Учебник - Общий курс физики. Оптика - Сивухин Д.В. (1238764), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Так можно поступать, когда функции ю(. и юС инилитичлм. Поэтому для полноты доказательства надо бьшо бы доказать аналитичность этих.функций, чего в выводе Левина нет. Это можно сделать в общей теории дисперсии, исследуя аналитические свойства функций е(ш) и р(ш). Однако рассмотрение этого вопроса выходит за рамки нашей книги. 2. Смысл формулы (88.!) полезно уяснить на примере газа классических гармоннчесннх осцилляторов в монохроматическом электрическом поле с частотой ш. Вдали от собственной частоты ыо осцнллЯТВРа можно пРенебРечь эатУха- МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА (гл, угн пнем. Тогда смещение осциллятора из положения равновесия выразится формулой еЕ г= т(гоз ы ) В этом случае энергия слагается нз энергии самого влгктромагнитного коля (т.
е. поля в вакууме) и из энергии частиц, находящихся в поле. Последняя энергия в свою очередь состоит из кинетической и потенциальной энергии колеблющихся осцилляторов. В статических полях кинетической энергии нет. Зто приводит к формуле ю = еЕз/(8л). В переменных полях кинетическую энергию надо учитывать, что и делается ниже. Плотность собственно энергии электрического поля равна 1 /Е-1-Е' 'Р Ее ЕЕ' + +комин.
совр. Плотность потенциальной энергии: А1тызз 1г+ г' 1з Азтюзз ю = — '( — ) = ' ( +ггз)+к . р. 2 ~ 2 ) 8 Плотность кинетической энергии: )Ут l г+гв 1з )ттыз шз= з= 2 1 2 ) — 8 ) = — — (г' — гг")+колзпл. сопр. Подставляя сюда выражение для г н замечая, что из формулы Зельмейера следует й(юз) (е 1)(юз+ы ) Юзз — со' получим дея плотности электрической энергии: еЕз 1 й (юе) юв= — + — (ЕЕ')+компл. сопр. 32л 32л йю Усредняя по времени, получаем первую формулу (88 1). Для плотности магнитной энергия имеем обычное выражение, как в неднспергирующей среде.
ЗАДАЧ И 1. Рэлей предложил определять среднюю скорост~ движения энергии и в плоской бегущей волне как отношение средней плотности потока энергии к средней плотности самой энергии. Пользуясь выражением для вектора Пойнтинга, пока зать, что так определенная скорость в случае монохроматнческой электромагнвт. ной волны совпадает с групповой скоростью. Р е ш е н и е.
Для средних плотностей энергии и ее потока нетрудно получить с Ге йй „вЂ” с Ге — — — 8 = — ег — (ЕЕ*), 8л1 )з йю ' 8л 1' )з откуда и следует требуемый результат. 2. Показать, что если е(ю) и р(ю) положительны, то фазовая и групповая скорости в электромагнитной волне направлены в одну сторону, Р е ш е н и е, Средняя плотность электромагнитной энергии Ш = — — ( ЕЕ*) + — — ()т 11 в) 1 й (юе) 1 й(юр) 8л йы 8л 8л й ао) поглощение сВетА и ушР1Рение спектРАльных линии зоб — существенно положительная величина. В плоской вплне а(ЕЕ*) = )г (НН'). Поэтому — + — — >о. 1((ыв) )1 о'(оз(г) оы в оы Вто неравенство должно соблюдаться дон любых сред, у котоуых знаки е и )г совпадают, поскольку оно выведено в предположении, что в среде может распространяться однородная монохроматическая волна, для которой йз =- е)гсозгсз ) О. В том же пйедположении имеет смысл говорить о групповой скорости.
Преобразовав предыдущее неравенство к виду ю йю И вЂ” — =)гон ) О, й о'й легко получить требуемый результат, 9 89. Поглощение света н уширение спектральных линий 1. В классической теории дисперсии поглощение (затухание) излучения учитывается формально с помощью тормозящей силы — йт = — 2тутт в уравнении (84.1). Благодаря этому амплитуда колебаний убывает во времени экспоненпиально по закону ехр ( — у(), а энергия колебаний — по закону (89.1) Ж=е е в«1=Мое "' Физическая природа тормозящей силы †при этом остается нераскрытой. Планк развил теорию дисперсии и поглощения света в предположении, что колеблющийся осциллятор (электрон), двигаясь ускоренно, непрерывно теряет энергию на излучение. Эта убыль энергии на излучение определяется формулой (89.2) (см.
т. 1П; 5 141). Применим эту формулу к осциллятору. Если потеря энергии осциллятора за период колебаний относительно мала, то колебания будут отличаться от гармонических мало. Тогда можно считать, что средние за период колебаний значения кинетической и потенциальной энергий осциллятора одинаковы, а потому среднее значение его полной энергии равно удвоенному среднему значению кинетической энергии. Но полная энергия й' слабо затухающего осциллятора в течение периода колебаний остается почти постоянной, так что Ж Ж. В случае слабо затухающих колебаний и- Е1о з)п(соог+ 6), а = юоп соз(гоо(+6), ВозвеДЯ последнее соотношение в квадрат и усреднив по периоду колебаний, получим (Н') = соо (Е') = соФИТ. МОЛЕКУЛЯРИАЯ ОПТИКА [Гл.
ч[п Усреднив теперь по"времени формулу (89.2), найдем во 2ес[с,' — — — 'в ш зтс~ Стсюда снова получается формула вида (89.1). Таким образом, излучение проявляется так, как если бы на колеблющийся заряд действовала тормозящая сила — 2тут[, причем 1 есв) у= 3 ьи'' (89.3) Затухание, обусловленное излучением, называется естественным затуханием. Время естественного затухания т„,„, в течение которого энергия убывает в е раз, равно 1 З ! З З ГЛ1/Л[ т (89.4) 22 2есс[1 Зисе! Зпс ~ г )(, с)' где г = ес/(тс') = 2,8 10 м см — классический радиус электрона.
Для длины волны Л = 600 нм эта формула дает т„„= 1,63 10 ' с. 2. Затухание делает колебания немонохроматическими. Это приводит к уширению спектральных линий. Ширина спектральной линии, обусловченная затуханием вследствие излучения, называется естественной шириной спектральной линии. Для ее вычисления поле излучения Е = Еь ехр ( — у/) з)п [ь,/ надо разложить в . интеграл Фурье. Квадраты коэффициентов этого разложения определяют относительные спектральные плотности излуш,е/5 чения / ([в), т.
е. распределение энергии в спектральной линии по спектру частот. Результат выражается ранее выведенной О,5 формулой (29.10), которую здесь мы запишем в виде 1 (!с — оЪ) +1Д2т„„)' ' (89.5) заменив прежнее время т на 2т„,, (Прежнее время т определяло заРис. 307. тухание по амплитуде„а здесь через т„„ обозначеноврел[язатухания по энергии.) Форма спектральной линйи приведена на рис. 307 для значения'параметра вы„„= 5, которое, конечно, слишком мало. (В приведенном выше численном примере [вы„,„= 2пст„„/Л ~ ~ 5 10ь,) Время затухания для спектральных линий, излучаемых 4 ю1 поглощвнив сввтл и ушигвнив спахтглльнмх линия 347 газами, в действительности много больше, а сами спектральные линии много уже, чем на кривой рис. 307.
Ширину спектральной линии принято характеризовать расстоянием между точками А и А', расположенными по разные стороны от центра линии, в которых интенсивность света равна половине интенсивности в центре линии. Это расстояние называется полушириной спектра ьной линии. Естественная полуширина спектральной линии, как это следует из формулы (89.5), равна пы = 1!тизл = 27 (89.6) В квантовой физике, где излучение связывают с переходом атома с более высокого энергетического уровня на более низкий (из возбужденного состояния в нормальное), величина т„„ имеет смысл времени жизни возбужденного состояния.
Здесь, как и в классической физике, формула (89.6) является следствием общего соотношения (29.8), согласно которому Ла т„„1. Естественное затухание свечения изолированных атомов и соответствующее ему уширение спектральных линий на опыте исследовалось В. Вином в 1919 — 1927 гг.
В его опытах каналовые лучи, состоявшие из светящихся атомов, проходили через узкое отверстие (0,1 х 3 мм') в простракство, где с помощью мощных насосов поддерживался высокий вакуум (( 0,00! мм рт. ст.). В этом пространстве атомы двигались без столкновений, но их свечение постепенно затухало по мере удаления от входного отверстия. По затуханию свечения можно было оценить время естественного затухания. Для этого надо было знать среднюю скорость движения атомов каналовых лучей. Она измерялась по допплеровскому смещению спектральных линий при наблюдении вдоль направления каналовых лучей и оказалась порядка 5 !О' см!с (для атомов водорода). Из своих опытов Вин нашел для времени затухания т около 10 ' с.
Эта величина несколько менялась от одного вещества к другому и от одной спектральной линии к другой. Полученные результаты совпадали с предсказаниями теории, но только по порядку величины, а простая зависимость (89А) времени затухания от длины волны (т У) не подтвердилась. Впрочем, полного количественного согласия и нельзя было. ожидать от простой классической теории, основанной на модели гармонического осциллятора. 3. Все изложенное относится к излучению изолированного атома.В случае среды, состоящей из атомов, надо принять во внимание, что атом не только теряет энергию на излучение, но и получает энергию, излучаемую другими атомами. Если бы среда была оптически однородна, то, как показал Л. И.
Мандельштам, эти два процесса в точности компенсировали бы друг друга. В отсутствие других причин затухания колебания атома были бы незатухающими. Плоская бегущая волна распространялась бы в среде без ослабления. 548 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ОПТИКА [гл. уп~ Дело меняется при нарушении оптической однородности среды. Однородность может нарушиться либо за счет включения посторонних частиц (например, пыли или капелек тумана в воздухе), либо за счет тепловых флуктуаций, возникающих в среде. В этом случае потеря энергии атомами на излучение при распространении волны будет приводить к ее ослаблению.
Однако это не есть истинное поглощение света с переходом электромагнитной энергии волны в другие формы энергии (тепло), а рассеяние света, где такого превращения нет. Истинное поглощение, когда энергия волны превращается в другие формы (тепло), вызывается другими причинами. Кроме того, ослабление волны, обусловленное излучением, слишком мало по сравнению с тем ослаблением, которое во многих случаях наблюдается в действительности.
4. Одна нз причин поглощения света состоит в том, что атомы, внутри которых происходят колебания, совершая тепловое движение, претерпевают столкновения друг с другом. При каждом столкновении резко и неправильно меняются амплитуды н фазы гармонических колебаний, происходит переход в тепло энергии регулярных колебаний, т.
е. поглощение света. Исходя из этих представлений, Г. А. Лорентц развил теорию уширення спектральных линий, обусловленного столкновениями между атомами (молекулами) газа. Такое уширенне называется ударным уширением. Лорентц показал, что в газах столкновения между молекулами при тепловом движении статистически приводят также к экспоненциальному закону затухания интенсивности волны и к форме спектральных линий такого же вида, что н при естественном затухании. Мы не будем проводить детальные вычисления, как это сделал сам Лорентц. При таких вычислениях надо было бы вводить специальные предположения относительно характера нарушения регулярности амплитуд и фаз колебаний при столкновениях, так что результат оказался бы верным все равно с точностью до численного коэффициента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
