Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом (рис. 13.6). Высота внутреннегоцилиндра h = 20 см, его радиус R1 = 4 см, высота внешнего цилиндра h2 >> h1 и радиус R2 = 4,1 см. Внешний цилиндр вращается с угловой скоростью ω0 = 30 рад/c . Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему прикладывается момент механических сил, равный М0 = 2,22·10–5 Н·м. Пренебрегая краевымиэффектами, определить коэффициент внутреннего трения водородаи найти распределение скорости упорядоченного движения молекул газа в пространстве между цилиндрами в зависимости от расстояния до оси цилиндров.
Этот метод определения коэффициентавязкости называется ротационным. Ротационный метод использу-357Гл. 13. Явления переносается для определения вязкости жидкостей, смазочных масел, высоковязких лаков, клеев и т.п.РешениеСила внутреннего трения, которая вовлекает во вращение концентрические слои газа, связана с различием угловых скоростей соседнихслоев, то есть с зависимостью ω(r ) .При отсутствии вязкого трения угловые скорости всех слоев газа были быравны нулю, а различались бы тольколинейные скорости u (r ) = ωr .Рис.
13.6. Пространство междуРассмотрим поперечное сечение двумя коаксиальными цилиндрамицилиндров и движение слоев, от- заполнено водородом (вид сверху,стоящих друг от друга на расстояние со стороны торцов цилиндров).Δr (рис. 13.6). За время Δt частицы всоседних слоях 1 и 2 проходят по дугам расстояния Δs1 = r ω(r )Δt иΔs2 = (ω + Δω)(r + Δr )Δt соответственно. Относительное смещениечастиц равно (см. рис. 13.6):Δsотн ≡ Δs ''2 = Δs2 − Δs '2 == [ (ω + Δω)(r + Δr ) − ω(r + Δr )] Δt ≈ r ΔωΔt .Таким образом, с изменением радиуса слоя газа (радиальныйградиент скорости) изменение относительной скорости имеет вид∂sотн / ∂t ∂uотн∂ω==r.∂r∂r∂rГрадиент относительной скорости приводит к появлению потока импульса (13.5), который определяет силу f вязкого трения вжидкости (формула Ньютона) (13.6):f = J mu = j ⋅ Σ = −η∂uотн∂ωΣ = −ηr(2πrh) .∂r∂r(13.43)Условие стационарности вращения слоя жидкости можно записать в следующем виде:M (r ) = M (r + dr ) = const ,358МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИили, используя (13.43):∂ω(2πrh) = const .(13.44)∂rЭто условие остается справедливым и для слоя, прилегающегок внутреннему цилиндру, для которого момент механических силравен М0M (r ) = M 0 .(13.45)Подставляя в (13.44) значение константы (13.45), получаемуравнение:M0∂ω=.(13.46)∂r 2πhηr 3Полагая, что скорости прилегающих к цилиндрам слоев совпадают со скоростями цилиндров, получаем граничные условия дляугловой скорости:ω( R1 ) = 0 иω( R2 ) = ω0 .(13.47)M (r ) = rf = −ηr 2Решая уравнение (13.46) с первым граничным условием(13.47), находимM0 ⎛ 11 ⎞ω(r ) =(13.48)⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .4πhη ⎝ R1 r ⎠Используя второе граничное условие, получаем:M0 ⎛ 11 ⎞(13.49)η=⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .4πhω0 ⎝ R1 R2 ⎠Подставляя (13.49) в (13.48), окончательно получаем1/ R12 − 1/ r 2ω(r ) = ω01/ R12 − 1/ R22и1/ R12 − 1/ r 2u (r ) = r ω(r ) = r ω0.1/ R12 − 1/ R22(13.50)(13.51)Графики полученных зависимостей (13.50) и (13.51) представлены на рис. 13.7.
Поскольку расстояние между цилиндрами мало,то в первом приближении зависимости имеют приблизительно линейный характер.359Гл. 13. Явления переносаРис. 13.7. Зависимости угловой (а) и линейной (б) скоростей молекул газа междуцилиндрами, изображенными на рис. 13.7, от r.Используя данные задачи, получаем численное значение коэффициента вязкости:M0 ⎛ 11 ⎞η=⎜ 2 − 2 ⎟≈4πhω0 ⎜⎝ R1 R2 ⎟⎠≈2, 22 ⋅ 10−5 ⎛ 11−⎜⎜24 ⋅ 3,14 ⋅ 0, 2 ⋅ 30 ⎝ (0, 04)(0, 041) 2⎞⎟⎟ ≈⎠≈ 8, 9 ⋅ 10−6 Н ⋅ с / м 2 = 8, 9 ⋅ 10−7 Пуаз.Замечания1.
При решении задачи предполагалось, что движение слоев газа является ламинарным, то есть перемешивание между соседнимислоями отсутствует. Условие, при котором может происходить устойчивое ламинарное течение, связано с безразмерным числомРейнольдса Re = ρu d η , где ρ – плотность, u – характерная скорость потока, d – характерный линейный размер (например, диаметр трубы) и η –коэффициент динамической вязкости.
Число Рейнольдса характеризует вид течения и обычно определяется экспериментально.Для каждого вида течения существует критическое значениечисла Рейнольдса Reкр. Ламинарному течению соответствуетRe < Reкр, а турбулентное течение возможно при Re > Reкр. Например, для течения вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрическойтрубе с круглым сечением Reкр = 2300.360МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИДля проверки ламинарности течения газа в данной задаче положим u = umax = R2 ω0 и r = rmax = R2 .
Тогда число РейнольдсаравноρuRRe = max 2 .(13.52)ηКритическое значение для данной геометрии течения газаReкр = 1000. Условие ламинарности потока:Re < 1000накладывает ограничение на плотность газа:ηρ < ρc = 103.u⋅rПодставляя данные задачи, получаем:η8, 4 ⋅ 10−63ρc = 103=10≈ 0,17 кг / м3 .2−2 2ω0 R230 ⋅ (4,1 ⋅ 10 )При атмосферном давлении и температуре T ≈ 300 K плотность водородаp ⋅ M H 2 2 ⋅ 10−3 ⋅ 105ρ=≈≈ 0, 080 кг / м3 < ρc ,RT8, 31 ⋅ 300т.е. условие ламинарности соблюдается.2. Число Рейнольдса используется в качестве критерия подобияпри моделировании течения жидкостей и газов, например, при моделировании полетов воздушных кораблей, в медицине – при моделировании движения крови по кровеносной системе или течениявдыхаемого воздуха.
Модель должна иметь такое же число Рейнольдса, как и изучаемый объект.M0 ⎛ 11/ R12 − 1/ r 21 ⎞.Ответ: η =⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ , ω(r ) = ω04πhω0 ⎝ R1 R2 ⎠1/ R12 − 1/ R22Задача 13.2.10. Вязкая жидкость течет вдоль длинной цилиндрической трубы с круглым сечением, радиусом R. Перепад давления на длине трубы h составляет ∆р (рис. 13.8). Коэффициент вязкости жидкости η . Определите среднюю скорость потока жидкости и объем жидкости, протекающий через выделенное сечениетрубы в единицу времени.361Гл. 13.
Явления переносаРис. 13.8. Ламинарное течение вязкой жидкости по трубе за счет перепада давления Δр на длине h. Затемненная область - трубка тока радиуса r и толщиной dr.РешениеДля течения жидкости вдоль цилиндрической трубы критическое значение числа Рейнольдса Reкр ≈ 2 300 (см. замечание 1 кзадаче 13.2.9).
При Re = ρu (2 r ) η < Re кр течение жидкости – ламинарное, при Re = ρu (2r ) η > Re c – турбулентное. Таким образом, ламинарное течение жидкости наблюдается при малых скоростях течения u и больших коэффициентах вязкости жидкости или втонких капиллярных трубках. Для воды при Т = 20°С коэффициентвязкости η = 10−3 Н ⋅ с / м 2 , поэтому ламинарное течение со среднейскоростью u = 1м/с возможно лишь в трубках с радиусомr < 1,1мм .Полагая, что скорость жидкости на внутренней поверхноститрубы равна нулю (жидкость «прилипает» к стенкам трубы), найдем распределение скоростей молекул жидкости вдоль радиуса впоперечном сечении трубы. Для этого выделим произвольнуютрубку тока, которой в данной задаче является цилиндр с внутренним радиусом r, внешним r+dr и длиной h (см. рис.
13.8). Запишемуравнение движения (второй закон Ньютона) для массы жидкости,заключенной в трубке тока длиной h. Учитывая, что движениежидкости равномерное и ускорение равно нулю, имеем:0 = Δp ⋅ (2πrdr ) + f r − f r + dr ,(13.53)где f r – сила вязкого трения, действующая на внутреннюю боковую поверхность цилиндрической трубки, а f r + dr – на внешнюю362МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИбоковую поверхность; ∆р – разность давлений на торцевых поверхностях трубки, а 2πrdr – площадь торцевой поверхности.На основании уравнения Ньютона (13.6):⎛ ∂u⎞⎛ ∂u⎞.f r + dr = η ⎜ 2πrh ⎟f r = η ⎜ 2πrh ⎟ ,∂r∂r⎝⎠ r + dr⎝⎠rДля разности сил вязкого трения имеем:⎡⎛ ∂u ⎞⎛ ∂u ⎞ ⎤⎡ ∂u ⎤f r + dr − f r = 2πηh ⎢⎜ r ⎟− ⎜ r ⎟ ⎥ = 2πηh ⋅ d ⎢ r ⎥ .⎣ ∂r ⎦⎢⎣⎝ ∂r ⎠ r + dr ⎝ ∂r ⎠ r ⎥⎦Подставляя полученное соотношение в (13.53), получаем уравнениеΔp⎛ ∂u ⎞rdr = d ⎜ r ⎟ ,ηh⎝ ∂r ⎠интегрируя которое, находим:Δp 2∂ur =r+ C1 .2η h∂r∂uКонстанта интегрирования С1=0, так как= 0 .
Таким обра∂r r =0зом, приходим к уравнению:Δp∂u,r=2η h∂rинтегрируя которое при условии u r = R = 0 , получаем:u (r ) =Δp 2 2(R − r ) .4η hR 2 Δp.4η hЗа время dt через сечение данной трубки тока проходит объемжидкости, равныйdV = u (r )dt (2πrdr ) .Суммарный объем жидкости, протекающей через выделенноесечение цилиндрической трубы равен:Максимальная скорость потока u0 =RΔV = ∫ dV = ∫0Δp 2πR 4 Δp( R − r 2 )dt ⋅ 2πrdr = dt.4η h8ηhТогда объемный поток жидкости:363Гл. 13.
Явления переносаΔV πR 4 Δp=– формула Пуазейля. (13.54)8η hdtСреднее значение скорости потока:JV =u >=RΔpR 2 Δp u022.()2R−rπrdr==∫8ηh2πR 2 0 4ηh1По форме формула Пуазейля (13.54) аналогична закону Ома,где вместо силы тока – поток объема жидкости JV (объем жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени – «расход жидкости»), а вместо напряжения – разность давлений Δр наконцах трубы. Роль электрического сопротивления играет величина8ηhZ= 4,(13.55)πRназываемая гидравлическим сопротивлением.Используя аналогию с последовательно и параллельно соединенными сопротивлениями в электричестве, можно определятьгидравлическое сопротивление последовательно или параллельносоединенных трубок.Замечание.
Измерение расхода жидкости, протекающей черезкапилляр, при известной разности давлений лежит в основе одногоиз методов экспериментального определения коэффициента вязкости (капиллярный метод).R 2 ΔpπR 4 ΔpОтвет: < u >=., JV =8ηh8η hЗадача 13.2.11. Система кровообращения человека по своейструктуре похожа на водопроводную систему: движение крови пососудам происходит также за счет создания разности давлений ∆р.В отличие от водопроводной системы, систему кровообращения врамках грубой модели можно считать замкнутой (кровотечениябывают только из-за повреждений, а выход плазмы в межклеточноепространство незначителен). Кроме того, изменение скорости потока в водопроводной системе достигается путем изменения давления, а в системе кровообращения – благодаря изменениям сопротивления кровеносных сосудов.
В системе кровообращения двазамкнутых круга. В большом круге кровь под давлением около364МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ100 мм.рт.ст. выходит из левого желудочка сердца, проходит черезаорту, артерии, попадает в капилляры, где происходит переход кислорода в ткани, а углекислого газа – из тканей в кровь.
Далее поток возвращается по венам к правому предсердию, где давлениесоставляет приблизительно 5 мм рт.ст.Средняя линейная скорость движения крови по аорте, радиускоторой RA = 13 мм , равна u A = 20 см/c , а средняя скорость потока крови в капиллярах, радиус которых Rk = 5 ⋅ 10−3 мм , составляетuk = 0, 3 мм/c .Коэффициентвязкостикровивнор-ме* η = 5 ⋅ 10−3 Па ⋅ с .Оцените объемный поток крови JV , градиент давления в аортеΔp / h и число капилляров Nк в системе, полагая, что капиллярыподключены к системе обращения крови параллельно.РешениеПоскольку средняя скорость движения по трубке составляетJu = V2 , тоπR(JV = πRA2 u A = π 13 ⋅ 10−3)2⋅ 20 ⋅ 10−2 == 1, 06 ⋅ 10−4 м3 / c = 106 см3 / c .(13.56)Из формулы (13.54) находим градиент давления:Δp 8η JV 8η u A8 ⋅ 5 ⋅ 10−3 ⋅ 0, 2===≈ 47 Па/м .h(13 ⋅ 10−3 )2πRА4RA2При параллельном соединении через каждый капилляр проходит поток JV / N k .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
