Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Используя (13.56), получаемNk =JVπRk2 uk⎛R ⎞=⎜ A ⎟⎝ Rk ⎠2uAuk2⎛ 13 ⎞ 20≈⎜≈⎟⎝ 5 ⋅ 10−3 ⎠ 0, 03≈ 4, 5 ⋅ 109 = 4, 5 млрд .*При различных патологиях значения вязкости крови могут изменяться от1,7 ⋅ 10−3 до 22,9 ⋅ 10−3 Па ⋅ с .365Гл. 13. Явления переносаОтвет:⎛R ⎞Nk = ⎜ A ⎟⎝ Rk ⎠2JV = πRA2 u A = 106 см3 / c ,uAukΔp 8η u A=≈ 47 Па/м ,hRA2≈ 4, 5 ⋅ 109 .Задача 13.2.12. Средний размер частичек пыли в воздухе изменяется от 0,2 мкм до 5 мкм. Полагая, что частицы пыли имеютплотность ρ = 2, 5 г / см3 , а их форма – сферическая с радиусомR ≈ 1 мкм , оцените время оседания пыли в комнате высотой 3 м.Считать, что воздух неподвижен.
Броуновское движение пылинок ввоздухе не учитывать. Коэффициент вязкости воздухаη = 1, 7 ⋅ 10−5 Па ⋅ с . Плотность воздуха ρc = 1, 3кг / м3 .РешениеНа падающий в вязкой среде шарик (рис. 13.9) действуют силатяжести mg , сила Архимеда f A = 4 / 3πR3ρc g и сила сопротивления, равная, по закону Стоксаf тр = 6πRηu ,(13.57)где u – скорость движения шарика.Уравнение движения шарика:mx = mg − f A − f тр .Под действием силы тяжести скоростьшарика растет и одновременно появляетсявозрастающая со скоростью сила трения(13.57). Через некоторое время ускорениешарика становится равным нулю ( x = 0 ), адвижение – равномерным:0 = mg − f A − f три уравнение движения принимает вид:Рис.13.9. Падение шарикав вязкой среде.0 = 4 / 3πR 3 g (ρ − ρc ) − 6πRηu .Отсюда находим скорость u установившегося движения шарика:366МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИu=2 R 2 g (ρ − ρc )≈9η≈2 ⋅ 10−12 ⋅ 10(2, 5 ⋅ 103 − 1, 3)−5≈ 3, 3 ⋅ 10−4 м / c .9 ⋅ 1, 7 ⋅ 10Оценим время падения шарика с высоты Н = 3м:H9H ητ==≈ 9 ⋅ 103 c ≈ 2, 5 час .2u у 2 R g (ρ − ρ c )Для пылинок, имеющих диаметр 0,2 мкм, u ≈ 3,3 ⋅ 10−6 м / c , аτ ≈ 250 час ≈ 10,5 суток .Замечание.
Экспериментальный метод определения коэффициента вязкости по измерению времени, в течение которого приустановившемся движении и ламинарном обтекании тело проходитопределенное расстояние, называется методом Стокса.9H ηОтвет: τ =≈ 9 ⋅ 103 c ≈ 2, 5 час .22 R g (ρ − ρc )Задача 13.2.13. Два сосуда одинакового объема V соединеныдлинной трубкой с краном (рис. 13.10). Длина трубки h, площадьпоперечного сечения мала и равна Σ. В первом сосуде находитсясмесь газов а и b с концентрациями na′ 0 и nb′ 0 , соответственно. Вовтором сосуде только газ b.
Давления и температуры в обоих сосудах одинаковы. Коэффициенты взаимной диффузии газов одинаковы и равны D. Определить изменение со временем концентрациигаза а в первом сосуде na′ (t ) после открытия крана и время установления концентрации молекул в обоих сосудах (время релаксации) τ.Рис.
13.10. Два сосуда одинакового объема соединены трубкой (длиной h и сечением Σ). Один сосуд заполнен разными газами а и b, второй – газом b.367Гл. 13. Явления переносаРешениеПосле открытия крана давление остается неизменным и происходит процесс взаимной диффузии газов. Благодаря тому, чтотрубка, соединяющая сосуды, имеет большую длину и малое сечение, нестационарный процесс взаимной диффузии газов можносчитать равновесным.Поток молекул газа а из первого сосуда во второй описываетсяуравнением диффузии:J a = − D ⋅ grad na ⋅ Σ .(13.58)Поток J a равен взятой с обратным знаком скорости изменениячисла молекул dN a′ / dt в первом сосуде:Ja = −∂N a′∂n′= −V a .∂t∂t(13.59)Будем обозначать концентрации газов во втором сосуде двумяштрихами.
Градиент концентрации молекул а, в первом приближении, можно считать постоянным и равнымgrad na =na′′ − na′ [ na′ 0 − na′ ] − na′ 2 ⎛ 1⎞== ⎜ na′ 0 − na′ ⎟ . (13.60)hhh⎝2⎠С учетом (13.58) и (13.60) уравнение (13.59) принимает вид:∂na′2 DΣ ⎛1⎞=−⎜ na′ − na′ 0 ⎟ .∂t2Vh ⎝⎠(13.61)Решая уравнение (13.61) вводя переменную ξ = na′ − na′ 0 / 2 , получаем:ξ(t )tln=− ,ξ(0)τгдеVhτ=.(13.62)2 DΣОкончательно получаем:ξ(t ) = ξ(0)e−t / τ ,или368МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ1na′ = na′ 0 ⎡1 + e−t / τ ⎤ .⎣⎦2На рис. 13.11 представлена зависимость концентрации газа a впервом сосуде от времени.Рис.13.11.
Зависимость концентрации газа а в первом сосуде от времени.Переменная ξ(t ) = na′ − na′ 0 2 характеризует отклонение концентрации молекул газа а от равновесного состояния, при которомконцентрация молекул а устанавливается одинаковой в обоих соn′Vh– время релаксациисудах и равной a 0 . Таким образом, τ =22 DΣдля данного процесса диффузии. Поскольку коэффициент диффузии прямо пропорционален средней скорости теплового движенияи средней длине свободного пробега, то время релаксации возрастает с ростом давления и уменьшается с ростом температуры. Кроме того, время релаксации зависит от геометрических размеровсистемы и растет с увеличением объемов сосудов V, длины трубкиh и при уменьшении площади Σ сечения трубки.1VhОтвет: na′ = na′ 0 ⎡1 + e−t / τ ⎤ , τ =.⎣⎦2 DΣ2Задача 13.2.14.
Все пространство заполнено однородным веществом, имеющим плотность ρ , удельную теплоемкость CV икоэффициент теплопроводности λ (рис. 13.12). В направлении оси хтемпература вещества уменьшается, благодаря чему возникает поток теплоты в этом направлении. Получите уравнение, определяющее скорость изменения температуры в точке среды с координатой х.369Гл. 13.
Явления переносаРешениеРассмотрим небольшой объем вблизи точки с координатой х в виде цилиндра, имеющего длину Δ и площадь сечения Σ. В выделенный объем входит потоктеплотыδQ∂TJ + = + = −Σ ⋅ λ,Рис.13.12. Температура вещеdt∂x x −Δ / 2ства, занимающего безграа выходит потокничное пространство, уменьшаетсявдоль оси x.δQ∂TJ − = − = −Σ ⋅ λ.dt∂x x +Δ / 2За время dt выделенный объем вещества получает теплотуδQ+ − δQ− = ( J + − J − ) dt =⎡ ∂T= Σλ ⎢⎣ ∂x−x +Δ /2∂T∂x⎡ ∂ 2T ⎤⎤⎥ dt = Σλ ⎢ 2 Δ ⎥ dt ,⎢⎣ ∂x⎥⎦x −Δ /2 ⎦которая идет на нагревание вещества. В соответствии с определеδQ, изменение температуры dT за времянием теплоемкости CV =mdTdt составляет⎛ ∂ 2T ⎞Σλ ⎜ 2 ⎟ Δdt⎜ ∂x ⎟δQ − δQ−λ ∂ 2T⎝⎠==dT = +dt .CV ρ(Σ ⋅ Δ)CV ρ(Σ ⋅ Δ )CV ρ ∂x 2Отсюда для скорости изменения температуры получаем:∂Tλ ∂ 2T.(13.63)=∂t CV ρ ∂x 2Уравнение (13.63) описывает нестационарную теплопроводность.
КоэффициентλλT =(13.64)CV ρв уравнении (13.63) называется коэффициентом температуропроводности. Он характеризует теплоинерционные свойства вещества.Ответ:∂Tλ ∂ 2T.=∂t CV ρ ∂x 2370МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЗадача 13.2.18. Температура на плоской поверхности х = 0 однородного вещества, занимающего полупространство x ≥ 0(рис. 13.13), меняется со временем по законуT ( x = 0) = T0 + a cos ωt .Найти распределение температурыТ(х,t) в правом полупространстве, считая, что коэффициент температуропроводности λТ = const .РешениеБудем считать, что измененияРис.13.13.
Однородное веществоначались достаточнозанимает полупространство x>0. температурыдавноивлияниемначальных условийНа плоской поверхности х=0температура изменяется по за- можно пренебречь, как в задаче об ускону T (0) = T0 + a cos ωt .тановившихся вынужденных колебаниях.Решение уравнения температуропроводности (13.63)∂T∂ 2T(13.65)= λT 2∂t∂x(с учетом возможного затухания) удобно искать в комплекснойформе:T = Aeαx +βt + B ,(13.66)где α и β – комплексные числа.
При этом T = Re T .Граничное условие при х = 0 теперь запишется в видеT0 + aeiωt = Aeβt + B .(13.67)Из (13.67) имеем:B = T0, А = аиβ = iω.(13.68)Подставляя (13.66) в (13.65) с учетом (13.68) , получаемα 2 = β / λT .(13.69)Из (13.69) следует:α = ± β / λT = ± ω / λ T ⋅ i = ± ω / λ T ⋅1+ i.2Поскольку с ростом координаты х температура не может возрастать (иначе возник бы противоток теплоты), то физическим условиям задачи соответствует лишь371Гл. 13. Явления переносаα=−ω⋅ (1 + i ) .2λ TОкончательно распределение температуры принимает вид⎛⎞ωT ( x, t ) = Re T = T0 + a Re exp ⎜ −(1 + i ) x + iωt ⎟ =⎝ 2λ T⎠− x ω/(2 λ )T= T0 + aex ω / (2λT ) ) .
(13.70) cos(ωt − амплитудафазаРаспределение (13.70) имеетдве характерные особенности:1) амплитуда возмущениятемпературы убывает с расстоянием от поверхности раздела поэкспоненте;2) фаза колебаний с глубинойвсе более отстает от фазы колебаний на поверхности.Глубина проникновения δТтемпературных колебаний на поверхности – это расстояние х, прикотором амплитуда колебанийубывает в е раз:δT = 2λT / ω .Глубина проникновения возрастает с увеличением коэффициентатемпературопроводностивещества и уменьшается с ростомчастоты температурных колебаний на поверхности.На рис. 13.14. представленызависимости температуры вдольxдля разных промеоси x отδTжутков времени, отличающихсяна Δt = π / (4ω) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
