Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Полосы, проходя перед объектнвом телескопа, возбуждают переменные электрические токи, которые могут быть усилены и с помощью осциллографа записаны на движущейся ленте. Оцещпь длительность Г прохождения полос перед объективом. Принимая звезду за равномерно светящийся диск, можно теоретически рассчитать распределенйе освещенности в днфракцноиной картине. Сравнивая его с распределением освещенности, найденным экспериментально, можно опредс л ~ть угловой диаметр звезды, что и было фактически выполнено в 1945 г. УайтЧ ордом для четырех звезд иа стодюймовом рефлекторе Маунт-Внльсоновг]чой обсерватории. Оценить угловые размеры звезд, для которых может быть пригоден этот метод.
О т в е т. о = 500 м(с] бх 1' ЬХ 1О м, где Ь = 3,8 10з км — среднее Расстояние до Луны, Метод пригоден, когда угловые размеры звезд лежат примерно в интервале от 1О г до 10 ' угловой секунды. 3. Для получения фотографий дифракционных картин а тех случаях, когда источник света и экран расположены очень далеко, В. К. Аркадьевым (1884— 1953) был применен лешод подобия, в котором вместо действительных препятствий, стоящих на пути лучей, используются их уменьшенные и подобные модели, но длина волны сохраняется неизменной. требуется получить фотографию дифракциониой картины от диска днамеР Ром ]] = 50 см, иогда на его оси расположен точечный источник света на рассто.
ниии А = 25 км, а экран удален от него на В = 50 км (плоскость экрана перпен. дикулярна к оси диска). С этой целью диск заменили уменьшеяной моделью с диаметром д = 1 см, Пользуясь методом зон Френеля, определить, на каких расстояниях а и Ь следует поместить источник света и экран, чтобы получилась подобная и уменьшенная в и = 50 раз дифракционная картина, Ответ, а=А]па=10 м, Ь=В(пз= 20 и. !гл, >и диьпл>кцпя спгтл й 43. Принцип Гюйгенса в формулировке Кирхгофа 1. До Кирхгофа принцип Гюйгенса — Френеля оставался гипотезой. Кирхгоф в 1883 г, вывел формулу, которую можно рассматривать как уточненную формулировку указанного принципа. Приведем вывод фюрмулы Кирхгофа, хотя в дальнейшем и не будем ею пользоватьсн. Читатель может опустить его без ущерба для понимания дальнейшего.
А Допустим, что среда, в которой распространяется свет, однородна. Будем характеризовать световое поле кахой-то величиной Е. Под Е можно понимать либо вектор Е, либо вектор В, либо одну из их проекций на декартовы осн координат. Эта величина 'удовлетворяет волновому уравнению 1 д>Е которое в случае монохроматического поля .переходит в оЕ+лзЕ-.=О. (43.1) Рпс. 170.
Найдем значение Е в произвольной точке пространства Р (рис. 170). Обозначим через г переменное расстояние какой-либо точки А от Р, Вслнчнна )„= — е->а', 1 (43.3) / рассматриваечая как функция точка А, также удовлетворяет уравпшшю йд Ч йзй = 0. (43.3) Окружим точку Р произвольной замкнутой поверхностью Р, и притом та. кой, что в окружгемом ею пространстве нет источников света. Функция у обращается в бесконечность в точке Р. Исключим зту точку, окружив ее сферой ) достаточно малого радиуса Е с цент ром в Р.
Тогда во всем пространстве между сферой 1 и поверхностью Е функции Е и >0 а также их производные будут койечны и непрерывны. К инм можно применить формулу Грина (1793 — !841) ГЕЯХ вЂ” ХбЕ) д)>= — ~ (Е К вЂ” х (43А) дл Дл) н.~- 1 где (> — объем пространства между поверхностями 7 и Р, а и — внутренняя нормаль по отн>шению к этому пространству, Так как в указанном пространстве источников света нет, то в нем справедливы уравнения (43.!) и (43.3).
Следовательно, Е йй — 7 1>Е= — йз (ЕК вЂ” уЕ) =О, а потому 'д )(дл) с) = ф (Едй уд» ) лг 1 и Перейдем в этом равенстве к пределу, устремляя радиус сферы 1 к нулю. Правая часть равенства при этом не будет меняться. Что касается левой, то, взяв радиус й> настолько малым, чтобы М ~ 1, можно заменить зкспоиенциальиый мио. житель е ' ~ единицей.
Тогда левая часть примет вид 989 ПРИНЦИП ГЮИГЕНОА В ФОРМУЛИРОВКЕ КИРХГОФА дЕ Так как величины Е и — в окрестности точки Р конечны, то интеграл от второго д(г дЕ слагаемого будет порядка — 4пР— т. е. при Е -и О обратится в нуль. Иитед)7 грал же от первого слагаемого в пределе перейдет в — 4пЕр.
Окончательно Ер=4 с(> Е.> — ( — ) — — д — ~ дР, р (43,5) где С„, — постоянные коэффициенты. Если г стремится к оо, то г„, также стремится к оо, однако разность гм — г будет оставатьсн конечной, Представим Н в виде — ы(+в ) Е='~с„е -в— где в(м — новые постоянные, Разлагая выражение под знаком суммы в ряд по степеням 1/г, получим Е ' '"('(>'˄—,' Р'А„п +Г(...)+ф Е= (С+э) =(С+Ф))(, где Ер — значение функции Е в точке Р, 2. Формула (43.5) по виду напоминает принцип Гюйгенса — Френеля.
И тут и там поле в точке Р выражается интегралом по замкнутой поверхности Р, Однако у Френеля источники света лежат внутри замкнутой поверхности Р, а точка Р внв этой поверхности. Формула же (43.5), наоборот, предполагает, что гочка Р лежит внутри поверхности Р, а источники внв ее. Легко, однако, преобразовать формулу (43.5), чтобы указанное различие исчезло. Для этого предположим, что все источники света 5г, 5э, 5м .. лежат в конечной области пространства. Окружим зту область замкнутой поверхностью Р (рис.
!71). л Пусть тачха Р находится в пространстве вне поверхности Р. Опишем нз Р как из центра Я, л сферу 7 настолько большого радиуса, чтобы она целиком окружала поверхность Р. Тогда в про- г ог странстве между 7" и Р не будет источников света, а потому можно для вычисления Е в точке Р ~2 применить йармулу (43.5): Го Р+1 докажем, что интеграл по сфере 7 стремится к нулю, когда ее радиус стремится к бесконеэно- Рпс.
171. сти. Для этого необходимо выяснить поведение функции Е на бесконечности, Предположим, что в пространстве, ограниченном Р, находится адин или несколько точечных источников света: 5г, 5м 5„... То~да поле этих источников представится в виде — тг Е = ~~~~~ Ст г ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 1гл. !тг где С вЂ” постоянная, а Ф стремвтся к нулю по крайней мере как 1/г. Подставляя это значение Е в интеграл по сфере /, получим 3 ---)-~ ° ((Š—.
— Х вЂ” ~ д/= — Р )(з — й/ дт дЕ! Г дФ дл дп) ~ дп Подынтегральное выражение в последнем интеграле стремятся х нулю по нрайней мере как !/гз, тогда как поверхность сферы обращается в бесконечность кзк гз. Поэтому при г-<. оо весь интеграл стремится к нулю, Таким образом, если сферу / удалить в бесконечностьч то подучится (43.6) Р Эти рассуждения приводят также к следующему важному результату. Если векоторый учзсток поверхности Р удаляется в бесконечность, то часть йнтеграла (43.6) по этому участку стремятся к нулю.
При этом предполагается, что все источники света находятся в конечной области пространства. 3. Формулы (43Л) и (43.6) и выражают принцип Гюйзеиса в формулировке Кирхгофа. В обеих формулах и означает внутреннюю нормаль по отношению к тому пространству, в котором находится точха наблюдения Р. Выполнив дифференцирование по и н приняв во внимание, что дг/дп = = — со»и, где а — угол между нормалью и и направлением из площадки йР на точку Р, получим е-гьг ЕР=Г~ К (и, г) — йР. (43,7) г Здесь введено обозначение К(и, г)= — ~~й+ — 1Е сов а — — ~. дЕч =4' Е дл)' (43.8) Благодаря малости длин световых волн такой упрощенной формой принципа Гюйгенса в оптике можно пользопаться при решении всех конкретных задач. 4.
Чтобы составить на примере более конкретное представление о вторичных волнах, рассмотрим свободное распространение сферической волны от то Тем самым установлена связь формулы Кирхгофа с принципом Гюйгенсг: подынтегральное выражение в формуле (43.8) мо. жст рассматриваться как вторичная во.<ка, д распространяющаяся от площадки йР к точ. ке Р. Множитель К, однако, зависит ке толь<х ко от угла а, как предполагал Френель, г но также и от расстояния г. В противном случае вторичная волна не могла бы удое. ;7 <7 га Е /» летворять волновому уравнению, Таким об. разом, вторнчные волны не обладают ша. розой симметрией.
Опи сферические только в том смысле, что их волновые фрон Р ты имеют форму сфер. Амплитуды же зависят от направления распространения н меняются с расстоянием иначе, цем !/г, Рпс. !72, Только в <волновой зове», когда расстояние точки Р от излучающего центра йР бчень велико по сравнению с длиной волны, можно в выражении (43,8) прене бречь 1/г по сравпснию с й. Тогда дЕ', е !ь' — <АЕсоз<х — — — йР.
Р=еп 3'~ дп/ Р (43.9) ПРИНЦИП ГЮИГЕНОА В ФОРМУЛИРОВКЕ КИРХГОФА 291 $431 вечного источника. В качестве поверхности Е возьмем сферу радиуса гз с центром в источнике О (рис, 172), Поле на поверхности Е представим выражением е г !мг -аг,1 Ез= г'а Предполагая, что радиус гз очень велик по сравнению с длиной волны, отсюда найдем дЕ/дп,= ЗЕз/дге — йЕ,. Подставляя это значение в формулу (43.9), получим й е-/а~ ~ (!+сов ск) Ез — с/и 4П '3' г Сравнение зтай формулы с йюрмулой (43.7) дает К (я) = — (!+соя 44). й 4п (43. 11) Зто и есть кослабляющий мккожнтельз К (кк), введенный в й 39 аб )тес. Из теории автоматически получается, что он чисто мнимый и с возрастанием 44 монотонно убывает по абсолютной величине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
