Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Молекулярнаяфизика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.11.6.Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие порешению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московскогоуниверситета, 1974, раздел VIII.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань,2005, 2.6.337Гл. 13.
Явления переносаГлава 13ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА13.1. Теоретический материалТермодинамический поток – поток вещества, энергии, импульса, заряда и т.п., связанный с их переносом из одной части среды,находящейся в неравновесном состоянии, в другую до установления равновесного состояния. При наличии в среде различной концентрации какой-либо примеси возникают диффузионные потоки,в случае разной температуры – тепловые потоки, при различнойскорости течения - поток импульса (или количества движения).Плотность потока j – количество физической величины Y, переносимое за одну секунду через площадку единичной площади,перпендикулярную направлению n потока. Физической величинойY может быть импульс, энергия, концентрация, заряд и др.Полный поток величины Y, переносимой через поверхностьплощадью Σ за единицу времени:J = ∫ ( j ⋅ nd Σ ) = ∫ jn d Σ ,Σ(13.1)Σгде jn – нормальная к площадке составляющая плотности потока j,ndΣ – вектор, направленный по нормали n к элементу поверхностии по величине численно равный площади dΣ этого элемента поверхности.Причина возникновения термодинамического потока – наличиеградиента gradY физической величины Y:gradY =∂Y∂Y∂Yex +ey +ez .∂x∂y∂z(13.2)Если термодинамическая система находится в состоянии,близком к равновесному, то плотность потока пропорциональнаградиенту физической величины Y:j = −ζ ⋅ gradY ,(13.3)где ζ – коэффициент переноса величины Y.
Знак минус означает,что плотность потока j направлена противоположно градиенту Y,то есть в сторону максимального уменьшения значения Y.338МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИМеханизм переноса вещества, энергии, импульса и т.п. обусловлен тепловым хаотическим движением микрочастиц среды изависит от его агрегатного состояния.Стационарные процессы переноса. Процессы переноса, происходящие в веществе, в каждой точке которого термодинамические параметры состояния не зависят от времени, называются стационарными.Теплопроводность – перенос теплоты (энергии теплового движения микрочастиц) от более нагретых тел (или частей одного тела) к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры.Он осуществляется путем непосредственной передачи энергии отчастиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, к частицам с меньшей энергией.В установившемся процессе плотность потока тепла jQ пропорциональна градиенту температуры:jQ = −λ ⋅ grad T ,(13.4)где λ – коэффициент теплопроводности вещества (иногда называют просто теплопроводностью).
Минус в правой части (13.4) показывает, что тепловой поток направлен противоположно векторуgradT , т.е. в сторону убывания температуры. Выражение (13.4)описывает закон теплопроводности Фурье.Конвекция – перенос массы в результате макроскопическогоперемещения (перемешивания), происходящий благодаря наличиюполя силы тяжести или механического воздействия.Излучение – генерация нагретыми телами электромагнитныхволн, обладающих энергией и импульсом. Распространение электромагнитных волн от нагретого тела сопровождается потокомэнергии.Вязкость – это процесс переноса импульса в направлении, перпендикулярном упорядоченному, направленному течению жидкости (или газа). Это явление переноса называется сдвиговой вязкостью и сопровождается диссипацией энергии при сдвиговой деформации среды.Наличие градиента скорости молекул в различных слоях вызывает процесс переноса импульса (вязкость) в направлении, противоположном grad u. Плотность потока импульса ju пропорциональна градиенту скорости:339Гл.
13. Явления переносаju = −η ⋅ grad u (уравнение стационарной вязкости),(13.5)где u – скорость движения слоев жидкости.Коэффициент пропорциональности η называется коэффициентом вязкости.Поскольку поток импульса равен J u = ∂ (mu ) / ∂t , то для силывязкого трения получаем:∂u(13.6)f тр = η Σ ,∂xгде Σ – площадь поверхности, на которую действует сила вязкоготрения. Градиент скорости du / dx равен деленной на время dt относительной деформации сдвига слоя толщиной dxdε =u x + dx ⋅ dt − u x ⋅ dt ∂u=⋅ dt .dx∂xУравнение (13.6) получено Ньютоном – уравнение Ньютона.Жидкости, коэффициент вязкости η которых не зависит отградиента скорости ∂u / ∂x , называются ньютоновскими жидкостями, подчиняющимися уравнению Ньютона (13.6).
Жидкости, неподчиняющиеся уравнению Ньютона, называются неньютоновскими жидкостями (растворы полимеров, кровь и другие жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул).Диффузия. При наличии градиента концентрации grad n некоторого вещества в среде происходит процесс самопроизвольноговыравнивания концентрации вещества по объему среды – процессдиффузии.
Уравнение для плотности потока молекул (диффузии)этого вещества:jD = − D ⋅ grad n ,(13.7)где D – коэффициент диффузии.В одномерном случаеjD = − D∂n.∂x(13.8)Кинетические характеристики процессов переноса в газах.А. Поперечное сечение σν рассеяния. Рассеяние молекулы – этовзаимодействие молекулы с другими молекулами (или стенкой сосуда), при котором данная молекула выбывает из направленногопотока j.
Рассмотрим модель идеального газа, в которой все молекулы представляются в виде абсолютно жестких шариков (модель340МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИтвердых шаров). Рассеянием является абсолютно упругое столкновение таких молекул.Предположим сначала, что движется только одна выделенная молекула (1 на рис. 13.1), а все молекулымишени, с которыми она может столкнуться, неподвижны. Столкновение смолекулой-мишенью возможно, еслицентр летящей молекулы попадает вкруг (заштрихован на рис.
13.1), радиускоторого равен диаметру d молекулы. В Рис. 13.1. Молекула 1 двирассматриваемой модели этот круг и жется, все остальные молепредставляет собой сечение рассеяния, кулы неподвижны. Все молекулы изображены вместеплощадь которого συ = πd 2 , а d назы- с эффективными сечениямивается эффективным радиусом столк- рассеяния (заштрихованныекруги).новения молекулы.Если учесть, что в реальном газе движутся все молекулы,включая и молекулы-мишени, со скоростями, описываемыми распределением Максвелла, то сечение рассеяния в 2 раза больше.Таким образом, в модели твердых шаров площадь σ υ поперечногосечения рассеяния определяется формулой:συ = 2πd 2 .(13.9)Площадь поперечного сечения συ (и эффективный диаметрмолекул) определяется вероятностью dP столкновения летящейчастицы с частицей-мишенью в слое, имеющем толщину dx:dP = συ n0 dx ,(13.10)где n0 – концентрация частиц - мишеней.Вообще говоря, эффективный диаметр молекул зависит оттемпературы.
Эта зависимость может быть описана полуэмпирической формулой Сезерленда:ϕ0dT = d∞ 1 +,RTгде dT и d∞ – диаметры молекул при температуре Т и при Т→∞,[1 + ϕ0 / ( RT )]1 2– поправочный множитель, учитывающий взаимодействие молекул.341Гл. 13. Явления переносаБ. Средняя длина свободного пробега A – это расстояние,при прохождении которого столкновение произойдет с вероятностью, равной единице.
Из (13.10) с учетом (13.9) имеем:A=11=,συ n02πd 2 n0(13.11)где d – эффективный диаметр молекулы.В. Среднее время свободного пробега – среднее время междудвумя последовательными актами рассеяниями молекулы:τ=A1=,v2πd 2 n0 v(13.12)где средняя скорость молекул (по распределению Максвелла) равнаv =8RT.πM(13.13)Г.
Средняя частота столкновений (актов рассеяния) длямолекулы1ϖ = = 2πd 2 n0 v .(13.14)τВ табл. 13.1 газокинетические параметры A , τ и ϖ газовпредставлены как функции температуры и давления.Таблица 13.1.Зависимость газокинетических характеристик газовот температуры и давленияСредняя скорость хаотического (теплового) движенияСредняя длина свободного пробегаСреднее время свободного пробегаСредняя частота столкновений8R⋅ TπM⎡ kB ⎤ T⋅A=⎢2⎥⎣ 2 πd ⎦ pv =(13.15)⎡ k m ⎤ T(13.16)τ = ⎢ B 2 ⎥⋅⎢⎣ 4 πd ⎥⎦ p⎡ 4 πd 2 ⎤ p(13.17)ϖ =⎢⎥⋅⎣⎢ k Bm ⎦⎥ T342МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИСтационарные процессы переноса в газах. Общее уравнение.
Рассмотрим безграничный объем, заполненный идеальнымгазом со средней концентрацией молекул n0. Средняя скорость молекул газа – v , средняя длина свободного пробега молекул – A .Поток физической величины Y характеризуется его плотностью:1∂Y.(13.18)jY = − v n0 A3∂xВид уравнения (13.18) для различных процессов переноса приводится ниже.Диффузия в газах. Пусть имеется смесь газов с общей концентрацией молекул n0 = n( x) + n′( x) , где n(х) – концентрация первого газа, а n′( x) – концентрация второго газа в точке с координатой х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
