Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 50
Текст из файла (страница 50)
определение поверхностной дивергенции в $6). По аналогии с уравнением (6.8) мы, таким образом, можем выразить только что сформулированное положение в следую!цем символическом аиде: го1 а=4п] -и !(о! а= — 4п1, (49.7) Так как !1 может иметь произвольное направление в плоскости раздела, то 4гг!(с = [пНз] — [пН4]. (49.3) Это уравнение и представляет собой то пограничное условие, которому при наличии поверхностных токов на поверхности раздела должны удовлетворять касигельные слагающие вектора Н (ибо лишь эти слагающие и входят в выражение ]пН]). Г!ри отсутствии поверхностных токов это пограничное условие принимает вид 7 [и (Нх — Н,)] = О.
(49.4) / Это уравнение означает, что слагающие напряженности поля Н, касательные к Рис. 49 произвольной поверхности, непрерывны, т. е. что при отсутствии поверхностных токов для любого касательного направления ! 1н>г>»АН)1»нн»п! ш>новик и млгниюгом нол)' токлш ! 1ОНДЯРОМОТОРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТИИВ 1ЮСТОЯННЫХ ТОКОВ 11'л.
)У ! 4э( 4 Итак, пограничные условия (49.1) и (49.3) для магнитного поля постоянных токов могут быть записаны следующим образом: В[чН=О, Ко[Н= — 1. 4я с Пограничные условия (4.3) и (7.7) для стационарного электриче поля в вакууме на основании эквивалентности уравнений типа (49 (49.5) могут быть записаны так: [))у Е=4по, Ко! Е=О. Уравнения го[Н= — 1, Ко[н= — 1 4п 4я . (В) б[)(Н=О, В[ум=О представляют собой полную систему дифференциальных уравнений магнитного поля постоянных токов. Другими словами, системой (В) магнитное поле определяется однозначно, если известно распределение токов ! н 1 и если на бесконечности удовлетворено условие НЯ прн Н- оа Остается конечным, (49.10) означающее, что все возбуждающие поле токи расположены в конечной области пространства (ср.
(12.10) и (46.6) ); обратно, если задана напряжен- ность поля Н в каждой точке пространства, то системой (В) однозначно определяется распределение токов 1 и !. Второе утверждение очевидно; для доказательства же первого предположим, что существуют два решения Н и Н' системы (В) при заданных 1 и 1. Внося аба решения в (В) и вычитая за~ем соответственные уравнения одно из другого, получим га(Н" О, Ка(Н О, б!т Н" О, )д(т Н" О, (В') где Н" = — Н вЂ” НС Далее, полагая Н" =го( А", что всегпа возможна, ввиду бмн" =О, получаем на основании (44») и (В') следующую цепь равенств: Стало быть, интеграл от Н"' по произвольному объему, ограниченному поверхностью д, будет на основании (17*) равен Ива )(!7 ~ б!т [А"Н"1)()7 $ [АвН )л "~» [49Д Ц причем поверхностный интеграл должен быть взят лишь по пограничной поверхности 3, нбо во всем поле, согласно (В'), вектор Н", а стало быть, и вектор А" остаются непрерывными. Если теперь распространить интегрирование на объем полного палл (с.
67), то на основании (49.10) интеграл па пограничной поверхности а обратится в нуль '). Стала быть, ) 1» н»(р=-о, откуда следует, что Н" = Н вЂ” Н' во всех точках полн обращается в нуль. Этим и доказывается однозначность решения системы (В). '6. Заметим, что при наличии поверхностных токов выражения (44.3) и (46.1) для напряженности поля Н и для вектор-потенциала А принимают ') Так как Нвыражаетсн через производные вектор-потенциала А, то прн условии (49.! О) этот вспомогательный вектор всегда может быть выбран так, чтобы на бесконечности удовлетворилось условие: А)( при )1 чл остаегси конечным [сь».
также уравнение (46.6)1. Н»» * Н го(А»»-б!т[АнН"1+ Аа го! Нн-б!у[Анна). (49.8) ского .4) и (49.9) (49.!2) А= — '~~ — д[/+ — ' ~~,ц 1'1 !1! с ) И вЂ”,) и ° (49.13) 1'=ПУ. (49.! 4) Линии этого тока представляют собой окружности, образованные сечением поверхности цилиндра плоскостями, перпендикулярными его осн. Предположим, что наш соленоид представляет собою цилиндр бесконечной длины, В этом случае поле вне соленоида и„ равно нулю, а поле внутри соленоида Н, однородно и равно Н =4я! 411 у Н =О (49.[б) причем Н, направлено по оси соленоида и составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему. Действительно, выражения (49.15>), очевидно, удовлетворяют уравнениям б(т Н = 0 и го! Н = О, соответствующим отсутствию объемных токов. Далее, Н всюду параллельно поверхности соленоида, т.
е. поверхности разрыва поля, и поэтому [)!у Н=О. Наконец, как легко убедиться, при указанном направлении Н) выражения (49.15) удовлетворяют на поверхности соленоида также и уравнению Ко( Н = 4п — 1. Таким образом, выражения (49.15) удовлетворяют всем уравнениям системы (В) и, ввиду полноты этой системы, представляют собою единственное решение задачи '). ') Собственно говоря, приведенное выше доказательство однозначности системы (В) неприменимо непосредственно к полю бесконечного соленоида, ибо в этом случае токи не сосредоточены в конечном участке пространства, Н не исчезает в бесконечности, и нельзя утверждать, ч)о входящие в (49.11) величины Н" н А" будут исчезать в бесконечности, Гели, олнако, рассл»атривать поле бесконечного соленоида как предельный случай поля очень длинного конечного соленоида (а только такое рассмотрение и имеет физический смысл), та из доказанной однозначногти паля сколь угодна длинного, ио конечного соленоида вытекает однозначность поля и в предельном случае бесконечного соленоида.
где поверхностные интегралы должны быть распространены по всем поверхностям, обтекаемым поверхностными токами. В справедливости этих обобщенных выражений легко убедиться путем предельного перехода от токов объемных к токам поверхностным. В дальнейшем мы повсюду, если только явно не будет оговорено противное, будем считать поверхностные электрические токи отсутствующими (1'=0) .
П р и м е р. Магнитное поле бесконечного цилиндрического соленоида. Предположим, что ток У циркулирует по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра сечения 5. Такой обтекаемый током цилиндр называется цилиндрическим солеиоидолг. Пусть на единицу длины цилиндра приходится и витков проводника. Если ход винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым кольцеобразным током той же силы. Если к тому же сечение проводника малб по сравнению с сечением цилиндра, то можно приближенно считать, что по бесконечно тонкой поверхности цилиндра циркулирует равномерно распределенный поверхностный ток плотности Нь т(~э (60.!) Ф= ~ Нп«ХВ= ~ го(„АгВ=$А,Ю.
8 1> ь (50.2) ~ХН„ж = ЬФ, Ь ЧР= —,Ч1с(я Н]! то уравнение (50ХИ примет вид (50.5) но ЬА = — (ЫХ)х, ЬА = — ~ Н ЬВ = — ~ ХХьЫ> Х г Х Г с с 3 Ь Ь аи 61 = — ° дд~ ' (50.6) ПОндвРОИОтс>РНОГ нзьимоц! пг >пн1. >их'>аниных ток> я:.1 1 г« Очевидно, что формулы (49.15) приближенно применимы и к пгино конечного соленоида в тех его участках, расстояние которых от концов соленоида велико кзк по сравнению с расстоянием до ближайших участков соленоида, тзк и по сравнению с поперечником соленоида. В сущности, только этот слу г лучай и имеют в виду, когда говорят о поле «бесконечного» соленоида. Задач а 3! Решить задачу 29, исходя из дифференциальных уравнений поля (В), и, кроме того, показать, что поле впе полого цилиндра совпадает с полем .тинейного тока той же силы, протека>огцего по оси цилиндра й 50.
Нондеромоторные силы, испытываемые в магнитном поле замкнутым током. Потенциальная функция тока во вне>пнем магнитном поле 1. При определении механических сил, испытываемых замкнутым током Х во внешнем магнитном поле, ограничимся сначала тем случаем, когда это поле не изменяется сколько-нибудь существенно на протяжении любоп> сечения тока Х, так что ток этот можно считать линейным (с. 167). Поставим себе прежде всего задачу определить работу, совсрпшемую пондеромоторнымн силами магнитного поля Н при произвольном перемещении контура тока Х.
Перемещение это, вообще говоря, может быть связано с деформацией контура тока. Пусть каждый элемент г(з контура Х. тока Х испытывает некоторое произвольное бесконечно малое перемещение ц, конечно, не нарушающее сзизпосм> контура (рис. 50), причем сила токи Х остается ари этом а> 1>ем«ариан настоянной (виртуальное перемещение). Работа, совершаемая силами чзгнп гного поля при этом перемещении элемента йз, будет, соглвсгп> уравнсщпо (44,4), равна ь> общая же работа ЬА, связанная с псреме>цением всех элементов контура тока, Г>удст ранна ЬА=$ГЧ= — $1(Ия Н]= —,$Н]цй 1, Рн«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
