Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Такое дифракционное уширение пучка обусловлено волновой природой света и принципиально не мом<ет быть устранено прп заданной ширине пучка. Поэтому пе существует строго параллельных пучков лучей. Зто — идеализация, предполагающая, что поперечное сечение пучка бесконечно велико. Если пучок проходит путь 1, то на этом пути он претерпевает дифракционпое уширенне 1 65 = /Л/Р. Таким уширением можно пренебрегать только то~да, когда оно мало по сравнению с шириной самого пучка, т. е. когда 1Л/Р (( Р, или 1 ~ Р'/Л. Только на таких расстояниях пучок может рассматриваться как луч геометрической оптики (см. ~ 41, пункт 3).
5. Допустим, что источником света является бесконечно удаленная светящаяся точка или липия, параллельная длине щели.. Угол д на дифракционный минимум т-го порядка определяется условием (44.5). Ближайший к нему максимум сдвинут на угол 66, причем Ь [з(п (д+ 66) — з(п до'1 = тлЛ+- Л Вычитая отсюда (44.5) и заменяя разности дифференциалами, получим Ь соз б 66 =- Л/2.
Пусть другой такой же (некогерентный) источник света сдвинут относительно первого как раз на угол 66. Тогда дифракционные максимумы от одного из этих источников наложатся на минимумы от другого. В результате дифракционные полосы пропадут. Угловое расстояние 66 между точечными (или линейными) источниками, когда зто произойдет, определяется формулой 66 = Л/2Ь (44. 7) (при условии, что угол 6 мал).
Допустим теперь, что источник света протяженный и имеет форму равномерно светящейся полосы с угловой шириной Ю. Разобьем ее на две одинаковые части. Каждую часть в свою очередь разобьем на бесконечно узкие полоски одинаковой ширины. Скомбинируем их в пары полосок, сдвинутых относительно друг друга на угол 69/2. Если Ю/2 = 66, то, очевидно, дифракционных полос не полу- дневакция ФРАунгооевл»»А Шили 297 чится. Таким образом, условие исчезновения дифракционных полос от протяженного источника рассматриваемой формы будет 88 = )./Ь.
(44.8) От угловых размеров ЬО источника легко перейти к его линейным поперечным размерам И. Если источник помещен в главном фокусе коллиматорной линзы с фокусным расстоянием ), то И = 7' ЬО, т. е. Ы=~ь (44. 9) 6. Когда ширина щели становится меньше нли порядка длины волны, приближенный метод Френеля, которым мы пользовалнсь выше, становится неприменимым. Тогда волновое поле в плоское;и щели уже нельзя отождествлять с неискаженным полем падаюшей волны, как это делается в методе Френеля.
Задачу ладо реш»пь математически строго с использованием уравнений Максвелла и соответствующих им граничных условий. Впервые такой метод был осушествлен в 1896 г. Зоммерфельдом (1868 — 195!) в задаче о дифракции плоской волны на прямолинейном крае экрана. Зоммерфельд рассмотрел идеально проводящий (а гютому непрозрачный) экран, толщина которого пренебрежимо мала по сравнению с длиной волны. Хотя в оптике такой случай и невозможно осуществить, решение Зоммерфельда имеет большое значение, так как оно позволяет судить о точности и границах применимосш» приближенных методов. В 1897 г. Рэлей решил задачу о дифрак»ши на узкой жели (Ь ч' л) в бесконечно тонком идеально проводяшем экране.
В курсе общей физики нет возможности приводигь эгп решения '). Сравним только нх результаты с тем, что дает простои метод Френеля, чтобы составить более конкретное представление о границах применимости этого метода. Предположим„что электрический вектор падаюшей волны параллелен щели. Как показывает строгий расчет, ход амплитуды дифрагированиой волны качественно сохраняется, но выражается через функции Бесселя. Амплитудная кривая с ростом д спадает круче прежней функции (з)п а)!а. В максимуме значение амплитуды в 4)!(Ьпа) раз меньше значения, определяемого формулой (44.1). Так, прн Ь = '/»а).
амплитуда уменьшается в четыре раза '). Расхождение с приближенной теорией уменьшается при дальнейшем увеличении Ь. Численные расчеты, выполненные Морзе и Рубинштейном (1938), показали, что при ширине щели около ). или больше результаты, ') Интересующихся отсылаем н книге: Л. Зоммерймльд. Оптика, ИЛ, Москва, 1953. ') Если электрический вектор падающей волны перпендияулярен н длине пи .и, то амплитуда уменьшается слабее. Это легко понять, обратившись и соответствующему опыту Герца с нроволочной решеткой (см, т.
И1, $142, пункт 7). дию лкция светл [гл ш $45. Дифракция Фраунгофера на отверстиях 1. Допустим, что свет падает перпендикулярно к плоскости непрозрачного экрана с отверстиями. (Обобщение на случай наклонного падения не встречает никаких затруднений.) Координатную плоскость Х)' совместим с плоскостью экрана, через йГ обозначим элемент площади в этой плоскости. Направление дифрагированного света будем характеризовать единичным вектором з (рис.
!78). Разность хода между лучами, вышедшими в этом направлении из элемента площади г(Е и из начала координат О, т. е, длина отрезка ОЛ, равна (гэ), где г (л, у)— радиус-вектор элемента ЙЕ. Соответствующая разность фаз будет й (г а). Результирующее поле в фрауигоферовой дифракционной картине представится интегралом Е = ~ е'л ы" 1 е(Е, (45.1) распространенным по всем отверстиям. В случае прямоугольного отверРас. 178.
стия удобно перейти к прямоугольным координатам, предполагая, что координатные оси параллельны сторонам отверстия. Если а и Ь вЂ” длины этих сторон, то + а!з + м2 Е = ~ ~ е ('*" 'аа) дх ду. (45. 2) — ам — ьга Это — в точности такие же интегралы, которые встречались нам при рассмотрении дифракции на щели. Выполнив интегрирование, получим Ег аЬ( — "" )( — ), (45.5) где 1 п1чд р = — аЬза — — — ~. 1 паз, и = — лаз„=— 2 " Л (45. 4) Заменив в одном из интегралов пределы интегрирования бесконечными, получим предельный случай бесконечно длинной щели.
полученные по приближенному методу Френеля, могут считаться достаточно удовлетворительными. Таким образом, даже в случае наиболее тонких современных дифракционных решеток (при щелях порядка 1000 — 2000 нм) приближенный метод Френеля не ведет еще к заметным ошибкам. ДИФРАКПИЯ ФРАУНГОФЕРА НА ОТВЕРСТИЯХ 4 М! Интенсивность определяется формулой (45.5) Дифракционную картину можно получить, если наложить друг на друга две взаимно перпендикулярные дифракционные картины, одна из которых получена при дифракции на щели ширины а, а другая— иа щели ширины 5 (рис. 179).
Картина вытянута в направлении более короткой стороны прямоугольного отверстия. Случай круглого отверстия на практике представляет большой интерес, так как все оправы линз и объективов имеют обычно круглую форму. В атом случае при вычислении интеграла (45.1) естественно перейти к Рис. 179. Рис. 180. полярным координатам.
При малых углах дифракцин интеграл выражается через бесселеву функцию первого порядка У, (а), где и = Ыд = 2п)сдй ()т — радиус отверстия, б — угол дифракции). Опуская вычисления, приведем окончательные результаты. Дифракционная картина, естественно, имеет вид концентрических светлых н темных колец (рис. 180). Центр картины светлый, так как в него все вторичные волны приходят в одинаковых фазах. Распределение амплитуд (пунктирная кРивая) и интенсивностей (сплошная кривая) в зависимости от угла дифракции 6 (или, что то же, расстояния от центра каРтины) приведено на рис.
18!. Соответствующие кривые мало отли~аются от кривых рис. 175 не только качественно, но и коли- зоо !гл, 1О ДИФРАКЦНЯ СВЯТА дм = ~0,61+ — ~ —, (45.6) Более точные данные приведены в табл. 5. Из пее видно, что около 98ауа света приходится иа центральный максимум. Если исключить центральный максимум, то остальные темные и светлые кольца практически равноотстоящие. Таблица 5 интенсивность в макснмуыак Мнннл~уыы Макснмумы О',=О О', =0,81 От О,! 1,85 0,=0,61 0.„=1,12 Оа=!,62 6,=2,12 1 0,0175 0,0042 0,0016 2. Таким же путем, по крайней мере численно, можно рассчитать дифракциопную картину Фраунгофера на отверстии любой формы. Прн решении подобных задач полезно руководствоваться со.браженпяаш подобия.
Представим волновое поле интегралом вида (45.2), но распространенным по области Р, занимаемой рассматриваемым отверстием. Введем новые координаты х' = рх, й' = я', где р — пос Об ная. Область Р плоскости ХУ преобразуется в область Р' плоскости Х'1'. с7,4 Она получаешься из Р равномерным растяжением в 1А раз В направлении оси Х. Интеграл (45.2) преобразуется в Е (з) = 1. ~е« '+ ув),)х,(„, !а,,) Рис.
181. где единичный вектор а' определяется своими проекциями а,' = з„l!А, ву = з . (Постоянная р должна быть такой, чтобы з„'+ з„" ( 1.) г(о последний интеграл представляет волновое поле Е' (а') (в штрихованной системе координат) в направлении чественно. Приближенно угловые радиусы темных колец опреде- ляются формулой зог диеэлкция еелунгоэввл нл отввгстиях единичного вектора э' при фраунгоферовой дифракции на отверс- тии Е', а потому (45.7) Е' (э') = рЕ (э). Таким образом, по известной дифракционной картине на каком- либо отверстии можно без новых вычислений получить новые дифракционные картины. Для эгого надо отверстие равномерно вытянуть (сжать) в каком-либо направлении. Тогда, как видно из формул х' = рх, э,' = э»1(», дифракционная картина сожмется (вытянется) в том же направлении. Так, при растяжении круглого отверстия оно переходит в эллиптическое, а дифракционные кольца сжимаются, также принимая эллиптическую форму.
Конечно, отверстие можно вытянуть или сжать и вдоль каких-либо двух направлений. 3. Рассмотрим теперь случай, когда в экране имеется большое число 1»' одинаковых и одинаково ориентированных отверстий. Волновое поле в бесконечности представится суммой Е = ~:Ео где Е> — поле, которое возникло бы при дифракции при наличии одного только 1-го отверстия. Для интенсивности получим 1 = ЕЕ*,У,1>+~~',.~ Е>Е)'. »фе При фраунгоферовой дифракции распределение интенсивности в дифракционной картине определяется только направлением лучей, а не положением световых пучков.
При боковом смещении последних интенсивность не меняется. Распределение интенсивности не изменится, если отверстие в плоскости экрана сместить в сторону без изменения его ориента>(ии. Поэтому в последней сумме все интенсивности одинаковы: 1, = 1,. Рассмотрим особо два случая: 1) отверстия расположены хаотически; 2) отверстия расположены «правильно», в определенном порядке. В первом случае среди членов двойной суммы с 1 ~ 1 в среднем найдется столько же положительных членов, сколько и отрицательных. При сложении таких членов в среднем получится нуль. Поэтому ! = 1>11,. Получается такая же дифракционная картина, что и от одного отверстия, но усиленная по интенсивности в У раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
