Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В такой формулировке принцип Гюйгенса — Френеля выражает весьма общее положение. Он означает, что волна, отделившаяся от своих источников, в дальнейшем ведет автономное суи!ествованбе, совершенно не зависящее от наличия источ. ников. 3. При математической формулировке принципа Гюйгенса— Френеля будем предполагать, что источники света — монохроматические с одной и той же частотой 99.
По предположению Френеля каждый элемент площади аР поверхности Р !рис. 150) испускает вторичную сферическую волну, а волновое поле в точке наблюдения р представляется суперпозицией таких волн в виде интеграла — е~ Си — 99) (39.! ) Р по всей !замкнутой) поверхности Р. Френель предположил, что амплитуда вторичной волны пропорциональна амплитуде первичной волны, приходящей к элементу йР, а также площади самого диФРАкция светА 1гл ю элемента с(Р. Кроме того, она убывает с возрастанием угла между нормалью к поверхности Р и направлением излучения вторичной волны.
Конкретного выражения для амплитуды вторичной волны Френель не дал. Зто было сделано только в 1883 г. Кирхгофом (1824 — 1887) при строгой формулировке принципа Гюйге~са— Френеля (см, 5 43). Несмотря на это, Френелю удалось получить правильные, решения многих дифракциоиных задач, пользуясь простыми интуитивными соображениями и нестрогимн методами расчета. Зти простые и наглядные методы, приводящие быстро к цели, до сих пор используются при элементарном изложении теории дифракции.
Оии взяты за основу и в настоящей книге. Мы изменим только те (не влияющие на окон- Г чательный результат) предположения Френеля, которые оказались неверными. 4. Рассмотрим сначала свободное распространение сферической волны Е, = — е' 1"" —" > (39.2) 1 ср Рис. 151.
в однородной среде (рис, 151). Пе- ред этим выражением можно было бы поставить какую-то постоянную амплитуду А,, Мы не делаем этого, выбирая единицы измерения так, чтобы было А, = 1. В качестве вспомогательной поверхности Р в формуле (39,1) выберем сферический волновой фронт радиуса гм Согласно гипотезе Френеля, а = К(а) е мо/гн где функция К(а), помимо длины волны, зависит только от угла между нормалью к волновому фронту и направлением излучения вторичной волны Гюйгенса. Полное поле в точке наблюдения Р представится интегралом Е= ~ — е'1"' "" — «Р1р(Р, Р К(а) 5 срр Если за элемент плошади с(Р принять площадь кольца, вырезаемого из волнового фронта двумя бесконечно близкими концентрическими сферами с центрами в точке наблюдения Р, то с1Р = = 2пг," эйп д с(д.
Примем за переменную интегрирования расстояние р. Дифференцируя соотношение р' = г„' + (г, + г)' — ' — 2гр (г, + г) соз д при постоянных г, и г, находим яп 6 с(д, а затем и элемейт площади с(Р. В результате получим ракс Е = — ес1м« вЂ” « .1 ~ К(р) е-'«Рс(р, (39.3) гс-1-г где прежняя функция К(а) теперь рассматривается как функ- 26з пгинпип гюпгвнса — чгснвля. зоны ягвнвля 4 зэ] цня р, Верхний предел интеграла равен г„,„, = г+ 2бь Однако, имея в виду дальнейшие применения, мы не будем его конкретизи- ровать.
Точное вычисление интеграла (39.3), конечно, невозможно без знания вида функции К(р). Однако Френель, используя ма- лость длины световой волны, дал метод приближенного вычисления Г подобных интегралов при весьма общих предположениях относи- ГФЯРд/г! тельно функции К(р). Опишем из г~д . точки Р как из центра концеитри- д и Р ческне сферы с радиусами г, г+ + Х/2, г+ 2 (),/2), г + 3 ()./2), ... (рис. !52).
Оии разобьют волновой фронт Р на кольцевые области, получившие название зон Френеля. Рис, 152. Ввиду малости длины волны, аргумент р, а с ним и функция К(р) в пределах одной зоны могут считаться постоянными. В этом приближении интеграл (39.3) по и-й зоне будет равен /+ЛЯ/2 К„~ е — мяс(р = ( — 1)" +' —." е — '"", 2К„ /я г+(л-и х/2 где через К„обозначено среднее значение функции К(р) для л-й зоны.
Если У вЂ” общее число зон, посылающих вторичные волны в точку наблюдения, то поле Е представится знакоперемениой суммой Е=Е1+Ег+Ез+" +Ел. (39.4) Общий член ее имеет вид ( 1)л+! ецо~ — ь и,+ ~п чпКл гя (~о г~) (39.5) То обстоятельство, что знаки рядом стоящих слагаемых в сумме (39.4) противоположны, означает, что колебания, вносимые соседними зонами Френеля, противоположны по фазе. Этого и следовало ожидать, так как из самого построения зон Френеля видно, что одно из этих двух колебаний запаздывает относительно другого иа полволны. По предположению Френеля абсолютные значения множителей К„„а с ними и членов суммы (39.4) медленно убывают с возрастанием номера и.
Уберем в сумме (39.4) слагаемое Е, и добавим слагаемое Ея„. Ввиду медленности убывания членов суммы (39.4), интуитивно можно ожидать, что от этого абсолютное значение суммы (39.4) почти не изменится, а ее знак заменится на противоположный. Приняв это, наряду с (39.4) можно также написать: Е= — Еи — Ез — ... — Ел — Ел+1 ° ггл [т дисРлкпия сВетА Тогда 2Е = Е, — Елгм Но в том же приближении Ен — — — Ен „ и следовательно, Е= -2 (Е,+ЕЛ). (39,5) Е= — Е =, ' ' е'[оо л<"+'11 (39.7) 2 з И(гл+г) т. е, при свободном распространении волны волновое возмущение от всего волнового фронта составляет половину возмущения, даваемого одной только первой зоной френеля. Дело происходит так, как если бы из всего волнового фронта действующей осталась только часть первой зоны Френеля "). 5.
Формула (39.?) интересна также в том отношении, что она позволяет точно определить множитель К,. Действительно, при свободном распространении сферической волны (39.2) напряженность поля заранее известна в любой точке пространства. В частности, в точке наблюдения Е= 1 г[ [иà — А [гз+ а1, го+ г Сравнивая зто выражение с (39.7), находим И й К = — = — втгэ. 2п 2п (39.8) Таким образом, множитель К,, а также все оста.тьные множители К„К,, ... — чисто мнимые. Значит, вторичные волны Гюйгенса опережают по фазе колебания поля в точках волнового фронта на н/2. Если бы такого опережения не было, то вторичные волны из центра первой френелевой зоны приходили бы в точку наблюдения с фазой шг — я (г, + г), а от ее краев — с меньшей фазой ш(— г) В полученном результате авторы многих книг видят доказательство примолинейвого распространения света, утверждая, что свет распространяется как Сы в узком прямолинейном канале, поперечное сечение которого порядка размеров первой френелевой зоны.
Однако ие надо забывать, что этот вывод относится к саэбоднолу распространению волны, когда проблема прямолинейного распространения света вообще не возникает. Она возникает лишь лра наличии препятствие йа пути распространения света, Это есть проблема теней, явлающаяса частным случаем проблемы дафрокиаа света, Таким образом, волновое возмущение, создаваемое У первь[[ии зонами Френеля, равно полусумме возмущений, вносимых крайними зонами. Возьмем теперь все зоны на сферическом волновом фронте Р (рис.
151). Введем предположение (обосновываемое при строгой формулировке принципа Гюйгенса, данной Кирхгофом), что при а = н, т. е. в точке лл волнового фронта, функция К (гх) обращается в нуль. Тогда Ел = О, и из формулы (39.6) получаем принцип гюигвнсл-фрвннля. зоны ернннля 2Б7 л (га + г) — я. Фаза результирующего колебания, возбуждаемого всей первой зоной, была бы равна полусумме этих значений, т. е. оказалась бы меньше правильного значения на и!2. 6. Результаты (39.6) и (39.7) имеют основное значение в метода зои Френеля.
Для лучшего уяснения интерпретируем их на векторной диаграмме (см. т. 1Н, 2 126). Разобьем каждую зону Френеля на гп кольцевых подзон (на рнс. 153, а построение выполнено для гп = 6). Колебания, возбуждаемые в точке наблюдения такими подзонами, на векторной диаграмме изобразятся векторами А,А«, я, Аа о б) а) Рис. 1БЗ. А,А„А,А, и т. д., образующими ломаную линию. Колебание, воз.
буждаемое несколькими соседними подзонами, представится геометрической суммой таких векторов. Например, вектор А,А, представляет «действие» первой френелевой зоны, вектор А,Ам — совместное действие двух первых френелевых зон, и т. п. Если число подзон У устремить к бесконечности, то в пределе ломаная перейдет в непрерывную спираль, вьющуюся вокруг фокуса г' (рис.
153, б). На атой спирали действие первой френелевой зоны представляется вектором А 4„а всего волнового фронта — вектором Аегг, который почти точно вдвое короче предыдущего. Действие центральной 'половины первой зоны представляется наклонным вектором А 4„ и т. п. 7. В 627 (пункт 8) указывалась, что прохождение сходяпгейси сферической вопим через фокус (т. е. ее центр) сопровождается изменением фазы на и.
Приведем новое истолкование этого явления, используя метод зои Френеля. Как всегда, зоны Френеля надо строить с той стороны волнового фронта, кубо он Распространяется. В рассматриваемом случае это будет вогнутая стоРона. Конечно, и здесь вторичные волны будут опережать по фазе колебания поли ва волновом фронте, так как зто есть свойство самих влеменлгараьи истамлнхгм звери«них волн, не эависвщее от формы волнового фронта, на котором они вахочнтси. Лай«тине же всего волнового фронта в точке наблюдении при свободное Распространении волны по-прежнему будет равно половине действии первой 268 (гл >тг ДИФРАКЦИЯ СВЕТЛ френелевой зоны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
