Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 67
Текст из файла (страница 67)
!63). 1 Метод Френеля решения дифрак- сыч цнонных задач может быть оправдан, Г РР когда размеры отверстий и непрозрачных промежутков между ними велики Рпс. !63. по сравнению с длиной световой волны, а потому заметная интенсивность света наблн>дается лишь пря малых утлах дифракции. Действительно, в отверстиях законы геометрической оптики нарушаются лишь в непосредственной близи от нх краев.
1'!рименяя гипотезу Френеля, мы при вычислении интеграла (39.1) пользуемся неправильными значениями подынтегральной функции только внутри узких полосок вблизи краев отверстий. Ширина этих полосок порядка длины световой волны. В основной области интегрирования используются правильные значения подынтегрального выражения. Автоматически снимается и возражение (4), связанное с поперечностью световых колебаний, так как различием направлений вычисленного и действительного полей при малых углах дифракции можно пренебречь. Все это в основном подтверждается совпадением результатов теоретических расчетов с опытом.
Но для малых препятствий, сравнимых с длиной волны, и, следовательно, для больших углов дифракции гипотезой Френеля уже нельзя пользоваться. Отметим еще, что гипотеза Френеля приводит к выводу о независимости дифрагированной волны от материала экрана. Этот вывод в основном также подтверждается опытом. Только более точные опыты обнаруживают и влияние материала экрана на дифракцию света. й Явления дифракции принято классифицировать в зависи- мости от расстояний источника и точки наблюдения (экрана) от .препятствия, поставленного на пути распространения света. Если диФРАкцня светл кл 1у эти расстояния очень велики (бесконечно велики), то дифракция называется дифракцией в параллельных лучах или дифракцией Фраунгофера (1787 — 1826). В противоположном случае говорят о дифракции в непараллельных лучах или дифракции Френеля.
Практически для осуществления дифракции Фраунгофера точечный источник света помещают в фокусе собирательной линзы. Получаю. щийся параллельный пучок света дифрагирует на каком-то препят. ствии. Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света, или в зрительную трубу, установленную на бесконечность. Ясно, что между фраунгоферовой и френелевой дифракция. ми нет принципиального различия и рез.
кой границы. Одна непрерывно переходит г г, в другую. Для лучшего уяснения приведенной классификации начнем с примера. Рассмотрим круглое отверстие и точечный о источник на его оси. Пусть сначала точка наблюдения также находится на оси. Если в отверстии укладывается небольшая часть 1 первой зоны Френеля, то дифракция будет фраунгоферовой. В этом случае все колебания в плоскости отверстия совершаются и приходят в точку наблюдения практически в одинаковых фазах. При смещении г' г„' Р Рае.
164 точки наблюдения вбок появляются разности фаз между вторичными волнами, приходящими в точку наблюдения от различных точек отверстия. Этим н обусловлено появление дифракционных колец. Если отверстие заменить непрозрачным экраном, то этот случай, по соображениям, которые выяснятся в пункте 4, также относят к дифракции Фраунгофера. Если же в отверстии или экране (для точки наблюдения, лежащей на оси системы) укладывается заметная часть первой зовы или несколько зон Френеля, то дифракция считается френелевой.
3. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть препятствием является непрозрачный экран с отверстием (рис. !б4), 5 — точечный источник монохроматического света, Р— точка наблюдения. За начало координат примем произвольную точку О в плоскости отверстия. По принципу Гюйгенса — Френеля волновое поле в точке Р представляется интегралом Ер = 1 —,е'ь~л~йр, (41.1) гг где Ф = ьэ! — к (г + г').
Ввиду малости углов дифракции в подынтегральном выражении (41,1) опущен множитель К (а), определяю- 279 ДИФРАХЦИЯ ФРАУНГОФЕРА И ФРЕПЕЛЯ а ап щий зависимость поля вторичной волны от направления ее излучения. Знаменатель гг' можно считать постоянным, так как размеры отверстия предполагаются очень малыми как по сравнению с г, так и по сравнению с г'. Но зависимость фазы Ф от радиуса-вектора Я, определяющего положение элемента площади ЙР, конечно, должна быть учтена, так как фаза быстро меняется уже на малых расстояниях (порядка ширины френелевой зоны).
Интегрирование в (41.1) во всех случаях выполняется по практически неболыпому числу (не более нескольких десятков) полных или неполных зон Френеля (см., например, следующий параграф). Если расстояния г„и г,' настолько велики, что разложение фазы Ф (Я) по степеням Я можно оборвать на членах первой степени, то такие расстояния можно считать бесконечно большими.
В этом случае имеет место дифракция Фраунгофера. Если же такая точность недостаточна, то дифракция будет фрепелевой. Обычно в случае френелевой дифракции разложение фазы Ф (гг) по степеням Я достаточно оборвать на членах второй степени. Найдем количественный критерий, при выполнении которого в фазе Ф можно пренебречь квадратичными членами и, следовательно, считать дифракцию фраунгоферовой. Как видно из рис. 164„ г' = га + )с, откуда га=га,+2(га)т)+Йа.
Извлекая квадратный корень с точностью до квадратичных членов включительно, получим г=г,+(зР)+ —,' (й~+(ЕЛ)~), 2аа где через э обозначен единичный вектор з = га7га. Аналогично вычисляется расстояние г'. В результате получаем Ф = м1 — 7а (га+ га) + е(8 — 8 ) 7с+ 2 [(г +4 ' ' га( ) +~( ' 1' В отличие от постоянного вектора з, единичный вектор э' = га7га меняется при изменении положения точки наблюдения. Этим и обусловлено появление дифракционных картин, т. е.
изменение интенсивности светового поля от точки к точке. Слагаемое — л (га + г,') не играет роли. Оно вносит в выражение для Ер только постоянный фазовый множитель е ' и + 'а~, не влияющий на интенсивность светового поля в точке Р. Квадратичные члены имеют порядки аа~ 7га=2паа 7("га) " й)~ !ге 2п)~ Юга)' Максимальные значения эти величины принимают при Р = ьа.
где Й вЂ” диаметр отверстия. Практически этими членами можно гво дифеккцпя светл !гл и пренебречь, если они меньше и!2. Действительно, характерной величиной для фазы является п/2, так как при изменении углов на такую величину синусы и косинусы претерпевают существенные изменения. Все слагаемые в фазе, много меньшие и!2, не играют роли и могут быть отброшены без особого ущерба для точности. Для максимальных изменений, обусловленных квадратичными членами, мы (несколько условно) заменим требование «много меньше» более слабым требованием «меньше».
Таким путем получим (41.3) Этими условиями и определяется область фраупгоферовой дифракции. Например, если Р = 1 мм, Л = 500 нм, то фраунгоферова дифракцня наступает при г,, г»') 4Р'~Л = 8 м. Легко также написать условия, при которых разложение фазы Ф (!с) можно оборвать на членах второй степени: г«)г 4Р»!Л г«'-» )г 4Рз~Л В приведенном примере они удовлетворяются при г„г»') 9 см.
Впрочем, квадратичным приближением (4!.2) пользуются даже тогда, когда условия (4!.4) не выполняются. Это делается при вычислении интеграла (41.1) в несущественных частях области интегрирования, где точное знание фазы Ф не имеет значения. Пример такого рода будет приведен в следующем параграфе при рассмотрении дифракции на прямолинейном крае экрана. Теперь становится качественно ясным, как ведет себя световой пучок, прошедший через диафрагму, на различных расстояниях г от нее. Для определенности будем считать, что диафрагма освещается параллельным пучком света. На малых расстояниях г ~<,' « Р»!Л приближенно применима геометрическая оптика (прямолинейное распространение света). Затем с увеличением расстояния г наблюдается сложная картина френелевой днфракции. На больших расстояниях г >) Р»/Л дифракционная картина упрощается и переходит в дифракцию Фраунгофера.
4. Следствием гипотезы Френеля является полезная теорглна Бабане (1794 — 1872) о свойствах так называемых дополнительных экранов. Возьмем плоский экран, освещаемый каким-либо источником света. Пусть Е,„— поле падающей волны, какое получилось бы в точке (х, у) на передней поверхности экрана при отсутствии последнего, а Е,„„— поле в той же точке на задней поверхности экрана (экран предполагается тонким, и его толщина не играет роли). Пусть эти поля связаны соотношением Е, „= а,Е,„. Коэффициент и, называется пропрокаемосгпью экрана.
Он может зависеть от координат х, у, структуры экрана и длины волны, но не зависит от напряженности волнового поля. Для другого экрана той же геометрической формы Е, „= а,Е„. Зги два экрана называются ДИФРЛКЦИЯ ФРЛУНГОФЕРЛ Н ФРЕНЕЛЯ $4п дополнительными, если а, + а, = 1. Примером могут служить два непрозрачных экрана с отверстиями, причем отверстия одного экрана совпадают с непрозрачными частямн другого, Согласно (41.1), волновые поля в точке наблюдения при испольяовании дополнительных экранов могут быть записаны в виде причем в обоих случаях интегрирование распространяется по всей поверхности экрана.
(Для определенности источник света предполагается точечным, что не имеет никакого значения.) Сложив эти два выражения и учтя, что а, + а, = 1, получим Ер" + ЕР = 1 —, Е„, е'Ф с(Е. 1 гг' Но последний интеграл есть поле Ер в точке Р, которое получилось бы при свободном распространении волны. Таким образом, Е)г + ЕР" = ЕР. (41.5) Зта формула и выражает теорему Бабине в ее наиболее общей форме. Обычно теорема Бабине понимается в более узком смысле— прилтенительио к случаю фраунгоферовой дифракции.
Пусть фраунгоферова днфракцнонцая картина наблюдается в фокальной плоскости линзы. Если бы на пути параллельных лучей не было препятствий, то световое поле в этон плоскости было бы всюду равно нулю, за исключением фокуса линзы. Таким образом, согласно (41.5), во всякой точке фокальной плоскости, за исключением фокуса, должно быть ЕР'+ Ееэ' = О. Так как интенсивность света ! пропорциональна 1 ЕР1', то отсюда получаем (41.6) 1т = )з. Следовательно, поскольку наблюдению доступна только интенсивность светового поля, а не его фаза, фраунгоферовы дифракиионные картины от дополнительных экранов, получаемые в фокальной плоскости линзы, всюду одинаковы, за исключением самого фокуса.
ЗАДАЧА На черный экран падает плоская световая волна. Из-за дифракпии за экраиом, наряду с неотклояениой волной, появятся волны всевозможных паправлеЯий (Рассекпимй свет). Ноказатгч что количество РассеЯнной эпеРгии Равно количеству энергии, поглощенному экраном. Р е ш е и и е, Заменим экран дополиительным, т, е, отверстием той ясе величины и формы. От этого по теореме Бабиие интенсивность светового поля в бесконечности сохранится иеизмеяной во всех направлениях, за исключением иапРавления первичиой волны.
Но яа любое строго фиксированное направление аа отверстием приходится нулевая иитеисивяость света, так как отверстие рассеи- 282 1гл. ш дневдкция свата вает весь падающий на него свет. С другой стороны, экран по предположению пол. костью поглощает весь падающий свет. Отсюда непосредственно получается требуемый результат, разумеется, он применим только в тех случаях, когда размеры экрана очень велики по сравнению с длиной волны, $42. Зоны Шустера и спираль Корню 1.
В одномерных задачах, например при рассмотрении дифракции на прямоугольной щели, разбиение волнового фронта на кольцевые зоны нецелесообразно. Лучше разбивать волновой фронт на полосатые зоны, называемые зонами Шустера (1851 — 1934). Ограничимся случаем, когда волновой фронт плоский, хотя обобщение на случай сферп- 3 ческого фронта и не встречает а никаких затруднений. Пусть плоскость волнового фронта и„ АВ перпендикулярна к плоскости рис. 165. Обозначим через Ь длину перпендикуляра РО, опущенного из точки наблюдения на волновой фронт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
