Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Проведем цилиндрические коаксиальные поверхности, ось которых проходит через точку Р перпендикулярно к плоскости рисунка, а радиусы равны Ь, Ь + М2, Ь + 2 (М2),... Тогда волновой фронт разобьется на прямоугольные полосы, которые и называются зонами Шустера. Центральную зону условимся считать за две зоны: одна расположена справа, а другая слева от точки О.
Тогда г,' = Ь'+ х'„, г„', = Ь'+ + хй „а потому г„' — т„', = х„' — х'„,. Приближенно г„' — гй ~ = (та+ г„т) (г„— г„,) = 2Ь (Л/2) = ЬЛ. Таким образом, получаем рекуррентное соотношение х„' — х„' ~ =ЬЛ, (42.1) из которого могут быть найдены все х„. Так как х„= О, то хз =) ' ЬЛ, ха =)/'2ЬЛ, ..., хе =~/пЬЛ.
(42,2) Ширины последовательных зон Шустера будут )I ЬЛ ()' 2 — 1) УЬЛ (Зl 3 — ~l 2 ))ГЬЛ, "° (42 3) Они монотонно убывают и в пределе, когда г -ьоо, стремятся к Л/2, как зто ясно из их построения. (Впрочем, высшие зоны не играют роли, Имеют значение только несколько десятков первых зон Шустера.) ЗОНЫ ШУСТЕРА И СПИРАЛЬ КОРНЮ Как и в случае зон Френеля, применим теперь графический метод (рис.
153). Каждую зону Шустера разобьем на узкие полоски и будем изображать колебание в точке Р, вносимое отдельной полоской, вектором на векторной диаграмме. Затем перейдем к пределу, устремляя к нулю ширину каждой полоски. В результате получится плавная кривая, называемая спиралью Корню (1841 — 1902) (рис. 166). Она состоит нз двух симметричных ветвей, бесконечное число раз обвивающихся вокруг «фокусов» Р и Р' и неограниченно приближающихся к ним. Верхняя ветвь представляет действие правой половины волнового фронта, нижняя — левой.
Отличие рис, 1бь, каждой из ветвей от соответствующей спирали на рис. 153 обусловлено более быстрым убыванием начальных зон Шустера, чем зон Френеля. Колебание, возбуждаемое первой правой зоной Шустера, изображается вектором ОА, второй правой — вектором Л2, двумя первыми правыми зонами вместе — вектором 02 и т. д. (все зти векторы на рис. 166 не проведены).
Колебание, возбуждаемое всем волновым фронтом, представляется вектором Ё'7, соединяющим фокусы спирали Корню. По мере приближения к фокусам амплитуды колебаний становятся все меньше и меньше н в пределе обращаются в нуль. 2. При нахождении уравнения спирали Корню надо учесть, что реально всегда приходится иметь дело не с бесконечными, а с ограниченными волновыми фронтами, причем заметная интенсивность наблюдается лишь при малых углах дифракпии. Поэтому в формуле (41.1) изменения знаменателей г и г' (а также уже отброшенных ранее ослабляющих множителей К (а)) можно )гл ш ДИФРАКЦНЯ СВЕТА à à — М ЕР ',-р')Л22) ( Интегрирование должно быть выполнено по всей открытой поверхности волнового фронта. Допустим, что в направлении оси У она простирается достаточно далеко в обе стороны.
Тогда интегрирован«е по й можно выполнить в пределах от — оо до + оо, в результате чего появится постоянный множитель, не представляющий интереса. Интегрирование по х произведем от нуля, считая верхний предел х переменным (он может бьп.ь н положительным, и отрицательным). Вместо х, как это принято, введем новую переменную з по формуле Ьл'И = лз2. Тогда Е ~ е евч2 г(з о (42 4) (42. 5) ~ е)22Ч2 )23 о При изображении колебаний можно пользоваться как выражением (42.4), так и комплексно сопряженным с ним (42.5). При построении спирали Корню обычно применяют выражение (42,5). Оно и представляет уравнение спирали Корню в комплексной форме. Если координатные оси выбраны так, как указано иа рис.
166, то в прямоугольных координатах уравнение спирали Корню не принимать во внимание. Если нас интересует только относительное распределение интенсивности, то можно положитыг' = 1. В плоскости волнового фронта фазу можно представить в виде г() = е)1 — 12г (здесь произведено переобозначение: в формуле (41.1) расстояние г обозначалось через г'). Примем волновой фронт за координатную плоскость Х)', а начало координат поместим в точке О. Тогда г' = Ьз + (к2 + у2), а следовательно, г — Ь = (ха + у2)/(2Ь) + ...
Члены высших степеней можно отбросить, если даже они добавляют в фазу слагаемые порядка и и больше. Дело в том, что такие члены, как это видно из )(врыы спирали Корню, не меняя общего характера дифракциоиной картины, производят в ней только практически незаметные смещения высших дифракцпонных максимумов и миьшмумов. Кроме того, высшие дифракционные максимумы и минимумы следуют друг за другом столь часто, что для их реального осуществления требу)озся зочечные источники света высокой степени монохроматичности.
В противном случае все дифракциоипые полосы высших порядков размываются и переходят в равномерно освещенный фон. Отбросим все фазовые множители, не влияю)цие на относительное распределение интенсивности светового поля. Тогда поле в точке наблюдения )о представится интегралом 285 ЗОНЫ ШУСТЕРА И СПИРАЛЬ КОРНЮ запишется в виде Х (э) = ~ соз ( — ) дэ, У (з) = ~ з(п Я бз. (42.6) о О Входящие сюда интегралы называются интегралами Френеля. Очевидно, Х (з) = — Х ( — з), )' (з) = — 1' ( — з), т.
е. кривая (42.6) симметрична относительно начала координат. Полагая з = со, находим координаты фокусов спирали Корню: ХР=)'Р='/„ХР =)'Р = — 'l,. Впрочем, для многих целей проще пользоваться непосредственно комплексной формой (42.5). В частности, для дифференциала духи спирали Корню из (42,5) находим: ~ еь"'пт дз1 = ~ сЬ Е Отсюда следует, что параметр з есть длина дуги спирали, отсчитываемая от начала координат О.
Если т — угол между касательной к спирали Корню н осью Х, то 1п т = й'АХ = 16 (пь-'!2), а потому т пз272. (42.7) При з = 0 угол т = О, т. е. в начале координат кривая касается осн Х. При з = 1 касательная вертикальна и идет вверх. При з = )у 2, т = и касательная снова горизонтальна, но идет в отрицательном направлении оси Х. Прн з =)У 3, т = Ч,п она вертикальна и идет вниз. При з = 2, т = 2п касательная принимает исходное— горизонтальное — направление.
Формула (42.7) позволяет наглядно проследить, как кривая обвивается вокруг фокусов Р и Ь', делая при этом бесконечное число оборотов. Эта формула особенно полезна в том отношении, что она позволяет по заданному параметру з легко находить соответствующую точку иа спирали Корню. Из формулы (42.7) получаем формулу для кривизны спирали Корню: (42.8) Длина всей спирали Корню бесконечна, а потому прн приблнжепни к фокусам ее кривизна стремится к бесконечности. 3.
При работе со спиралью Корню надо знать значение параметра э, Его легко найти, зная на экране расстояние х точки наблюдения от центра картины О (рнс. 165). Вычислив ширину первой зоны Шустера )l).5, находим далее з=х)/21()Ь). Рассмотрим в качестве примера днфракцнонную картину от прямолинейного края экрана (рнс. 167). Где бы ни находилась точка наблюдения Р, для нее всегда будет открыт правый край волнового 9ОНЫ ШУСТЕРА И СПИРАЛЬ КОРНЮ Ь 42] Распределение интенсивности графически представлено на рис.
167. Таким образом, нет резкой границы между светом н тенью] в области геометрической тени интенсивность света убывает непре. рывно и монотонно, а освещенная область расщепляется в дифрак. ционные полосы. На рис. 168 показана дифракционная картина, наблюдаемая при дифракции света на крае экрана. Таким же путем можно рассчитать дифракционную картину на щели или длинном прямоугольном экране. На рис. 169 показана тень проволоки от точечного (или линейного) источника. ЗАДАЧИ 1. Положение светлых и темных полос при дифракции плоской волны на крае экрана можно приближенно (ио с достаточной точностью) определить по точ ьам пересечения нижней негин спирали Корню с прямой г"'г", соединяющей ее фокусы, приняв во внимание, что в этих тцчках прямая РГ' практически перпендикулярна к спирали Корню, Найти таким путем координаты указанных полос.
Ответ, х„= т,', 1' Хг (8я — 5) (светлые полосы), ха=2/з )сьг (8п — 1) (темные полосы), где п = 1, 2, 3, ... 2. Когда звезда проходит мимо края Луяы, пояучаются днфракцнонные голосы. Определить скорость их движения э по земной поверхности и оценить горядок их ширины бх. Для наблюдения полос можно воспользоваться телескопом, в фокусе которого помещен фотоэлемент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
