Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 44
Текст из файла (страница 44)
12. Фазовые переходыЗадача 12.2.15. Определить изменение энтропии системы, состоящей из воды и насыщенного пара, при переходе всей массыводы в насыщенный пар. Начальная температура системы Т1, конечная Т2. Начальная масса пара m1, конечная – m2. Считать постоянными удельную теплоемкость пара C p и удельную теплоту фа-зового перехода Lж-п . Пар рассматривать как идеальный газ.РешениеПоскольку энтропия − функция состояния и ее изменение не зависит от путипроцесса, то переход системы из состояния1 (рис.
12.7) в состояние 3 (по условию задачи пар остается насыщенным при температуре Т2) можно представить состоящимиз двух этапов.I этап – полное испарение воды приначальной температуре Т1 (процесс 1→2).II этап – нагревание пара до темпера- Рис.12.7. Процесс переходажидкости, находящейся втуры Т2 на границе области двухфазных равновесии с паром (сосостояний на р–V диаграмме (процесс стояние 1 при температуреТ1), в насыщенный пар при2→3).температуре Т2 > Т1.Изменение энтропии на I этапе связанос получением извне теплоты парообразования:δQΔm ⋅ Lж-п(m − m1 ) Lж-пΔS I = 2и.dS I = I =T1T1T1Теплота, получаемая паром на II этапе, может быть связана степлоемкостью пара в этом процессе, которая была рассчитана взадаче 12.2.7 (см. формулу 12.40):m CdT m2 dT ⎡Lж-п ⎤δQ=dS II = II = 2⎢C p −⎥TTT ⎣T ⎦иΔS II = ∫ dS =T2∫T1m2 dTT⎡Lж-п ⎤⎢C p −⎥=T ⎦⎣⎡⎛ 1T1 ⎞⎤= m2 ⎢C p ln 2 + Lж-п ⎜ − ⎟ ⎥ .T1⎢⎣⎝ T2 T1 ⎠ ⎥⎦330МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИПолное изменение энтропии системы равно⎡mm ⎤TΔS = ΔS I + ΔS II = Lж-п ⎢ 2 − 1 ⎥ + m2C p ln 2 .T1⎣ T2 T1 ⎦⎛m⎛T ⎞m ⎞Ответ: ΔS = Lж-п ⎜ 2 − 1 ⎟ + m2 C p ln ⎜ 2 ⎟ .⎝ T2 T1 ⎠⎝ T1 ⎠Задача 12.2.16.
Найдите связь между ΔC p , Δ ( ∂V ∂T ) p иΔ ( ∂V ∂p )T для фазовых переходов II рода.РешениеПри фазовых переходах II рода первые частные производныеот потенциала Гиббса изменяются непрерывно:⎛ ∂G1 ⎞⎛ ∂G ⎞⎛ ∂G ⎞ΔS = Δ ⎜−⎜ 2 ⎟ =0,⎟ ≡⎜⎟⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂T ⎠ p(12.47)⎛ ∂G ⎞⎛ ∂G2 ⎞⎛ ∂G1 ⎞ΔV = Δ ⎜⎟ ≡⎜⎟ −⎜⎟ =0.⎝ ∂p ⎠T ⎝ ∂p ⎠T ⎝ ∂p ⎠T(12.48)Скачкообразное изменение испытывают вторые частные производные от потенциала Гиббса:⎛ ∂ 2 G2 ⎞⎛ ∂ 2 G1 ⎞⎛ ∂2G ⎞−≡Δ⎜⎟⎜⎟⎜⎜ 2 ⎟⎟ =⎜ ∂T 2 ⎟⎜ ∂T 2 ⎟⎝ ∂T ⎠ p⎝⎠p ⎝⎠p1⎛ ∂S ⎞= Δ⎜⎟ = − C p 2 − C p1 ,T⎝ ∂T ⎠ p(⎛ ∂ 2 G2⎜⎜ ∂p 2⎝)(12.49)⎞⎛ ∂2G ⎞⎛ ∂2G ⎞⎟ − ⎜ 21 ⎟ ≡ Δ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ =⎟⎜⎟⎝ ∂p ⎠T⎠T ⎝ ∂p ⎠T⎛ ∂V ⎞= Δ⎜⎟ = −V ΔχT ,⎝ ∂p ⎠T(12.50)⎛ ∂ 2 G2 ⎞⎛ ∂ 2 G1 ⎞⎛ ∂ 2G ⎞⎛ ∂V ⎞= Δ⎜⎜⎟ −⎜⎟ ≡ Δ ⎜⎜⎟⎟ = V Δα p .
(12.51)⎟⎜ ∂T ∂p ⎟⎜⎟⎝ ∂T ⎠ p⎝ ∂T ∂p ⎠ p⎝⎠ p ⎝ ∂T ∂p ⎠ pЗаписывая дифференциалы уравнений (12.47) и (12.48), получаем:331Гл. 12. Фазовые переходыΔΔ∂ 2G∂T 2dT + Δ∂ 2Gdp = 0 ,∂T ∂p∂ 2G∂ 2GdT + Δ 2 dp = 0 .∂p∂T∂pУчитывая (12.49)–(12.52), имеем систему уравнений:−ΔC p⎛ ∂V ⎞dT + Δ ⎜⎟ dp = 0 ,T⎝ ∂T ⎠ p(12.52)⎛ ∂V ⎞⎛ ∂V ⎞(12.53)Δ⎜⎟ dp = 0 ,⎟ dT + Δ ⎜⎝ ∂T ⎠ p⎝ ∂p ⎠TУравнения (12.52) и (12.51) можно записать в виде, аналогичном виду уравнения Клапейрона – Клаузиуса для фазовых переходов I рода:ΔC pdp=.(12.54)dT T V2 α p 2 − V1α p1()Решая систему (12.52) и (12.53), получаем уравнение, выведенное Эренфестом:2⎡ ⎛ ∂V ⎞ ⎤⎛ ∂V ⎞ΔC p ⋅ Δ ⎜⎟ + T ⎢Δ ⎜⎟ ⎥ = 0.⎝ ∂p ⎠T⎢⎣ ⎝ ∂T ⎠ p ⎥⎦(12.55)2⎡ ⎛ ∂V ⎞ ⎤⎛ ∂V ⎞Ответ: ΔC p Δ ⎜⎟ + T ⎢Δ ⎜⎟ ⎥ =0.⎝ ∂p ⎠T⎢⎣ ⎝ ∂T ⎠ p ⎥⎦12.3.Задачи для самостоятельного решенияЗадача 12.3.1. При атмосферном давлении температура плавскрытаятеплотаплавлениялениянафталина80,1 °С,L = 19,07 кДж моль ,изменениеегомолярногообъемаΔV = 18,7 см3 моль .
Оцените, на сколько изменится температураплавления нафталина при изменении давления на ∆р =1 атм.332МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: ΔT ≈T ΔV353,1 ⋅ 18, 7 ⋅ 10−6Δp =⋅ 105 ≈ 0, 03 D C .3L19, 07 ⋅ 10Задача 12.3.2. Вычислить удельную скрытую теплоту парообразования ртути, если при давлении 10 5 Па она кипит при 356,7 °С.Использовать значение ( dp dT ) ж-п = 1,84 ⋅ 103 Па/K . Молярная мас-са ртути M = 200, 6 г/моль .Ответ: Lж-п =RT 2 ⎛ dp ⎞≈ 300 кДж/кг .⎜⎟Mp ⎝ dT ⎠ ж-пЗадача 12.3.3.
Оцените давление насыщенных паров воды прикомнатной температуре, полагая теплоту испарения в интервалетемператур 0–100ºС постоянной и равной L = 42,7 кДж/моль.⎡ L⎛ 11 ⎞⎤Ответ: p1 = p2 exp ⎢ − ⎜ − ⎟ ⎥ ≈⎣⎢ R ⎝ T1 T2 ⎠ ⎦⎥⎡ 42, 7 ⋅ 103 ⎛ 11 ⎞⎤≈ 105 exp ⎢ −−⎜⎟ ⎥ ≈ 640 Па .8, 31 ⎝ 273 373 ⎠ ⎥⎦⎢⎣Задача 12.3.4. Определите зависимость скорости измененияобъема насыщенного пара с ростом давления ( dV dp ) ж-п как функ-цию давления и объема. Изменение давления происходит вдали откритической точки, и пар все время остается насыщенным.⎛ dV ⎞V2VОтвет: ⎜=− , где Lж-п и V – молярные значе⎟⎝ dp ⎠ ж-п Lж-п pния теплоты парообразования и объема.Задача 12.3.5. В каком случае изменение энтропии моля водыбольше: при испарении при 100 °С или при плавлении льда при0 °С? Давление в обоих случаях атмосферное, Lкип = 2257 кДж/кг ,Lпл = 335 кДж/кг .LОтвет: ΔSкип = кип = 6, 04 Дж/(г ⋅ К) = 108, 7 Дж/(моль ⋅ К) ,T333Гл.
12. Фазовые переходыΔSпл =Lпл= 1, 22 Дж/(г ⋅ К) = 22, 0 Дж/(моль ⋅ К) .TЗадача 12.3.6. При атмосферном давлении в теплоизолированном сосуде к m1 = 200 г воды, имеющей температуру Т1 = 363 K,добавляют m2 = 100 г льда, имеющего температуру 273 K. Определите изменение энтропии системы. Теплоемкость водыC p = 75,5Дж/(моль ⋅ К) ,теплотаплавленияльдаΔН пл = 6,009кДж/моль .Ответ: Установившаяся температураCp (T1m1 + T2 m2 ) − m2 ΔH плT0 =≈ 306, 5 K ,Cp ( m1 + m2 )изменение энтропииTTm ΔH плmmΔS = 2+ Cp 1 ln 0 + Cp 2 ln 0 ≈ 33,3кДж / К .M T2M T1M T2Задача 12.3.7.
В закрытом теплоизолированном котле приТ1 = 283 K находится вода в парообразном и жидком состоянии.Общая масса воды m = 1 кг, объем котла V = 15 литров. Какое количество теплоты следует подвести, чтобы нагреть содержимоекотла до Т2 = 483 K? Параметры воды при температурах Т1 и Т2представлены в табл.
12.1. Водяной пар считать идеальным газом.Таблица 12.1.Параметры воды при температурах Т1 и Т2Т, KУдельнаятеплотапарообразования,кДж/кгДавлениенасыщенныхпаров, кПаУдельный объем,м3/кгв состояниижидкомпара283L1 = 2 472,9р1 = 1,271,00⋅10–3106,4483L2 = 1937, 4р2 = 16071,16⋅10–30,127Указание: представьте нагревание в виде последовательностичетырех процессов:1) изотермическое (Т1) сжатие пара до полного его ожижения;2) изотермическое (Т1) сжатие жидкой воды от давления р1 до334МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИдавления р2 (среднее значение коэффициента теплового расшире-ния α = 2 ⋅ 10−4 K −1 );3) нагревание воды при постоянном давлении р2 от температурыТ1дотемпературыТ2(теплоемкостьводыC p = 4,18 ⋅ 103 Дж/(кг ⋅ K) );4) изотермическое (Т2) испарение части воды.Ответ: ∆Q = 852,3 кДж.Задача 12.3.8.
Значения давления насыщенных паров ртутидля различных температур представлены в табл. 12.2.Таблица 12.2Значения давления паров ртути для различных температур1234T, K323333573583p, Па1,693,373290040630Используя для паров модель идеального газа, вычислите теплоту парообразования L в интервалах323 K ÷ 333 K и573 K ÷ 583 K , полагая L неизменным внутри каждого интервалатемператур. Зависимость L(T ) внутри интервалов Т считать линейной. Определите зависимость L(T ) и зависимость pнп (T ) приданных предположениях.
Считать, что удельный объем жидкостипренебрежимо мал по сравнению с объемом пара.Ответ: L1 =L2 =T1T2 ln p2 / p1R ≈ 62 кДж/моль ,T2 − T1T3T4 ln p4 / p3R ≈ 59 кДж/моль ,T4 − T3L(T ) [ Дж/моль ] =L1 T2 − L2 T1T2 − T1−L1 − L2T≈T2 − T1≈ 65940 − 12 ⋅ T [ K ] ,335Гл. 12. Фазовые переходыp(T ) [ Па ] ≈1,5⎡ T1 ⎤≈ p1 ⎢⎥⎣ T ⎦⎡ ⎡ L1 T2 − L2 T1exp ⎢ ⎣⎢⎣ R ⎣⎡ T2 − T1 ⎦⎤⎤⎦ ⎛ 11 ⎞⎤− ⎟⎥ =⎜⎜T ⎠⎟ ⎥⎦⎝ T11,5⎡⎛ 11 ⎞⎤⎡ 328 ⎤= 2, 53 ⎢−exp ⎢7935 ⎜⎟⎟ ⎥ .⎥⎜⎣ T ⎦⎝ 328 T [ К ] ⎠ ⎦⎥⎣⎢На рис.12.8 представлены зависимости L(T) (а) и p(T) (б).Рис. 12.8. Зависимости L(T) (а) и p(T) (б) для модели идеального газаЗадача 12.3.9.
Экспериментальные значения давления насыщенных паров метана СН4 в зависимости от температуры представлены в таблице 12.3. Определите температуру кипения и энтальпию испарения метана при атмосферном давлении. Молярныеобъемы жидкого и газообразного метана в этой точке кипенияVm ж = 3,8 ⋅ 10−2 л / моль , Vm газ = 8,89 л / моль .336МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИТаблица 12.3Экспериментальные значения давления насыщенных паров метанаСН4 для различных температурТ,KР , кПа100341087411088Ответ: Tкип ≈ 112 K при pатм ,112104114122120192dp= 8, 5 кПа / К ,dTΔH исп = 8, 4 кДж / моль .Литература1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика.
М: Высшая школа,1981, §§30, 38, 41.2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.СПб: Лань, 2007, гл.V.3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика имолекулярная физика. М: Наука. 1990, гл.X.4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.148-156.5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
