) друг от друга. Совершенно аналогичным путем Внося в уравнение (5!.!) значение (46.3) вектор-потенциала линейного тока У!1 |ГЛ 1\. к З|! найдем: Ф с (51.8) (51.9) Х.„=Х.„=$ $ "",'," а< (я (51.3) ! ! Фм= Х>Х ии Фз| = ХвХ»1 ° (51.4) дГУ„ д! д(!<в ее= =Х( ° д! (51.5) Ф„= Х.>з (прн Х, = в). у (У>э= — — Ф„= — —,Х.„Х>Хз.
о ов (51.6) у, ! и,= — — Ф,= — —,1 Х»Х ° (51.7) (51ЛО) (Уз( — — — — Аз)((й'. ! Г с ~ < (51.11) ио« .ч<:>ч>мО1О<'ион нзаимОдьп<'О|и|' 1и>(: <Оянных токов 2. Двойной интеграл, входящий в выражения для (!>|> и (!>м, обозначается об>ыкновенно через 1.<т и У.з<.. и носит название коэффициента азии<иной индукции контуров Ул и 1. (смысл этого названия выяснится в главе >>, когда будет установлена связь между коэффициентом 1|> и индукционным взаимодействием токов). Внося это обозначение в выражения для (!>|т и (!>з|, получим Коэффициент взаимной индукции есть, конечно, чисто геометрическая величина, зависящая лишь от конфигурации и нзаимного расположения контуров 1.1 и 1.> и от выбора направления положительного обхода каждого нз этих контуров ').
Однако на основании равенства (51.4) можно сказать, что коэффициент взаимной индукции контуров У.< и 1> численно равен магнитному потоку, посылаемому через один из этих контуров (например У.з) током силы с, пиркулирующим по другому контуру !.|1 3. Согласно уравнениям (50.4) и (51.4) потенциальная функция 1/<т тока У в иоле тока У| равна Точно таким же образом выразится и потенциальная функция (! | тока У| в поле тока Ут: Величина (У<т (или равная сй величина !'з|) играет роль взаимной потенциальной энергии токов У| и У> в том смысле, что работа пондеромоторных снл взаимодействия этих токов при перемещении любого из них или обоих одновременно равна убыли функции 1'| . В частности, обобщенные пондеромоторные силы взаимодействия этих токов Он согласно уравнения> (50.6), равны взятым с обратным знаком производным от (У<в по соответствующим обобщенным координатам <!е Так как согласно (50.5) при определении работы этих сил по изменени<о величины !/<т, силу токов У< и .1, нужно считать ') При перемене направления одного из токов (наиример Уд и при сохранении неизменным налравлеиия друго<о тока знак козффиниента !.,> изменяется иа обратна<<<, ибо изменяется направление вектора из<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
