Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 49
Текст из файла (страница 49)
приложен, . ). р 1Р Ч нетрудно н непосредственно убедиться, что благодаря замкнутости постоянных токов значение этих поверхностных интегралов зависит лишь от контура Е поверхности интс>грирования 5. Действительно, согласно ур ( 1„1!5 равно силе тока с!7, проходящего через элемент поверхности 115 в направлении ее положителыюй нормали. Следовательно, $ Н, <(5= — ~ 7'„<(5 = — ~~~~7, (47.5) где > <' есть алгебраическая сумма сил токов, пронизывающих контур токи эти должны считаться положительными или отрицат " ис ательнымн, в зависимости от того, составляют ли их направления с направлен влением положительного обхода контура 7. право- или левовинтовую систему (рис. 47). 1.
Так как дивергенция всякого ротора всегда равна нулю !Уравнение (42зе)), то из уравнения (46.2) непосредственно вьпекает весьма важное уравнение: 11!е Н =О. $48. Поля потенциальные и поля соленоидальные. Сопоставление дифференциальных уравнений электрического и магнитного полей !. В $7 и 8 мы доказали, что необходимым и достаточным условием того, чтобы поле произвольного вектора а было полем потенциальным, является равенство нулю циркуляции вектора по любому замкнутому контуру !уравнение (7.3)): $ аз 4(8=0. (48Л) В этом и только в этом случае можно ввести однозначный скаля потенциал >)> вектора а; определяемый соотношением в %1 — Фа — — ~ а.~Ь, 1 причем вектор а, согласно результатам э ! О, оказывается равным гра этого потенциала, взятому с обратным знаком '): а= — йтас) ф. рныи (48.2) диенту ! (48.3) > ) Хотя рассуждения 4 7, 8 и !О атиасятся непосредственно к вектору напряженности электрическага паля, однако, как уже указывалась там же, все эти рассуждения примеиимы ка всякому вектору а, циркуляция катарага па праизапльнаму контуру таждествеииа равно нУлю.
Каиечиа, при этом встречающаяся в этих параграфах величина А уже ие буде>, ваабще говоря, представлять собой рабату сил паля; физический смысл ее буде~ зависеть ат смысла вектара а. Если же две поверхности 5 и 5' опираются на один и тог же контур 7., то совокупность этих поверхностей образует одну замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем )>. Благодаря замкнутости постоянных токов количество электричества 7 7, втекающего че- 78 7 эб рез 5 в единицу времени в объем )>, должно равняться количеству электричества ~ 7, вытекающего из этого объема через поверхность 5'. Такил> образом, величина ~7 действительно будет одинакова для обеих поверхностей 5 и 5'.
/ Итак, согласно уравнению (47.5), циркуляция / вектора напряженности магнитного поля по кривой, не охватывающей токов, равна нулю, циркуляция Я ~ же по кривой, охватывающей токи, равна помножен/ ной на 4п/с сумме сил этих токов (взятых с надлежащими знаками). Эта теорема является одной из важнейших в теории магнитного поля. 3 а д а ч а 30. Показать, исходя из уравнения (4?.4), что напряженность поля тока силы 7, протекающего по бесконечному прямолинейному круго- 7>с1) вому цилиндру радиуса гв, равна Рис. 47 87 На= — (при г )эга) н Н> = — е (при г~га)> с>да где г есть расстояние точки поля от оси тока, причем силовые линии поля представляют собой концентрические току окружности.
(См. также для сравнения задачу 25.) иогрлиичнь>е жшов>щ и мл> пи1пом >нш». >ж»п Далее, в $7 мы показали, что вектор, удовлетворяющий интегральному условию (48.1), удовлетворяет также дифференциальному уравнению го1 а=-О (48.4) во всех точках пространства '). Обратно, из уравнения (48.4) следует уравнение (48.1). Таким образом, условия (48.!) и (48.4) эквивалентны друг другу, и следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы поле вектора а обладало однозначным скалярным потенциалом, является равенство нулю го1 а во всех точках пространства. Поэтому поле потенциальное называется также полем безаикреаыдс В частности, напряженность постоянно<о электрического поля Е удовлетворяет условию (48.1) (см.
уравнение (7.3) ] и поэтому обладает скалярным потенциалом >р, а также удовлетворяет дифференциальному уравнению типа (48.4): го1 Е=О (48 5) (см. уравнение (7.6) ). 2. Сопоставим систему уравнений для напряженностей магнитного и электростатического полей; Й)> Е = 4пр, т)!т> Н = О, го( Е = О го( Н = 4 с Магнитное поле, в отличие от поля электростатического, есть поле вихревое, и притом чисто вихревое в том смысле, что дивергенция его всюду равна нулю. Такие поля называются также соленомдальными. Поэтому скалярным потенциалом (по крайней мере, однозначным скалярным потенциалом,— см.
дальше) магнитное поле не обладает. Подобно тому, как потенциальное электростатическое поле полностью определяется заданием силы его истоков (т. е. заданием его дивергенции как функции координат), так вихревое магнитное поле полностью определяется заданием мощности его вихрей, т. е.
заданием ротора поля как функции координат. Согласно уравнению (47.3) вихри магнитного поля расположены в участках поля, обтекаемых токами, и только в иих, причем мощность этих вихрей (т. е. ротор) пропорциональна плотности тока !. Иными словами, обтекаемые токами участки поля могут б>ыть названы вихревым пространством магнитного поля.
$49. Пограничные условия в магнитном поле токов. Поверхностные токи. Поверхностный ротор. Поле бесконечного соленоида !. С цельк> установления пограничных условий, которым должен удовлетворять вектор магнитного поля на поверхностях разрыва, предположим сначала, что во всех проводниках и, в частности, в проводящих ток тонких слоях, если такие существуют, объемная плотность токов ! всюду остается конечной. Будем затем стремить толщину с(! этих обтекаемых током слоев к нулю и потребуем, чтобы уравнения поля (47.1) и (47.3) оставались справед- ') Уравнение !48.4) мажет быть также непосредственно палучеиа из (48.3) иа основании известиай формулы вектариага анализа [42>'), сагласиа катарай ротор градиента тождественна равен нулю.
181 ногехннчньп: хсловия в ыхп!итноы поле токов ! 4э1 186 НОНДЕРОЫО1ОРНОЕ ВЗХНМОД!.Йстане !ЮСТОЯННЫХ тс!КОВ !Г !. Ч пивыми в этих слоях и в предельном случае нри д1=6. Этим требованием искомые пограничные условия определяются однозначно. Действительно, на основании этого требования из уравнения (47.1! олучим, согласно уравнению (6.7), пограничные условия ъзя нормальнон слагающей вектора Н: !л!тгН=Н „— Н1„=0. (49. !) Интегрируя же уравнение (47.3) по поверхности о, получим на основании Р,, . и теоремы Стокса (27') уравнение (47.4) 4 ° =с г ! Ъ Ф, с-- 'т",'-':,й;Я;: ~'Х4] ]д! ( Возьмем произвольный слой толщины . ~-.~.:Й-"''--~ — --- — — ' сЛ, отделяющий среду ! от среды 2.
и ! .- — "- — " -'"! с'[ рассмотрим элемент нормального сс нния этого слов дЗ= — д(д!, заштрихованный на рис. 48. Применим интегральное уравнение Рис 48 (47.4) к этому элементу. Направление положительного обхода этого учас1ка выберем, например, так, как указано на рисунке. Если мы станем стремить к нулю толщину слета дй оставляя длину рассматриваемого участка д! неизменной, то пло!цадь этш о участка будет такж! стремиться к нулю. Левая же часть уравнения !474) при д! "- О сведется (вплоть до ве.чичин второго порядка малости) к $ Нв дз = (02с Нм) д и где И! и Ии суть значения вектора Н в первой и второй средах, а ! — единичный вектор, касательный к поверхности раздела и лежащий в плоскости сечения слоя.
Что же касается правой части уравнения (47.4), то она пропорциональна силе тока, протекаю!цего через площадку д( дй и поэтому сведется к ну.по при д! = О, если объем наи плотность тока 1 конечна, как мы всегда до сих пор предполагали. Однако в риде случаен, есчн токи сскредоточени в слое весьма малой толщины, удобно рассматривать предельный силучай токов, протекающих по бесконечно тонким поверхностям, т. е.
токов поглсрхног! и!4х (ср объемные н поверхностные электрические заряды). 2. Под плотностьк11 поверхностных токов, в отличие от птогности 1 токов обьемных, мы будем понимать количество элсктричсспш, протекающего в единицу времени через единицу длина отрезки, расположенного на поверхности, по которой течет ток, и перпендикулярного направл! ни!о тока. Если ! отлично от нуля, то сила 1ока, протекающего через заштрихованную площадку сН сП (рис.
48), в пределе при д). и О окажется, очевидно, равной: 1 ни ! „Ю = Б т амид! д! = .!и гй, (49.2) где !', есть перпендикулярная к ! слагающая плотности поверхнос.п!Ого тока. ! Гы ввели здесь индекс Л' вместо и, чтобы сохрапигь за и зна !снис нормали к поверхности раздела (п направлено из среди ! в срсду 2!. Г!Од М нужно понимать единичный вектор, касательный к !кшсрхности и перпендикулярный к касательному жс вектору !. Внося полученные выражения в (47 4), найдем после сокращения па д! искомое пограничное условие: 4язн!с = Нз! 77!о Из рассмотрения рис. 48, в котором, соответственно избранному нами направлению обхода заштрихованной площадки сН д1, вектор Х должен быть направлен на читателя, можно убедиться, что взаимно перпендикулярные единичные векторы 1, !1, и составляют правовинтовую систему (рис.
49), так что 1= ]й!и]. Стало быть, Н4=Н(=Н[йп]=Х[пН], г„=й(!. Внося это в предшествующее уравнение, получим 4п!!1! — = г) [п(Нз — Н,)], л Н,=о!. (49 6) Очевидно, что уравнении (49.4) и (49.5) эквивалентны друг дру!у. 3. Из предшествующего явствует, что, вообще говоря, если два произвольных вектора а и ] связаны ссютношснием го! а =4п), то на поверхностях разрыва этих векторов связывакнцее их соотношение принимает вид [п(ая — а,)] = 4441, где 1 получается из ! предельным переходом типа (49.2). Поэтому левук! часть последнего уравнения принято называть поверхностным роге!рол! вектора а и, в отличие от обыкновенного ротора, обозначать через Ко! с прописной буквы Г(: НОГ а = [и (ах — а,)] (49.6) (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
