Учебник - Основы теории электричества (1238774), страница 24
Текст из файла (страница 24)
$13). 3 а д а ч а 19. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектрика. Диэлектрические постоянные этих слоев равны с< и еь а их толщины д< и дз, причем д, +дз=д, где д — расстояние между пластинами конденсатора. Показать, что емкость конденсатора С определяется соотношением где 5 — поверхность его пластин. '! См., впрочем, прил<ечанне на с. 44 о точках неопределенности. (г.ч и $ ' э гз! диэлпктрикн или д(у Е = — 372<р = — ° 4гтР.
1 е (23. 1) Рис. 29 е е)с ' в Е = — з е)1 (23.2) (23.6) ~<82 * 4т<р ез * 4 4пр е! (23.7,' (23.3) (23.8) $ 23. Электрическое поле в однородном диэлектрике 1. Рассмотрим простейший случай диэлектрической среды, когда все поле, т. е. все участки пространства, в которых вектор Е не равен нулю, заполнено однорс>дныл! диэлектриком. Это буцет иметь место, например, в том случае, если система проводников погружена и бссконечный однородный диэлектрик (ибо в случае электрического равновесия внутри проводников Е=О) или в диэлектрик, ограниченный замкнутой металлической оболочкой (-, остатичсская засцита). В этом случае во всех цифференциальных (электростатичсск уравнениях поля постоянные е и и могут быть вынесены за знак производной, и, например, из (22.2) и (22.4) слецует: с(К О-.=с('11' еЕ=.е с((<у Е=4лр, Это значит, что при заданном распределении свободных зарялов потенциал и напряженность поля в однородном диэлектрике в е раз меньше потенциала и напряжснности поли в вакууме.
Часто зто положение кладется в основу всей формальной теории лиэлектриков. Из него непосредственно вытекает, что потенциал и напряженность поля точечного заряда в однородном циэлектрике равны (так называемый обобзи(сины(1 закон Кулона). Далее, разность поте)щиалов между обкладками конденсатора при заполнении пространства между ними однородным диэлектриком лолжпа уменьшаться в е раз, если заряды обкладок остакася пензы< ниымн. Это значит, что емкость конденсатора Е возрастает при этом в ! Раж Напомним, наконец, что значение вектора электрической индукции 0 в однородной среде не зависит от диэлектрической проницаемости этой среды и вполне опрелеляется распределением свободных зарядов, нбо из (22.4) н (23.2) следует, что с) = аЕ = вЯг.
(23.4) 2 Необходимо однако твердо помнить что уравнения (231) — (23А) вовсе неприменим<и к диэлектрику неоднородному. Так, например, если в поле заряда е внести кусок диэлектрика Р< З <р . 2!>. Р ° р ~~~6::;у~';-';",*'~ф и рнзации этого диэлектрика напря- ''",сахР".~'" ':" женность поля в точках Р, н Рг Рис. 28 не уменьшится, как то соответствовало бы формуле (23.! ), а увеличится.
Действительно, отрицательные заряды циполей смсстятся в диэлектрике влево, а положительные вправо, так что направление результирующего поля этих зарядов в точках Р, и Рг будет совпадать с направлением поля заряда е. В точке же Рз поляризация диэлектрика вызовет ослабление первоначального поля заряда е. ЭЛЕКтРическОе пс)лг в одно< одном лплл«1,<упю> Вообще в неоднородной срслс нельзя ус(аиовигь сколько-нибудь простой зависимости поля от расположения одних только свпбос)ныл зарядов, зависимости типа закона Кулона '(23.2). Лишь обращаясь к дифферешсиальным уравнениям поля, т. е.
к уравнениям. связывающим значения характеризующих поле величин в сл(ел<снс(х точках пространства, можно прийти к сравнительно простым соотношениях! между этими величинами (система уравнений ()с), с. 85), ибо лишь цифферепциальныс сооп!ошения полностью опрецеляются свойствами дан- г) ного элемента среды независимо от свойства уца- Рй-( ленных ее участков.
Х 3. Рассмотрим е<це пример, когдз бесконечное полу. просп)зяство нзд плоск<>с>ью =О звналисна а:п<ародным диэлектриком с диэлектрической проницземостью с!. в полупросгрвиство пад этой плоскостью †. другим одиоропным диэлектриком с диэлек)рической зроницзсмостью р (рис. 29). Определим поле эярялз е, нзходящегася в произвольной точ. кс Р. Выберем оси координат тзк, чтобы ось г проходила через точку Р; координаты этой точки будут .<.=О=-О, г — г,. Пусть >шя определенности грз О.
т " заряд изхалнтси в верхнем ппхузрострзнстве, где ! †. <!. Обозначим потенцизл в верхнем полупрас<рзнстве через <П, з в нижнем — через <1: . Условие непрерывности иатенцнзлз нз тряпице раздела Лиэлектрнков гласит О (Фз)л О (23 Э) Далее, тзк кзк в нашем случзс а.=О, то, вырзжяя в (22.8) В через яргз<1 <1, получим 1!аконец, поскольку в кзждом полупрастрзцспю !. п<хтаюп<а. то сагчвсиа [231), Гзк кзк и нщясм слу ше р —.О всюду, кром< точки Р, ю з первое из уравнений (23 71 Отлет, очевидно, удовлетворено.
есм< мы полах,нм в р — й+Ф), т Фс (23.9) Е<й гле 7( рзсстоянис )очки наблюдения от точки Р: )7=-ух> (уз+ (г — г 1>. Потенциал в каждой точке прострзнствз будет ззвисеть..во-первых ат ее рзсстояния до точки Р, т. е. от Д, и, ва вторых, ат ее рзсстаииия за птоскасп> разделе. т. е от, По саабрижениям симметрии вместо паследнЕй перемени<>й удобно ввести рзсстояиие(('=- Ухз З <)1+ (г+гр)" произвольной точки прастрзнствз от тачки Р', симметричной с Р пп<аснтстьно паверхаости рззлелз; коарлинвты )очки Р' равны О. О, — гр. Урзвнение плоскости рззлслз в переменных Р и Р' примет вид й = й>р, (23.10) з решениями урзвисний (238) н (239), облзлвющими гребу<чай сил<метрией, б)л)т, очевидно, выражения Ф! = — Фг=-— Р" е!)7' ' езгс ' тле <. и р — некоторые постоянные Действительно, потеипизл 3> в нижнем псеппрострзнстпс не может содержзть члена, пропорпионзпного 170', ибо он не удовлетворил бы урзяненик (23.8); аналогично <!1 не может содержать члснз, пропорционз.тьного 17(С.
Вноси (23.9) и $2г! Лнзззек ПЧ! КЦ (гл. ! ! " 'гя ири !ихчи'рии ли«,глтг„ е (е, — ео) е ф=ср! + е!)? е, (е, + ео) )(' 2 е ф срэ е,+еэ )? при е>0, прн е «,О. ('р! (9! Р = Х е! Ж + б (т) = 21(?ебй. и, стало быль, во+ йе ео Е = — — = — — 42(Р. )Эо (?з Таким образом, г) Е+4 Р ео Е 1 ео е е)?о ' (+л н '3.Н) в (233) и Учитыван (23.)0), и!мучаем = —;аналогичноиз 0230 рр !рных выкладок получаем ! — Х= Н. Таким образом, все наши уравнения утговлегворятся, еслр; — Ен ° оложить Х= —, Н= —, т.
е. если положить ог Еер гр+рр На основании теоремы однозначносзи (1 22) полу рениые выражении яоляюрся едьнсг. ,енными решениями нашей зндачи (вплоть до аддитивиой постоянной в пигенпкагре, не скази~аюше(рся на напряженности поля). Если все пространство заполнено однородным диэлектриком (е~ = — ег), то (23.(2) перелопа ! элементарное выражение обобшенного закона Кулона (232). Нри гроко влияние пеодиород.
юсти диэлектРика на потеипиал Р(, в веРхнем полупРостйаистве эквиварпптно ар!пинию рр — р тобавочного фиктивного заряда — е, помешенного в симо!отри'пру!о с Р точку Р' (! р ер+ет решение аналогичной задачи в 1 (3 яретодом изображений ) $ 24. Непосредственный подсчет поля при наличии диэлектрика (в простейших случаях) 1.
Чтобы пояснить влияние поляризации диэлектрика на напряженнаср!. оля, мы проведем непосредственное вычисление поля в двух простейших случаях. При этом для простоты мы будем предполагать, что все зарядь! ь диэлектрике закреплены одинакова прочно и имеют одинаков) го абсолютну!а величину е. Число зарядов каждого знака в единице объема диэлектрика обозначим через Й. 2. Расслнзтрим элементарный вывод обобщенного закона Кулона д„ш однородного диэлектрика. Пусть все поле заполнено однородным диалект. рикол! и «свободный» положительный заряд ео находится в однородном диэлектрике в точке О; требуется определить пале Е этого заряда в некоторой точке Р на расстоянии Л от него. Под воздействием поля Е отрицательнысзаряды диэлектрика сместятся к центру О, а положительные удалятся о! него. Благодаря шаровой симметрии поля все пространство може~ бьп.ь разбито на концентрические шаровые слои с центром в О, в каждом из которых плотность расположения зарядов постоянна.
Поле всех заряженных шаровых споев, внешних по отношению к точке Р, равно в этой точке нулкэ, поле же всех внутренних слоев в точке Р таково, как если бы весь заряд э!'их слоев был сосредоточен в центре О (сл!. уравнение (4.б) ). Каков же общий заряд этих внутренних слоев, т. е. заряд, находящийся внутри сферы 5. проходяще й через точку Р? Так как, по предположению, все заряды в диэлектрике одинаковы и связаны в нем одинаково прочно„то при возникновении поляризации все положительные заряды, находившиеся на расстоянии (? от центра О, должны были сместиться наружу на некоторое расстояние б(?, а все отрицательные внутрь на то же расстояние; конечно, это смегцение бгг уменьшается и)и! удалении ат О. Через поверхность сферы 5 радиуса г? при возникновении иа ляризации должны были пройти наружу все ггаложитгльныс заряды, находившиеся в слое толщины бй, прилегающем к сфере 5 изнутри.
Число этих заря дов по условию равно Л'4л(? М. Такое же число отрицательных зарядов вой "дет, очевидно, сна жи внутрь сферы 5. Таким образом, общий отрнцател тельныи заряд бе, паявляк! щийся внутри сферы 5, благодаря поляризации д диэлектрика, будет равен бе= — ей!' 8яг(вб)с Напряженность поня этих зарядов в точке Р, как чкак указывалось, будет такова, как если бы все эти заряды были сосредоточены в це О быть, общая напряженность поля в точке р ба центре симметаии О. Стало удет равна: Е = (во+ бе)Я2. нины о ъема диэлектрика С другой стороны, электрический момент едини б , а после полнризации станет Р= е,рс, до поляризации был равен нулю, а по Р=~ е 1(, Таким образам, числовое значение вектора Р равно Р =- 2йгеб)? = —— ля)?э чта и требовалось доказать 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
