Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Так как значение вектора 1 в элементе г()г (точка истока), очевидно, не зависит Совокупность равномерного поступательного движения со скоростью вл и равномерного кругового движении со скоростьк> р г в плоскости, перпендикулярной Н, предсгавляет собой движение с постоянной по абсолютной величине скоростью по винтовой линии, навитой на прямой круговой цилиндр радиуса Н, ось которого параллельна Н. Угол между осью цилиндра и касательной к винтовой траектории электрона, конечно, постоянен и определяется начальными условиями движения. В частности, если начальная скорость электрона направлена перпендикулярно Н, то винтовая траектория электрона вырождается в окружность, плоскость которой перпендикулярна Н. Нтак, в постоянном однородном магнитном поле электрон описывает, вообще говоря, винтовую линию, ось которой совпадает с направлением поля.
Заметим, что формула (45.7) даег возможность путем измерения )7, ш Н и э!и (и, Н) определить отношение е/т заряда электрона к его массе. Возможность эта широко используется в экспериментальной физике для определения отношения с/гп как для электронов, так и для других заряженных частиц (а-лучи, каналоиые лучи и т. д.). 175 ввкто! -потщсцидл мг)гнитного поля ! Г1аг А с3 !т Н го1 А. го( О/)т») = ~йта(), ~ — ) . 1~ 111(1 В = — 6га() 4), Н=- .-~ го(,( ) д)5 Н = го(.( — '~ фее).
А ! ~ . (46.4) Если ввести обозначение !Г) (46.1) то уравнение это примет вид Н = — го( А, (46.2) (46с6) 174 !юндш омотогчкзв вздимодщтствив постоянных токов (гл !ь перемещения точки наблюдения /», то, стало быть '), го1,1 0 Внося это в уравнение (44.3), получим Так как в этом выражении дифференцирование (образование ротора) производится по координатам точки наблюдения, а интегрирование' — по объему проводников, обтекаемых током, то изменение порядка этих операций не может повлиять на результат вычислений. Стало быть, можно написать где индекс и при знаке ротора опущен как излишний, ибо при заданном распределении токов вектор А является функцией положения одной лишь точки наблюдения.
Таким образом, напряженность магнитного поля может быть представлена в виде р(пора некоторого вектора А, когорый носит название векторного потенциала илн вектор-потенциала токов. 2. Заметим, что для лцнедных токов (т. е. на расстояниях от токов, больших по сравнени»ос размерами их сечения) выражение векторного потенциала А может быть преобразовано с помощью формулы (44.6) и принимает следующий вид: 3. В ведением векторного потенциала А значительно облегчается из чение магнитного поля постоянных токов, под»»био тому, как введением скалярного потенциала г( облегчается изучение электрического поля стационарной системы электрических зарядов е). Аналогия между ролью векторного н ') П ) Поясним вто переходом к декнртоным координвтвл» Пусп л;„у„, .„ и нвблюдеи»»я 1, н х„, у„.
г, -- координнгы влсме»пн гокв )Л', тнк Л'=- ( г( г( 1 ! есть функции только от к», (г», вн 1=1 (х,, у„-,), тогдн кнк й'=- — ),'- '(: ») '- ры — у») .+ (»» — ») . Прн онрсдслснии»(оп и го(„ди»)црерснцнровнть нужно то коордипнтнм точки пнблюдения, гнк что, ннпримср. го! .1 а)л(ке, угп ге) а/н(к, у, ге) ау, ) К' к мы убедимся н днльнейюем, магнитное поле токов, кнк н нснкое ннхрсвос поле, одно »ннчиым скалярным потенциалом не облнлвет скалярного потенциалов особенно отчетливо выявляется при сопоставлении формул для электростатического и магнитного полей: Из этого сопоставления явствует также, что вектор плотности тока играет для ма н ля магнитного поля такую же роль, как скаляр плотности зарядов для полн электрического.
4. Перейдем теперь от интегральных соотношений к дифференциальным уравнениям для вектор-потенциала. Если ввести произвольную систему декартовых координат х, у, г, то уравнение (46.1) можно записать в следующей форме: Каждое из этих выражений для каждой из слагающих вектора А соверШенно аналогично выражению скалярного потенциала электростатического поля: ~ р»()г В 4 12 было показано, что это последнее выражение является решением (интегралом) дифференциального уравнения Пуассона (!1.3): 1)э»р = — 4пр. Следовательно, и выражения (46.4) для слагающих вектор-потенциала являются решениями следую(цих дифференциальных уравнений Пуассона: н Ак тл» ук Ау= гу» тг Ал !н 4я 4п 4л .
Эти три уравнения для слагающих вектора А, согласно (41"), равнозначны одному векторному уравнению »()йА = — — 1, (46.6) которое и является искомым дифференциальным уравнением для векторного потенциала. Нам остается только рассмотреть вопрос о том, прн каких условиях интегральное выражение (46.1) для векторного потенциала однозначно вытекает нз дифференциального уравнения (46.5) . В 4 12 были исследованы условия, при которых приведенное выше интегральное выражение для гр однозначно вытекает из уравнения Пуассона.
Повторяя все рассуждения 4 12 с заменой гр на А„Агп А, и р на /,/с, )н/с, ),/с и полагая, кроме того, о=(). мы придем к тому результату, что интегральное выражение (46.1) для А является едцпсгаенным решением дифференциального уравнения (46.5), удовлетворяющим следующим условиям: 1) как сам вектор А, так и его пространственные производные конечны и непрерывны во всем пространстве; !77 НОндГРОмОФОРнОе ВзлнмОднпствиГ ПООТГ>янных >Оков 1Г>1 ДИФФГРН>ЮН1ЯЛЫ>ЫГ УРХННРНИ51 МЛЩ>я>НОГО 1ЮЛЯ 2) в бесконечности каждая из слагающих А~,, вектора А удовлетворяет условиям типа (12.10): )7Аз и 17з(7Аз остаютсЯ конечными пРи Я-ь сс.
(46,6) При этом, разумеется, предполагается, что плотность 1 возбуждающих поле токов конечна во всем пространстве и настолько бь>стра убывает с !с„ что интеграл (46.1) сходится. Если же ввести в рассмотрение поверхностные токи, объемная плотность 1 которых бесконечна, то выражение (46.1) нужно дополнить еще одним членом (см. 4 49). 5. Заметим в заключение, что первые производные вектора А по координатам связаны между собою соотношением с1РГ А=-О. Действительно, из уравнения (46.1) следует: ЦГ А= — 61 е ~л~ а3 где индекс а у знака дивергенции означает, что пространственное дифференцирование производится сю координатам точки наблюдения Р.
Но, как указывалось в начале этого параграфа, порядок операций интегрирования по объему токов и дифференцировании по точке наблюдении может быть изменен на обратный. Стало быть, "'"А=Я "Н) . Применяя уравнение (43>е), можем написать; (46.7) а<ил (у) = тт <)<ч.1+1 ага<), ( — ') =(ига<), ( — '), ибо значение вектора 1 от координат точки наблюдения Р не зависит, ввиду чего ГН1„1 — О. С другой стороны, воспользовавшись формулой (!О") и при- менив затем вторично формулу (43"), получим ~6габ. (й) =-~6 б,~т) = — б(и,(ф)+фб(и,~.
Г 1 1 Последний член снова равен нулк>, ибо дивергенция вектора 1 ранна нулю (уравнение (37.4)]. Стало быть, окончательно: О!5<я 1, 11 ) = — <(<те ( ~ ). <(1<с А= — — $ <)1« ~ — ) <гу, <))т<А ~> 1» 1 е причем интегрирование должно быть распространено по поверхности всех обтекаемых током проводников. Но на поверхности проводников, согласно Г1оследний интеграл можно преобразовать по теореме Гаусса, ибо пространственное дифференцирование под знаком интеграла производится по тем же координатам точек истока, как и интегрирование (в отличие от предшествующего выражении для с)!5 А, в котором дифференцирование под знаком интеграла производилось по координатам точки наблюдения).
Следовательно, уравнению (37.6), 7'„= О; ел еда на тел ьно, что и требовалось доказал . с(пт А=О, $ 47. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Циркуляция напряженности магнитного поля С другой стороны, образовывая ро~ор от обеих сторон того же уравнения (46.2), получаем на основании уравнения (42>'): го( Н = го(го<А= ига<(<)115 А — 1)еА, или, ввиду уравнения (46.7), ( Н = — '(ГзА. (47.2) Внося сюда выражение (46,5) для <71 А, получаем окончательно; (н= — '," ~.
(47.3) Уравнения (47.1) и (47.3) представляют собой полную систему основных дифференциальных уравнений магнитного поля постоянных токов (см. $ 49). 2. Р с отрим циркуляцик> магнитного вектора Н по произвольной ас м е е ия (47.3) замкнутой линии !. На основании теоремы Стокса (27 ) и уравнения ( . ) мы можем написать; $ Н,да= ~ го(„Н<ГБ= —,~)я«5, Ь а з (47.4) и ичем поверхностные интегралы могут быть распространены по любой нз поверхностей, опирающихся на контур й (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
