Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Умножая (22.2) «а злгз!е!гг объема д!' и интегрируя ш> обьсму, заключенному внутри замкнутой поверхности 5, получим. согласно теореме Гаусса (17"! С! 0н д 5> ==. 4« ~ р СГР', (22.3) Эта формула является обобше«исм элек~ростатической теоремы Гаусса (3.6) для случая произвольной, в частности диэлектрической, среды. Датгс.
в изотропных диэлектриках нз (21.7! и (22.!) «олучагм (У =- ( 1 -г 4 лес ) Е = -: Е, (22.4 ) где г::.— 1 + 4л.с (22.5>) Таким образом, индукции 0 пропорциональна напряженности пси!я Е; коэффициент пропорциональности между ними е носит название диалекту>ической проницаемости '). Заметим, что из (21.7) и (22.5) следует: Р = — Е. 4« (22.6) 2. В предельном случае поверхностных зарядов уравнение (22.2), согласно (6.7) н (6.8), принимает вид (У(тг )У = Е>5 л — Е>!я = 4пвг (22.7) где и -- поверхностная плотность свободного электричества. Сс>гласно (22.4), формулу зту можно записать так: 0ял Т)со = еяЕя е>Е>„= 4>св, (22.8) сдс ег и >г — значения диэлектрической проницаемости по обе стороны по.
верхности разрыва. В частности, сели С-==О, т. с. сслн на этой поверхности нет свободно!к зарядов, то ЕЛЕял = Е>ХШ. Оял = Т)гл. Следовательно, на незарнженнои !раницс раздела двух различных сред (е> ~е!) нормальная слагающая электрической индукции остается непрерывной, нормальная жс слагающая напряженности поля испытывает скачок.
с(то жс касается тангснциалыюй слагающей вектора Е, то рассуждения, «ривсдшис нас в Э 7 к формуле (7.7), сктаются в силе, ибо и в произвольном диэлектрике работа электрических сил от формы пути не зависит. Поэтому 1 1 ай! = ЕИ пли слег = 1711. аз Ег а, (22.9) Иными слонами, тян!Снциальная слагакнцяя напряженности поля всегда остается непрерывной, танггнцнальная жг слагающая индушсии ня поверхности раздела двух различных сред (ез~-ег! испытывает скачок. Твк как внутри проводников в случае электростатического равновесия Е (а следовательно, и (У) равно нулю, то из (22.9) вытекает, что у внешней поверхности проводников электрический всктор Е (а следовательно, и Р) всегда перпендикулярен этой поверхности.
!!оэтому уравнение (22.8) Е поверкнос>гг проводников принимает вид (22.10) еЕ=- (У==4лстп, где и - внешняя нормаль к этой поверхности, а е - диэлектрическая проницаемость соприкасающейся с ней среды. Уравнение (7.8) является, очевидно, частным случаем этой формулы. 3.
Уравнения (21.4), (22.2), (22.4) и (22.7) Е= — пгабф, 22 =еЕ, (А) дгзг Р 4прг .Оял 17>л 4>ссг, дсаолненныс требованием непрерывности потенциала ср е), нредставляк>т ') Урввнснне 122.1! спраяедляно н для аннзотропных днзлсшрнков, но, нсключня нз него Р с помощью уравнсннй 12!.В), получаем трн ураннсння того >ке ткпв лля слагаюшнх нектара О, в которые входят девять днзлсктрнческнх козффнпнснгов г.г.. ') Ибо двойных злсктрнчсскнх слоев, г. е. Понерхнос>сн разрыва потенчнала, мы нс рассматрннаем Вн!ючем, вюпоченне нл в излагаемую тоорню не предст являет никаких зспоулнс пнй. Заметам, что согласно й 7, урашн.ннсм Е== Шаг! ~! обсспсчнвастся непрерывность ган генннальных слагаюшнх вектора Е.
днзЛГКТРНКИ !гл. и 1 22! ВЕКТОР ЗЛЕКТРИЧГСКОЙ ННДУКЦС!И 87 собой полную систему уравнений электростатического поля в произвольной среде. Это значит, что если заданы плотности свободных зарядов р и и и диэлектрическая проницаемость е в каждой точке пространства н если ни бесконечности удовлетворены условия (!2.10): О<с>т при гс - со остаегся конечным, то системой (Л) однозначно определяется электрическое поле, т. е. значения ср, Е и 0 в каждой точке пространгтвк обратно, если заданы.
а) диэлектрическая проницаемость е и б) напряженность поля Е (плп потенциал ц>, или индукцня О) в ка><слой точке пространства, то системой (Л) однозначно определяется распределение свободных зарядов р и о. Справедливость второ<о утверждения очевидна: для доказательства же первого предположим, что существует два решения Е, О, ц; и Е', 0', ч» системы (Л) при заданных е, р, и. Внося оба решения в (Л) и вычитая затем соответственные уравнения друг из дру~а, получим с))ч0»=0, О,"„= 0<'„, (Л') где Е»=Š— Е', 0»=-0 — 0', ср»= —.ц; — <!'.
далее на основании !Л') н (СЗ 1 можем написать след!>о<дую ем <ж равенств: аЕ"з = )З»Е» = — Р»» игаб <р» =- — с!пг (Ез <р») + <р" б!ч )у» = — сИч (0»<р»). Следовательно, иннтрал ед"» по прои»вольном< обкому, огранпчснномс поверхностью Х, иа основании (!7 ) будет равен вЕ <(т' = — ~ б!ч (ЕЗ»<р»)<11» — С)> Ез„<р" <!о, причем поверхностный пи ссгра < жм<к сн бы<ь азяз .<нмь но грмгнчнои поксрхносгн 5, ибо >и всем поле как Ч", так, согласно [Л'), н 772 остах>гся непрерывпычн.
!<спи теперь распространи: ь интегрирование по <>бьему полного лом<, то интеграл по поверю<ости 5 обрашастся в нуль Следовательно, вЕ» <!$» О, что может иметь место лнп<ь в >ом ел<чае, если но <сел гочкал поля Е"-.— Е - Е' ображаетгя в нуль, чем н доказываетсн однозначность репнина си<мамы !Л].
Итак, вектор Е", удовлетворякнций системе (А'), тождественно равен нулю. Так как при отсутствии свободных зарядов (о=-8=-0) система (А) принимает вид (А'), то, стало быть, в отсутствие свободных зарядов электрическое нале тождественна равна нулю. Таким образом, наличие диэлектриков может только видоизменять поле свободных зарядов; в отсутствие же послед. них поляризация диэлектрика спадает, становится равной нулю н электрическое поле исчезает. (См., впрочем, примечание к с. 83.) 4. В заключение заметим, что для графического изображения электрп ческого поля в диэлектриках неудобно пользоваться силовыми линиями этого поля, т. е. линиями вектора Е (см. Э !О), нбо дивергенция (объемнан и поверхностная) этого вектора при наличии диэлектриков может быть отличной от нуля не только в тех точках поля, где находятся свободньиз (объемные и поверхностные) заряды, но также и в точках расположения связанных зарядов диэлектрика, плотность которых в свою очередь зависи< от напряженности поля, неоднородностей среды и т.
д. Поэтому для графического изображения поля в диэлектрике пользук>тся так называемыми линиями индукции, т. е. линиями вектора электрической индукции О. Так как, согласно (22.4), вектор 0 в каждой точке пространства (за исключением анизотропиых сред) параллелен вектору Е, то каждая линия индукции является вместе с тем и силовой линией и наоборот. Поэтому, в частности, из того, что невозможны замкнутые силовые линии, следует также и невозможность замкнутых линий индукции. Однако если, как это принято, чертить линии сил и линии индукции с таким расчетом, чтобы число этих линий, пересекающих любую площадку д5, было по возможности пропорционально потоку соответствующего вектора (0 илн Е) через эту площадку, то густота линий индукции и линий снл будет, вообще говоря, меняться различным образом от одного участка пространства к другому. В частности, при таком способе черчения некоторые линии сил нужно будет оборвать на связанных отрицательных зарядах диэлектрика, тогда как соответствующие линии индукции будут проходить через и за эти заряды до встречи с зарядами свободными.
Действитепьно, так как зависимость объемной и поверхностной дивергенции вектора 0 от распределения свободных зарядов в произвольной среде совпадает с зависимостью д!ч Е и 0рч Е от р и о в отсутствие диэлектриков, то, согласно результатам $ 10, линии индукции могут начинаться и оканчиваться лишь в тех точках полн, в которых расположены свободные электрические заряды, либо уходить в бесконечность '). В вакууме вектор 0 тождествен вектору Е, так что линии индукции совпадают с силовыми линиями, Задача 16. Показать, что на границе раздела двух диэпектриков силовые линии (т. е. линии направления вектора Е) испытывают преломление, причем (8' () с/1д 1)2 = вс/ее, где ()< —.
угол, образованный направлением силовой линии в первом диэлектрике с нормалью к поверхности раздела, е, — диэлектрическая проницаемость первой среды, а )>2 и ез — соответственные величины для второй среды. Задача 17. Показать, что напряженность поля Е' в средней части длинной н узкой щели, проделанной в твердом диэлектрике, равна напряженности поля Е в диэлектрике, если <цель эта параллельна вектору Е, и что Е' равна индукции 0 в диэлектрике, если щель перпендикулярна Е. 3 а д а ч а 18. Показать, что для однозначного определения электростатического поля в произвольной среде достаточно задать, во-первых, расположение и форму проводников, значение диэлектрической постоянной в каждой точке среды и распределение с во боди ы х объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике и, во-вторых, либо потенциал цг каждого проводника (задача (Л)1, либо общий заряд е, каждого проводника [задача (В)] (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
