Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Он обращается в нуль при а = и, т. е. в точке Р сферы, диаметрально противоположной точке наблюдения Р. Интеграл (43.10) теперь можно вычислить, поскольку он не содержит никаких неизвестных функций. Произведем это вычисление, так как таким путем можно получить строгое обоснование метода зон Френеля и результатов, полученных этим методом.
Взяв за переменную интегрирования г и использовав значение Е„ преобразуем интеграл (43.10) к виду гк Е,= ) А (г)е /аг 4/г, (43.12) г, где введено обозначение А (,) ' (! +скж ") г !вг — /кг 1 (43.13) 2 (р+ гз) а через г, и гз обозначены наибольшее и наименьшее значения, принимаемые г. Интегрируя (43.12) по частям, получим гк Е = — ~ + —, ~ — е /агк/г, А (г)г и' !' 1 Г «/А (43. 14) й )гк кй Л' ~1Г г, Здесь единственной величиной, аависящей от г, является соз и, Найдем ее произ.
4(созш /1 волнУю. Из Рис. 172 ( Р+ г,)' = г'+ гак + 2ггэ соз ш, откУда — — ~ — + бг ~гз сова! + - — ц Взяв от (43.13) логарифмическую производную пот и воспользовавшись г предыдущей формулой, найдем 1 к/А ! / 1 сов ск! ( — + — ! А (г), й г/г ! +соя а (кдга /кг какой величаной, а следовательно, и интегралом в формуле (43.14) следует пре небречь, так как это уже было сделано прн выводе исходной формулы (43.9), ~акгмк образом, в формуле (43,14) остаетсн только первое слагаемое, т, е, А (гк)е г' — А (га)е (43.15) й Существенно, что величина Е представляется разностью одной н той же функции, но п о при различных значениях аргумента г, причем при изменении г на )к!2 зная 292 (гл !М диФРАкция светА этой функции меняется ва противоположный.
Этого достаточно дяя обоснования основного результата (39.6), на котором основан метод зон Френеля. Действи. тельно, применив формулу (43.15) к первой зоне Френеля, найдем, что действие втой зоны может быть представлено в виде Ех = (и! + и,), действие второй зоны— в виде Ез = — (из+ и„), и т. д, Явный вид выражений и! для доказательства не имеет значения. Действие первых У зон выразится суммой Е=(и,+и ) — (из+и,)+...+( — 1) г'(и, +им ) т,е Е=и,+( — !) +' и .
Так как по величине действия двух соседних зон почти одинаковы, то илг, т — и„„ С той же степенью точности тг»Е! иг, Ч«Егг — — ( — 1)~+ и, = ( — г)'"~~и Следовательно, 1 Е= — (Е +Е .). 5 44. Дифракция Фраунгофера на щели 1. Дифракциониые явления Фраунгофера имеют в оптике значительно большее практическое значение, чем дифракционные явления Френеля. При практическом осуществлении дифракции Фраупгофера источник света 5 помещается в фокусе линзы (рис. 173).
(Линза Ех не нужна, если источником о света служит лазер, поскольку от него исходит уже параллельный пучок света.) Дифракция возникает на каком-либо препятствии АВ, постанленном на пути А световых лучей, прошедших через линзу Еы Дифракционная картина наблю- Я дается в фокальной плоскости другой линзы ум Ее можно также наблюдать в зрительную трубу, установленную на бесконечность. Но в теоретических рассуждениях удобнее от всех этих вспомогательных приспособлений отвлечься, предполагая, что на препятствие АВ падает параллельный пучок лучей, а дифракция наблюдается «в бесконечности».
Рис. 173, Простейшим для расчета и практи- чески очень важным случаем является фраунгоферова дифракция на длинной прямоугольной щели. Ширину щели обозначим через Ь, ее длину будем считать бесконечной. Пусть на щель нормально падает плоская монохроматическая волна (рис, 174). Световое поле за щелью найдется по принципу Гюйгенса как результат интерференции когерентных вторичных волн, исходящих из различных точек волнового фронта на щели. 293 ДПФРАКЦИЯ ФРАУИГОФЕРА ИА ШЕЛИ 4 441 Вторичные волны, излучаемые полоской волнового фронта ширины 41х, параллельной щели, складываясь, дают цилиндрическую волну, осью которой является эта полоска. Зависимость этой волны от направления ее'распространения, определяемого углом 6, можно не учитывать, так как задача решается методом Френеля, а потому ! угол дифракции б должен предполагаться малым.
Однако необходимо учесть разности фаз между,> пп волнами, исходящими из различных полосок. Разумеется, речь идет о фазах колебаний на бесконечном расстоянии от щели. Волна, исходящая из 41х под углом д, опережает по фазе волну того же на- правления, исходящую из середи- Рис. 174. ны щели О, па йх з)п О. Поэтому результирующее поле в бесконечности, создаваемое всей щелью, представится интегралом +ил Е 1 еяи 11и 6 41х — и~с Здесь опущены все множители, не влияющие на относительное распределение волнового поля по направлениям, Вычислив интеграл, получим (44. 1) где введено обозначение АЬ М1п Ь пь яп 6 С4 =— л (44.2) Отсюда для распределения интенсивности света по направлениям найдем (44.3) где 1, — интенсивность в направлении падающей волны.
На рис. 175 яп я представлены графики функций — (пунктирная кривая) и Ы мпя~и — 1 (сплошная кривая). Обе функции обращаются в максимум, Равный единице„прн а = О. При сс = тп, где т = -+-1, .+-2, ..., они равны нулю, т. е. в этих точках наблюдаются минимумы интенсивности. Между двумя соседними минимумами располагаются максимумы различных порядков. Их положения определяются ~рансцендентным уравнением а соз а — а)п а = О. Практически !гл. 1т ДИФРАКЦИЯ СВЕТА можно считать, что максимумы располагаются посередине между соседними минимумами.
2. Условие минимума а = ппт можно также записать в виде Ь з(п (г = гпа',. (44.4) Оно означает, что разность хода между волнами, исходящими от крайних точек щели, должна содержать целое число волн. Этот результат легко уяснить без всяких вычислений. Допустим сначала, что Ь з!и () = Х. Разобьем щель на две части одинаковой ширины. Тогда волны от этих частей придут в (удаленную) точку наблюдения РВС. 175. в противоположных фазах и погасят друг друга прн интерференции, — получится минимум интенсивности. Если Ь з!и д = тЛ, то разбиение щели надо произвести на 2гп частей одинаковой ширины.
Волны от частей с нечетными номерами придут в фазах, противоположных фазам волн, пришедших от частей с четвымн помсрамн. А так как, ввиду симметрии, части щели, равноудаленные от противоположных краев ее, совершенно равноправны, то ясно, что эффект, вызванный нечетными частямп, погаснтся при интерференции эффектом, вызванным четными частямн. Приведенное обоснование формулы (44.4) не только проще предыдущего, но, что особенно важно, н обладает большей общностью. Действительно, в предыдущем выводе щель должна предполагаться широкой (Ь ~ А), чтобы можно было применять приближенный метод Френеля.
Последний же вывод использует только свойства симметрии щели и применим не только при малых, но и прть любых углах дифракции д. Требуется только, чтобы было 295 ДИФРАКЦИЯ ФРАУНГОФЕРА НА ЩЕЛИ Ь- Х. В противном случае из условия (44.4) мы получили бы э(п б) 1, и все дифракционные минимумы с нулевой интенсивностью были бы невозможны. 3. Когда падающая волна плоская, то все дифрагированные лучи перпендикулярны к оси щели. Если на их пути поставить Рис.
176. линзу, то каждый днфрагированный пучок параллельных лучей соберется в маленькое пятнышко. Такие пятнышки — максимумы и минимумы интенсивности — расположатся вдоль прямой, перпендикулярной к оси щели и лежащей в фокальной плоскости линзы. В этой плоскости и надо поместить экран для наблюдения. Если в качестве источника света взять светящуюся линию нлн узкую освещаемую коллиматорную щель, параллельную щели, на которой происходит дифракция, то каждая точка источника даст на экране дифракционную картину, описанную выше. В рез) льтате наложения таких картин каждое дифракцнонное пятнышко вытянется в полоску.
Образуется система днфракционных полос, показанная на рис. 176. Центральная полоса светлая и примерно вдвое шире остальных светлых н темных полос. Ыак- л, симальный порядок минимума, который мо- д жет наблюдаться, определяется условием з!и б < 1, т. е. и < Ьй, как это видно из формулы (44.4).
Чем шире щель, тем ярче картина, тем уже дифракционные по- Рис. 17?. лосы, а число самих полос больше. При сужении щели картина расширяется, а ее яркость уменьшается. Когда Ь = Х, минимумы первого порядка получаются прн б = л/2 и исчезают при дальнейшем сужении щели. 4. Прн наклонном падении света под углом б, (рис. 177) разность хода между крайними интерферирующими лучами А — СВ составляет Ь (з!и б — е!п б ). Поэтому условие дифракционного минимума (44.4) переходит в Ь(з!пд — з!пб,) =ай. (44.5) /гл.
Ув ДИФРАКИИЯ СВЕТА Если углы д и бя малы, то Ь (д — д,) ж тЛ. Основная доля света сосредоточена в центральной дифракционной полосе, т. е. между минимумами первого н минус первого порядков. Этим можяо воспользоваться для оценки дифракционной расходимости световых пучков, выделяемых тем или иным способом, например в результате прохождения плоской волны через диафрагму, Световые лучи, прошедшие через диафрагму, отклоняются от своего исходного направления на угол 65 Л/Р, (44.5) гле Р— поперечное сечение пучка (в направлении, где оно минимально).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
