Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Определим поле равномерно поляризованного ша а. П сть по ция Р постоянна по величине и нап а шара. усть поляриза- чин и направлению во всех точках шаря радиуса а. ри =-О положительные и отрицательные заряды диэлектрика одинаково распределены по объе- .р. ° .„, » ..-, ° - »-п,р,, . п Гр возникновении жс поляризации положительные / за ряды сдвигаются на некоторый отрезок 1, а от- / после сдвига отрицательные заряды диэлектрика будут заполнять собой шар радиуса а, центр кото- + рого смещен па отрезок 21 относителыю центра шара того же радиуса, заполненного положительными зарядами (рис.
80). Следовательно, поле з ж равномерна поляризованного шара должно быть тождественно с полем двух сдвинутых друг отпо- р не. 30 сительно д у!.а на ат езок ру резок 21 шаров радиуса а, равномерно за яжениых разнаименным элект ичеством. Т зяр о ъема диалект икн п ихо и р вом. ак как, по предположению, па единиц и -'у'- заряд каждого ша а ио аб р р дится по )т' зарядов каждого знака, то общи т' р салютной величине будет равен "= — ел()р, где ий $"= '. = /зла' ссгь объем ш грн ра намерна заряженного шара таково, как если бы весь Внешнее поле в заряд шаря г' был сосредоточен в его пентре (уравнение (4..7) (.
Стало б внешнее пале поля нз р онанного шара таково, как если бы два те!печных мшсро и млкгг'с:ксчц>чг<.кир <ня. и <и'<' 3! э >в! Н<<. и лиэлцки ик <р,= 2е)х>У вЂ”; (Л)а), ра, веге-ор нз центра шара в исследуемую точку поля. С другой стороны, электрический момент единицы обьема шара Р = =-Ее<К, до поляризации был равен нулю, после жс поляризации он станет равным Р= т е, (К,+-1) ==2е<1'1. Сзшдоват<льно, окончательно <ре= У оа (й и» "1). (24.!) гснанс>си <ной же форму.н>й Определяется и потенциал внутренних точек шара (<< < и), если только в этом случае понимать >юд Г объем не всего шара, а лишь той его части, которая ближе к центр), чем рассматриваемая точка поля, т. е.
если в (24. 1) положить Г ==-'Е->тЕ<: (24.2) дев<танте.и*но. но<енниал н<шя:шрнжен>шго шара, оьразонанаого ноложнгельнмчн зарядная лизлек рш,а, внутри >ючо шара ринси !тргиин нн< <н.!2>1: <р+ — — 2ир (о — Е(+/3), гас р=-е<х' есть н.каное>ь ко шж>п<х<ьних таранов н ли шсюрик<ч ногснииал жс и>яра, обра- зованного от ринате и нича зарина ни ан я<сктрика.
ргик и: <р = — 2яо (а — йз /3), нриче>1 я. и и суп ршстошшя точки но<я о< <<ширя соотнете<нениих широв: я =и — 1, Я =Я+1. !!озточу резутитнручо~иий нотскииял нссх заря <он аичлсктрика нри Лг< и равен: <р,=<р +р = — 'Ез р(К+-~'). Так ьак Кз --й = --:11П, то ноя чинил полн вну<рн нолнрнзоваиного шара рааса 1К= .
1К- — РК. 3:<р вп!ре 4я 3 3 3 что и требава.мкь локаз<пь, Очевидно, что прн Р==ц выражения для <(,. и <1, принимают. одинаковые значения, т. с. что потенциал <! Но.шрнзованного шара является непрерывной функцией точки. г!аконец, напряженность поля поляризованного шара внутри этого шаря будет равна Е~ = — зу<р< = — а/ар<у< (РК) (Я» а) Так как вектор Р постоянен по величине н направлению, то хг (РК) = Р, и поэтому окончательно: Е< = — <Ьг<Р (!с ~ <а).
(24.3) Таким образом, напряженность поля равномерно поляризованного шара постоянна по величине н направлении> ио всех его внутренних точках. заряда ~-е' находились с полем диполя момента мерно поляризованного будет равен на расстоянии 21 друг от друга, т. е. тождественно р= — 2е'1=--21'< !т1. Таким образом, потенциал раино- шара объема Г внс этого шара, согласно (8.10), Конечно, рассмотренную нами задачу можно было бы решить, исходя непосредственно из общих уравнений поля в диэлектрических средах. Этот спо<.об решения, а также рассмотрение вопроса о том, как можно поддерживать равномерную поляризацннз в диэлектрическом шаре, мы предлагаем уяснить читателю ни следующем примере. П р и м е р.
Шар радиуса а из однородного лиэлсктрика помещается в ОЛНОродное внец!Нее поле Ея, на<Ц>авл<.'ННОс по Оси а. Исходн из лиффс'ренциальных уравнений поля, доказынается, что и!ар будет поляризован равномерно, причем поляризация его будет равна 3 (и — 1) Р = 4л (и + 2) Ео а потенциал >юля будет равен сумме потенциала внешнего поля и потенциала поляризованного шари, Определяемоп> уравнениями (24.1) и (24.2): 4п %< = — Ера + — Р К = — — '-, 3 и+2' <!тобы доказать справедливость формул (24.5), достаточно показать, но-первых, что <!1 и <й удовлстворянзт уравнении> Пуассона: т7з:р,.= — ~те =-(! Ч> = <(г=- И, ВО-ПтС>РЫХ, Ч>О На ПОВЕРХНОСтн ДИЭЛЕКтРИКа, т.
Е. ПРИ йт=-й, ПОтЕНЦИаЛ непрерывен: <р,=<р, прн К=а, и непрерывна ш>рмальная слагаинцая электрической индукции: лре ар; Предоставляем эзо дс тат> читок по (при выполнении дифференциро анния по К улобно выразить г через К сов и!. Из (24.5) ел<дует, что внутри ц>ара Е< = ЗЕ</(в + 2). Внося это значение Е, в (22.6), получаем (24.4). й 25. Микро- и макроскопические значения физических величин 1. Этот и пос.чедующне параграфы, вплоть до 3 29, мы посвятим более ш< рогому выводу уравнений ликроск<тическоео поля в диэлектриках из микроскопических уравнений поля, а также выяснению зависимости ли'>лектрической постоянной среды от атомистнческого строения этой среды, ее тем<и>ратуры и т.
д. ЕТО сих пгзр мы не обращали достаточного внимания на то обстоятельство, что поле каждой молекулы диэлс.ктрика в непосредственной близости оз. нее лолжно чрезвычайно быстро изменяться от точки к ~очке !например при переходе от положительных к с>трицательным зарядам молекулы). Правда, >ти изменения поля протекают в микроскопическом масштабе и недоступны МИКРО И МЛКРОГКОПИЧЬСКИГ ЗПАЧВНИ5< диэликтрики (гл. и 1 хз! ! Г 'Фмакро = Т)<микро = К' 3! Рмнкао (2;ъ() Заметим, (то, лишь введя это определение, мы придаем че<кий смысл всем нашим предшествующим рассуждениям.
В частности, ведь и внутри проводников атомистическое строение электричества проявляется я чрезвычайно быстрых колебаниях микроскопических значений физичеш<пх величин в смежных точках пространства; так, например, микроскопическая плотность электричества р отлична от. нуля лишь внутри электронов и атомнь(х ядер. Таким образом, говоря о плотности заряда в поверхностном слое проводников, о постоянстве потенциала внутри них и т д., мы, в гушпости, говорим о средних значениях этих ве,ичин, определяемых уравнениями ти <а (25. 1) .
) За исключением злементов, отделенных друг от друга ионерхногтями разрыва, сслн только мы ваап<де захотим ввести в рассмотрение (в сушнасти, фиктивные) иопсрхно<тн разрьша нашему микроскопическому наблюдению. Измеряя, например, поле в жид. ком диэлектрике путем погружения в него пробного заряда, например, доста.
точно малого заряженного металлического шарика, мы, очевидно, измеряем среднее из тех значений, которые имеет напряженность петля Е на поверхности этого шарика. 2. Чтобы уточнить понятие среднего значения, мы введем следук ц()кз терминологию, предложенную Лоренцем. )У(ы будем называть физически бесконечно малыл<и в отличие от математически бесконечно молвы !акис элементы объемов, поверхностей и линий, которые одновременно удовлетворяют следую)цим двум требованиям: а) Физически бесконечно малые элеме)ггы должны быть чрезвычайно велики по сравнению с расстояниями между молекулами среды, а стало быть, и по сравнению с микроскопическими неог)нородностялт среды и поля.
б) Вместе с тем физически бесконечно малые элементы должны быть чрезвычайно малы по сравнению с макроскопичегкими всоднор<здвосчх<ии поля и среды; другими словами, средние значения физических величин (например <р, Е, е и т.
д.) в любом из этих элементов должны бесконечно мало отличат.ься от средних значений этих величин в смежных с ними элементах ') . Даже в газообразных, не говоря уже о жидких и твердых, телах расгпочния между молекулами столь малы по сравнению с микроскопическими неоднородностями изучаемых обычно полей, что почти всегда оказывае<мя возможным одновременно удовлетворять обоим этим условиям. Коне шо, возможны н такие случаи, когда приведенные условия взаимно исключакп прут друга; так, например, длина волны жестких рентгеновских лучей, могу (цая служить мерой неоднородности поля этих лучей, меньше расстоянии между молекулами материальных тел. 3. Оставляя в стороне подобные исключительные случаи, мы будем и дальнейшем под микроскопическими величинами понимать средние значении физических величин в физически бесконечно малом объеме, Другими словами, под макроскопическим значением произвольной физической (скалярной или векторной) величины ф (например ф, Е, р) в данной точке Р простран ства мы будем понимать среднее из истинных илн микроскопических значений этой величины в физически бесконечно малом объеме 1', окружа<ошею точку Р: 4.
В последук)щем нам неоднок атно п и ет макроскопических величин, исходя из ди е ен патио придется находить уравнения дл я микроскопи вских яе. и . П по ь . в личин. ри этом нам и идется по ь пол зоваться следуюшим . Иачепие производной по коо ипате в)темени) От произвольной велич ф зв ли ф р вводной от среднего значев личины ф авно п оизв дф д д(ф) дх дх (25.2) где черта сверху обозначает об зо . азование среднего. Мы локажен з ту теорему в предг<оиажении, чта ат<."м м< тсо!юит к ат кланы м слагаюн<нм произвольного вс рименяя аиа остается справедливой и дг ся, па аконец, ссатвстств) кицан теорема спранедлнна н ни, в ием можно убелитьси п <осгым дифф<ф<впи(зеванием фо! И)лн (33.! ) .
г С«диена (25 !), среднее значение Х в точке Р раино 1 Т Фр —— — ф П~. где лдя определенности мы будем синтать, ито н распространен па <юь. сферы поверюкх ш 5 г ",ему панчески бсск нос<и .' г пенгром в Р. Подобно атому, 1 <р)„- — — .— ф д)г, Ъ' !" Рис. 31 где Ш объеи равновеликой с с <и оик<.' ' (на рнс. 3! Изображюк< сечение зтих с е <ент '' их сфер центральной плоскостью).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
