Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 46
Текст из файла (страница 46)
При наличии градиента концентраций в смеси газов происходит процесс самопроизвольного выравнивания концентрацийвеществ – процесс диффузии. Принимая за физическую величину Yотносительную концентрацию первого газа Y = n( x) / n0 , на основании (13.18) получаем уравнение для плотности потока молекул(диффузии) первого газа (уравнение Фика):jn = −1∂nv A ,3∂x(13.19)где коэффициент диффузии1v A.(13.20)3Уравнение Фика описывает так называемый процесс самодиффузии.Учитывая (13.13) и (13.15), получаем зависимость D от температуры и давления:D=D=⎡ 2k1 8 RT1⋅= ⎢ B223 πM2πd n0 ⎣ 3dR ⎤ T 3/ 2. (13.21)⎥⋅π3 M ⎦ p343Гл. 13. Явления переносаТеплопроводность газов. В этом случае переносимой физической величиной Y является энергия теплового движенияY = (i 2) k BT ( x ) .
Учтем, чтоiρ⎛ i ⎞ (n m)k Bn0 = ⎜ R ⎟ 0= CV= CV ρ ,M2⎝ 2 ⎠ ( N Am )где i – число степеней свободы, CV – молярная, а CV – удельнаятеплоемкость газа в изохорическом процессе, ρ – плотность газа,m – масса одной молекулы. Тогда уравнение (13.18) описываетпроцесс теплопроводности (переноса энергии теплового хаотического движения молекул путем соударений):jQ = −1∂T,v ACV ρ∂x3(13.22)и называется уравнением Фурье.Коэффициент пропорциональности в (13.22) при производной∂T ∂x1λ = v ACV ρ(13.23)3называется коэффициентом теплопроводности газа.
Уравнение(13.23) справедливо, если изменение температуры на длине свободного пробега молекул мало.Зависимость коэффициента теплопроводности от давления итемпературы получаем, используя зависимости от р и Т газокинеMp, CV = CV / M ):тических характеристик ( v , A , ρ =RT⎡ 2k B CV ⎤λ=⎢(13.24)⎥ T.⎢⎣ 3d 2 π3 RM ⎥⎦Как следует из (13.24) коэффициент теплопроводности не зависит от давления и плотности газа (закон Максвелла) и растет стемпературой пропорционально T .Вязкость в газах.
Если в газе имеется направленный потокмолекул со скоростью u, зависящей от х: u(x) и молекулы хаотически движутся со скоростью v (T ) , то имеет место перенос импульса Y = mu ( x) в направлении, противоположном grad u ( x) .
В этом344МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИслучае уравнение (13.18) описывает процесс вязкости (переносаимпульса упорядоченного движения молекул):ju = −1∂u∂uили ju = −η ,v Aρ∂x∂x3(13.25)где коэффициент вязкости:1(13.26)v Aρ .3С учетом зависимостей газокинетических характеристик отдавления и температуры (13.13) и (13.15), можно получить зависимость коэффициента вязкости от р и Т имеет следующий вид :η=−⎡ 2kη = ⎢ B2⎣ 3dM ⎤⎥ T .π3 R ⎦(13.27)Коэффициент вязкости жидкостей. Процесс переноса импульса (вязкость) в жидкости осуществляется путем перескока молекулы из трубки тока с большей скоростью в соседнюю трубкутока с меньшей скоростью. При перескоке молекула переносит ссобой и физическое свойство – импульс.
Механизм переноса импульса (и концентрации в процессе диффузии) в жидкостях носитактивационный характер, в отличие от газов, для которых характерен ударный механизм переносов.Согласно эмпирической формуле Бачинского коэффициентсдвиговой вязкости η обратно пропорционален свободному объему:η=B,V — V0(13.28)где V – объем жидкости, V0 – минимальный объем жидкости, который она занимала бы при максимальном сжатии, (V–V0) – свободный объем, В – константа.Коэффициент вязкости жидкости характеризует подвижностьмолекул.
Чем выше вязкость, тем меньше подвижность молекул.При повышении температуры кинетическая энергия движения молекул увеличивается, молекулы с большей вероятностью преодолевают потенциальные барьеры и перескакивают в новое положениеравновесия, в результате чего вязкость всех жидкостей уменьшается с ростом температуры:345Гл. 13.
Явления переноса⎡ E ⎤η = B0 exp ⎢ + a ⎥ ,⎣ k BT ⎦(13.29)где B0 = B ( Nw0 ) – константа в первом приближении, N-число молекул, Ea - энергия активации, w0 - объем молекулы.Таким образом, коэффициент вязкости жидкостей характеризуется экспоненциальной зависимостью от температуры.Вакуум. Состояние газа, при котором длина свободного пробега молекул A сравнима с характерным размером сосуда L, называется вакуумом, причемA < L – низкий вакуум;A ≈ L – средний вакуум;A >> L – высокий вакуум.В условиях среднего и высокого вакуума молекулы газа чащесталкиваются со стенками сосуда, чем друг с другом, и можно считать, что средняя длина свободного пробега сравнима с характерным размером сосуда A ≈ L , то есть перестает зависеть от концентрации.
Для состояния вакуума коэффициент диффузии равен⎡ L 8R ⎤D=⎢⎥ T,⎣ 3 πM ⎦а коэффициент теплопроводности ⎡ LC8M ⎤ p.λ=⎢ V⎥πR ⎦ T⎣ 313.2. Задачи с решениямиЗадача 13.2.1. Большой круг химических реакций может бытьобъяснен на основе столкновений. Скорость химической реакциипропорциональна частоте столкновений. Определите число Zстолкновений, происходящих в 1 см3 за 1 секунду между молекулами идеального газа при температуре Т. Концентрация молекул n,масса m, эффективный диаметр d.РешениеЗа время Δt одна выделенная молекула испытывает Δt/τ столкновений ( τ – время одного столкновения). В 1 см3 находится n мо-346МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИлекул, поэтому число столкновений за время Δt1 ΔtZ Δt = n ⋅ ,2τ1где множительучитывает, что в каждом столкновении участву2ют две молекулы.
Таким образом, число столкновений молекул газа за одну секунду в 1см3Z=πk BT1 n 1 v1 8k BT ⎡.⋅ = n= n2 n πd 2 ⎤ = 2 n 2 d 2⎦πm ⎣m2 τ 2 A2Замечание. Если нас интересует частота столкновений атомовразных веществ А и В, то полученная формула трансформируется вследующую:πk BTZ AB = 2n AnB d 2,mпргде эффективный диаметр рассеяния молекул d = (d A + d B ) / 2 , априведеннаямассаmпропределяетсясоотношением1 mпр = 1 m A + 1 mB .Ответ: Z = 2n 2 d 2 πk BT / m .Задача 13.2.2. Считая газокинетический диаметр молекулы углекислого газа равным d = 3,5 Å, определить среднюю длину свободного пробега этих молекул при температуре 50°С и давлении133,3 Па=1 мм рт.ст.РешениеУчитывая, что n0 = p/(kBТ), для длины свободного пробега(13.11) получаемkBT11, 38 ⋅ 10−23 ⋅ 323A==≈≈2πd 2 n02πd 2 p2π(3, 5 ⋅ 10−10 ) ⋅ 133, 3≈ 6, 2 ⋅ 10−5 м ≈ 1,8 ⋅ 105 d .При нормальных условиях (р = 1 атм=760 мм рт.ст., Т = 0°C)A ≈ 300d = 1050 Å, т.е.
длина свободного пробега молекул углекислого газа в триста раз превышает их диаметр.k BTОтвет: A =≈ 6,2 ⋅ 10−5 м .22 πd p347Гл. 13. Явления переносаЗадача 13.2.3. Коэффициент теплопроводности азота при температуре Т = 0°C равен λ = 0, 0134 Вт/(м ⋅ K) . Оцените размер молекул азота в рамках модели твердых шаров.РешениеВ приближении идеального газаплотность ρ = n0 M / N A ,CR5R=удельная теплоемкость CV = V = i,M2M 2Mгде M = 28 г/моль – молярная масса, i = 5 – число степеней свободы молекулы азота (3 поступательных и 2 вращательных степенисвободы).Подставляя полученные соотношения для плотности и удельной теплоемкости, а также (13.13) и (13.15) в выражение (13.23),для коэффициента теплопроводности получаем:⎞ 5R 5k B1⎛M ⎞ 8RT ⎛1λ = ⎜ n0=⎜⎜⎟⎟23 ⎝ N A ⎠ πM ⎝ 2 πd n0 ⎟⎠ 2 M 3d 2RTπ3 M.(13.30)Из (13.30) определяем эффективный диаметр молекулы азота вмодели твердых сфер:5kRTd2 = B= 9,04 ⋅ 10−20 м 2 ,d ≈ 3 ⋅ 10−10 м = 3 Å.3λ π3MОтвет: d =5k B3λRT3π M≈ 3,0 ⋅ 10−10 м .Задача 13.2.4.
Коэффициент теплопроводности воздуха притемпературеТ0 = 0°Синормальномдавленииравенλ0=0,0244 Вт (м ⋅ К) . Найти температурную зависимость коэффициента теплопроводности и его значение при Т1 = 40°С.РешениеПолагая d = 1Å, оценим длину свободного пробега молекул поформуле (13.15):⎡ k B ⎤ T ⎡ 1,38 ⋅ 10−23 ⎤ 273A=⎢⋅ ≈⎢⋅ 5 ≈ 8,5 ⋅ 10−7 м=0,85мкм .2⎥ p−20 ⎥⎣ 2 πd ⎦⎣⎢ 2π10⎦⎥ 10348МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЕсли размеры сосуда, в котором находится газ, значительнопревосходят длину свободного пробега молекул, то справедливывсе формулы для λ . Полагая в рамках классической теорииCV = const и используя λ ~ T , для коэффициента теплопроводности при 40°С получаем:T313Вт.λ 40 = λ 0 1 = 0, 0244≈ 0, 0263T0273м⋅КОтвет: λ 40 = λ 0T1Вт.≈ 0, 0263T0м⋅КЗадача 13.2.5.
Пространство между двумя очень длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых R1 и R2 (R2 > R1, см.рис. 13.2), заполнено однородным идеальным газом, коэффициенттеплопроводности которого равен λ. Температуры цилиндров поддерживаются постоянными: T(R1) = T1, T(R2) = T2, причем T1 > T2. Вуказанном интервале температур можно пренебречь зависимостьюλ от температуры. Считать, что конвекция отсутствует, а длинасвободного пробега молекул много меньше зазора между цилиндрами.
Найти в пространстве между цилиндрами: T(r), dT/dr, потоктеплоты JQ в расчете на единицу длины цилиндров.Рис. 13.2. Пространство между коаксиальными цилиндрами (радиусы R1 и R2)заполнено идеальным газом. Температуры цилиндров постоянны.РешениеТак как температуры внутреннего и внешнего цилиндров поддерживаются постоянными, в пространстве между ними устанавливается постоянный поток теплоты и постоянное распределениетемпературы, которое в силу симметрии задачи зависит только от r.Стационарный поток теплоты через цилиндрическую поверхностьрадиуса R1 < r < R2 и длины h найдем по закону Фурье (13.22):349Гл. 13. Явления переноса∂T⋅ 2πrh = const .∂rJ Q = jQ Σ = −λИнтегрируя, имеем (при h = 1):JQ−λ 2πT =ln r + A1 .(13.31)hИспользуя два граничных условия для температуры T(R1) = T1и T(R2) = T2, вычисляем значение константы интегрированияA1 = 2πλи величину потока теплоты J QT2 ln R1 − T1 ln R2ln( R2 / R1 )h , приходящегося на единицу дли-ны цилиндров:JQh=2πλ(T1 − T2 ) .ln( R2 / R1 )(13.32)По форме уравнение (13.32) аналогично закону Ома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
