Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 46
Текст из файла (страница 46)
45). В этом случае [«з<(«г] =О, и поэтому Г!г=О, тогда как [<(згйг!] ФО и Гг! чьО; элемент <1з! ИСПЫтЫВаЕт СИЛУ Со СТОРОНЫ ЭЛЕМЕНта йвго но сам на него не действует. Впрочем, в случае постоянньи токов, по необходимости являющихся замкнутыми, это нарушение третьей аксиомы Ньютона связано лишь с представлением сил взаимодействия токов как сил попарРис. 45 ного взаимодействия их элементов.
Действительно, как мы покажем в $51, силы взаимодействия двух замкнутых токов удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия (см. также задачи 27 и 28 в конце параграфа). В общем же случае переменного электромагнитного поля можно и должно обобщить понятие количества движения так, чтобы справедливость этого принципа оказалась обеспеченной во всех электромагнитных явлениях '). 4. Выше уже упоминалось, что в пределах изучения эаа<кнутых постоянных токов сила взаимодействия элементов токов не может быть определена однозначно. Математически это обстоятельство выражается в том, что если видоизменить закон взаимодействия токов добавлением ряда членов, интеграл которых по всякому замкнутому контуру обращается в нуль, то общая сила, испытываемая элементом со стороны зимкнутого тока, остается неизменной.
В частности, легко убедиться, что выражение силы Р«ноже~ быть видоизменено следующим образом: 1Л и!г Г<г+ —,(Ф ()«з) («в< ((<з) <(зз+ <К ()«з (<(зз )(<з) / Я<з))). (43 й) где Ф (нп) и 1 (<<!и) суть произвольные скалярные функции ат к<ь а <! (нп («зэк<э) ! (к<61 означает приращение (дифференциал) выражении в скобках ори перемещении начальной точки радиуса-вектора йп на отрезок <!з, (так что <!кп= — <!з<).
)<ействительно, при интегрировании но контуру тока /< аа<ледний член обращае<сн в нуль как интеграл полного дифференциала оо замкнутому пути. Лалес, Ф ()7п) мп всегда может быть представлено в виде градиента некоторой функции ф (Н«) от )7п (см. уравнении (7*) и (В<)1: Ф ()7<з) К„йтад ф (Ю<з). Следовательно, Ф (<«в) (дз, )(<з) (<(з< ° ягай ф ()1<з)) дф ()7<з) <(з<. дз, Интеграл же этого полного дифференциала оо замкнутому контуру тока У< (а стало быть, и интеграл второго члена формулы (43.5)1 также обращается в нуль, 3 ад а ч а 27.
Исходя нз уравнений (43.!) и (43.2), показать непосредственным интегрированием, что раеног)ейстеующая сил, испытываемая ') в $ !Об будет доказан обобщенный закон сохранения полного (механического и электромагнитного) количества движения (уравнение [!Об.10)]. Так как закон сохранения количества движения эквивалентен закону равенства действия и противодействия, то тем самым будет показана и справедливость этого последнего закона в его обобщенной форме. одним из замкнутых токов со стороны другого замкнутого тока, удовлетворяет принципу равенства действия и противодействия. 3 а д а ч а 28.
Закон пондеромоторного взаимодействия элементов тока был впервые сформулирован Ампером, исходивп!им нз предположения, что взаимодействие элементов тока должно удовлетворя~ь третьему принципу Ньютона и должно быть направлено по линни их соединения. Найденный Ампером закон в наших обозначениях гласит: Ггг = г ез (<(а! 4(1г) (<<аг ззз!г) (<(з< <(йг) ~ звэ1г' 1г Показать, что применение формулы Ампера к вычислению результирующей силы, действующей на элемент с(зг со стороны всех элементов замкнутого тока 7<, дает тот же результат, что и применение формулы (43,1).
$44. Переход от линейных токов к токам конечного сечения 1. В предыдущих параграфах мы рассматривали элементы линейных токов. Очевидно, что при определении возбуждаемого током поля можно считать линейными тс токи, размеры любого сечения которых достаточно малы по сравнени!о с расстоянием от этого сечения до рассматриваемых точек поля Р. Разумеется, ток может удовлетворять этому условию линейности лишь в том случае, если мы ограничиваемся рассмотрением достаточно удаленных от него точек поля. Прн определении же понг)ерол<оторных сил, испытываемых током во внешнем магнитном поле Н, ток этот можно считать линейным в том случае, если поле Н не изменяется сколько-нибудь значительно на протяжении любого сечения тока. Таким образом, формулы З 42, 43 применимы лишь в случае выполнения перечисленных условий. Так, например, прн Я -е О определяемая формулой (42.2) напряженность поля Н стремится к бесконечности, т.
е. теряет смысл. Однако до<г<аточно незначительных преобразований формул э 42, 43, чтобы сделать их применимыми при произвольном << и прн произвольно быстро изменяющейся от точки к точке напряженности внешнего поля Н. Для этого достаточно воспользоваться тем, что, согласно з 37, ток конечного сечения может быть разложен на совокупность бесконечно топких нитей тока, н применить формулы $42 к элементам этих нитей. Сила тока <(7, протекающего по нити тока, согласно уравнению (36.2), равна <77 =1 <75, где 1' — плотность тока, а <75 — — перпендикулярное к оси сечение нити. Стало быть, <(7 <Ь =1 Ю йз=) <()', где «з — длина, а «)< — обьем бесконечно малого отрезка нити. Так как, наконец, ось нити тока, по определению, совпадает с линиями тока, то <(з параллельно 1 и (44.1) <!'7 <(з=] <1)<.
Таким образом, элемент длины каждой нити тока, совокупность которых образует ток конечного сечения /, эквивалентен элементу объема ) <()< этого тока 7. 16<! (44.2) Н=3 (Н=-1 ~ '~~~,()Г, (44.3) ( >/! (н ] к з ]] 1 (44.5) т/)г йв з1!> О г(О г/а <УК и о о о );уФ<)эчн<уЩ Л/, (44.6! (44.7! 168 иондк омоторно! !<тлнмо/н(яст!Тнк иостоянн!ях !окоп (гл. ч Поэтому напряженность г(Н поля элемента объема ! <(!г тока ) на осионании (42.2) и (44.1) равна Общая же напряженность магнитного поли всего замкнутого тока ) будет равняться сумме напряженностей !юлей, создаваемых его отдельными эле- ментами; где интегрирование должно быть распространено на весь об>ъем тока (т. е.
На объем обтекаемых током проводников), а Й есть расстояние рассматринаемой точки поля )> от элемента тока г(!г. Конечно, в случае линейных токов эта последняя формула сониадает <. формулой (42.4). Совершенно аналоги шым нутом, применив уравнение (42.1) к элементу нити тока объема г()г н воспользовавшись уравнением (44.! ), получим, что нондеромоторная сила, исиытываемаи элементом объема проводника г(1>, по которому протекает ток плотности 1, равна Г = — [г(в Н] = — ]] Н] <1)/, <)г' 1 (44.4) где Н есть напряженность магнитного поля в элементе </1С Иными словами, объемная плотность понг)еролоторньгх сил равна 2. В дальнейшем нам неоднократно придется нереходить от рассмотрения линейных токов к токам конечного сечения и обраии>. Как явс!.кует из изложенного, в частности, из сравнения (42.4) с (44.3), иерехцш этот всегда эквивалентен замене интегрирования ио длине линейного тока интегрированием ио объему тока конечного сечения: где Ф может быть любой скалярной или векторной функцией точки.
Вели ток удонлетворяет условиям линейности, перечисленным в начале этого параграфа, то оба выражения в формуле (44.6) равноси.!ьны друг другу; в противном же случае онн различны по своему содержанию, причем физический смысл имеет только объе/нный интеграл. Заметим также, что в случае разветвленного контура тока только нравая часть (44.6) сохраняет свой вид, тогда как в левой части необходимо учесть, что сила тока в различных участках его цепи может быт/ различной. Соотношение (44.6) можно условно записать в форме, соответствующей уравнению (44.!), заменив в последнем <() на ): Хг!5 ам! <()/.
Однако соотношение (44.7), в сущности, приобретает смысл лишь ио выполнении слева интегрирования цо г)5, а справа ио с(1г, как это явно указывается в (44 6), /!-!!<егтн< !к гокн н гики коиющого качения 3. Формулы ((4.,'!) и (44.4) применимы, очевидно, во всех точках поля постоянных токов.
В час!ности, определяемая нми наириженность поля Н в отличие от уравнсщ!й (42.2) и (42.4) вс!оду сохраняет конечное значение (если, разум<ется, плотность тока ! вск>ду конечна, как это следует нз зле>тенте>р!<ь!х физических со<убражений) '). для шчек наш леызшнт вас.>оксе (Кз О!, это ачгвплно чтобы уделяться в консчностн по.>н Н вну> рп т»юв, ра< смпгрнч прон нкыьнук»очку Р',:и кляп< ш внутри несущего ток проводннка, и оннше>г воьру> ш >,ф«ру ! ча:шго, на нсс же консчп но развя з Кч, 1(о.>с, создаваемое в Р >очкзмн, пзхолян<пчнся мп гф«ры 1 ', кап< чно, нбо э>н токи нзхалнтся а> /' па конечнол> рзсшаяпнн, Г>а>ьп>ем К„. Цгвло быть.
>шм дог>а>очно <беднгься в ьонечностн шмя Н', создаваелюго ~о>гз>гн, пахала>пнчнся внутрн фсры 1'. Нз уравпеннн (44.З! слслугг: > <с ~ Н', н; !!И! ' суп, гнно.>н гп хг >слн >нны соогя<тг >в<нянях мътаров, а нн><грнрованне рагпрос>раны>о па обьсму сферы !" Но ! 11)!1(~~/шК, гд' г., обаяв ш>т чзлснч:>.>ынк .шя снн«п кп>шс>н >окз >шу>рн сферы !' Стало быть, Нс;и Шгрн >«<>.п«н»о>жнпз>ь> /.
П н ч г и. нщ\ш в /', пал>чпч )Н>1~~ — 3 — = — 3 г()) дэ з(т> О<(О зэ г(а ;.1ер ( 4иК )м - ° 3к =а3 3 3 с Таким образом, и' ° ">ь вслнчпнз коне шзл, стреч>пнзяся к ну>по прн у>ш>гьшеннн раднуся сферы К„, чта я ту«бык>ось закатать. и<трудна ~п>>кс локазаг' нгп/прь>нног>ь вектора н т. е. показать, 'по разность значений в>к>ора Н в снежник >очках по.ш Р н Р' «гранятся л путно, если расты>анне /'/>' стремнтсн к :Илш ! !ум ь аб< тг >кн /' н Р' лг ьнт внут рн сферы 1".
1!рн переходе пз Р в Р' поле гоков, легка>днх вне 1, нзм<шяеггя непрерывно, нба та> н гпн >.зыынтгя на конечном расс>ояннн от Р н Р'. '(т > не касас г я по и Н' »кав л«жзщнх ппугрн (й >о нзнрч ьенносгь мого поля, по доказан!а>, шш>, ченып« вЂ” -- К„«тато быть н нзчсненн< Н' прн переходе от Р ь Р нс наше< быть больше г гко зчзчсння Естн РР' стремя>ся к нуля>, то К„чанге> быть выбрано сколь уп>дно малым, откуда н <.><л<ег нш>р«рь>зш>сп, вектора Н 3 а д а ч а 29. По бесконечному прямому полому круговому цилиндру иротекаег параллельно оси цилиндра постоянный ток, равномерно распределенный Но е>о поверхности.
Показать, что поле тока внутри цилиндра равно нулях '! Наро >ем, нпогда улобно шмьзовз>ься прсдставленнем о паве/>кнаггнык токах, объемная н,>отность когорых / бесконечна (ср. поверхнас>нь>е заряды в электр<>сгатнле). О поверхностных токах см. 4 49; ь>агпнтнае по.п этнх токов обладает поверхнсстямн разрыва. 170 ггОНДЕРОМОТОР[югг НЗЛИМОДЯЙГ;ТНИЕ! ггОСтггяп!гык гОКОН (ггч.
гс $45. Лоренцева сила ! . Элемент об ьема г()г проводника, по которому протекает ток плотности 1, испытывает а магнитном поле Н пондеромоторную силу Г, равную (см. уравнение (44.4)]: Р = ' []Н]4пг. (44.4) к (точечным) электрическим зарядам, движущимся со скоростью и в произвольном (постоянном или переменном) магнитном поле Н.
Если мы учтем еще силу еЕ, испытываемую (точечным) зарядом в электрическом поле Е, то общая сила, испытыааемая зарядом е в произвольном электромагнитном поле, выразится формулой Г= ~Е+ —,'[ Н]). (45.4) ленч:.шп:нл г:нлл 4 гз! 171 Сила эта отлична от нуля лишь а том случае, если )ФО, т. е. если а проводнике происходит движение электрических зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
