Главная » Просмотр файлов » Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова

Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 48

Файл №1238762 Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова) 48 страницаУчебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762) страница 482020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом (рис. 13.6). Высота внутреннегоцилиндра h = 20 см, его радиус R1 = 4 см, высота внешнего цилиндра h2 >> h1 и радиус R2 = 4,1 см. Внешний цилиндр вращается с угловой скоростью ω0 = 30 рад/c . Для того чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему прикладывается момент механических сил, равный М0 = 2,22·10–5 Н·м. Пренебрегая краевымиэффектами, определить коэффициент внутреннего трения водородаи найти распределение скорости упорядоченного движения молекул газа в пространстве между цилиндрами в зависимости от расстояния до оси цилиндров.

Этот метод определения коэффициентавязкости называется ротационным. Ротационный метод использу-357Гл. 13. Явления переносается для определения вязкости жидкостей, смазочных масел, высоковязких лаков, клеев и т.п.РешениеСила внутреннего трения, которая вовлекает во вращение концентрические слои газа, связана с различием угловых скоростей соседнихслоев, то есть с зависимостью ω(r ) .При отсутствии вязкого трения угловые скорости всех слоев газа были быравны нулю, а различались бы тольколинейные скорости u (r ) = ωr .Рис.

13.6. Пространство междуРассмотрим поперечное сечение двумя коаксиальными цилиндрамицилиндров и движение слоев, от- заполнено водородом (вид сверху,стоящих друг от друга на расстояние со стороны торцов цилиндров).Δr (рис. 13.6). За время Δt частицы всоседних слоях 1 и 2 проходят по дугам расстояния Δs1 = r ω(r )Δt иΔs2 = (ω + Δω)(r + Δr )Δt соответственно. Относительное смещениечастиц равно (см. рис. 13.6):Δsотн ≡ Δs ''2 = Δs2 − Δs '2 == [ (ω + Δω)(r + Δr ) − ω(r + Δr )] Δt ≈ r ΔωΔt .Таким образом, с изменением радиуса слоя газа (радиальныйградиент скорости) изменение относительной скорости имеет вид∂sотн / ∂t ∂uотн∂ω==r.∂r∂r∂rГрадиент относительной скорости приводит к появлению потока импульса (13.5), который определяет силу f вязкого трения вжидкости (формула Ньютона) (13.6):f = J mu = j ⋅ Σ = −η∂uотн∂ωΣ = −ηr(2πrh) .∂r∂r(13.43)Условие стационарности вращения слоя жидкости можно записать в следующем виде:M (r ) = M (r + dr ) = const ,358МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИили, используя (13.43):∂ω(2πrh) = const .(13.44)∂rЭто условие остается справедливым и для слоя, прилегающегок внутреннему цилиндру, для которого момент механических силравен М0M (r ) = M 0 .(13.45)Подставляя в (13.44) значение константы (13.45), получаемуравнение:M0∂ω=.(13.46)∂r 2πhηr 3Полагая, что скорости прилегающих к цилиндрам слоев совпадают со скоростями цилиндров, получаем граничные условия дляугловой скорости:ω( R1 ) = 0 иω( R2 ) = ω0 .(13.47)M (r ) = rf = −ηr 2Решая уравнение (13.46) с первым граничным условием(13.47), находимM0 ⎛ 11 ⎞ω(r ) =(13.48)⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .4πhη ⎝ R1 r ⎠Используя второе граничное условие, получаем:M0 ⎛ 11 ⎞(13.49)η=⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ .4πhω0 ⎝ R1 R2 ⎠Подставляя (13.49) в (13.48), окончательно получаем1/ R12 − 1/ r 2ω(r ) = ω01/ R12 − 1/ R22и1/ R12 − 1/ r 2u (r ) = r ω(r ) = r ω0.1/ R12 − 1/ R22(13.50)(13.51)Графики полученных зависимостей (13.50) и (13.51) представлены на рис. 13.7.

Поскольку расстояние между цилиндрами мало,то в первом приближении зависимости имеют приблизительно линейный характер.359Гл. 13. Явления переносаРис. 13.7. Зависимости угловой (а) и линейной (б) скоростей молекул газа междуцилиндрами, изображенными на рис. 13.7, от r.Используя данные задачи, получаем численное значение коэффициента вязкости:M0 ⎛ 11 ⎞η=⎜ 2 − 2 ⎟≈4πhω0 ⎜⎝ R1 R2 ⎟⎠≈2, 22 ⋅ 10−5 ⎛ 11−⎜⎜24 ⋅ 3,14 ⋅ 0, 2 ⋅ 30 ⎝ (0, 04)(0, 041) 2⎞⎟⎟ ≈⎠≈ 8, 9 ⋅ 10−6 Н ⋅ с / м 2 = 8, 9 ⋅ 10−7 Пуаз.Замечания1.

При решении задачи предполагалось, что движение слоев газа является ламинарным, то есть перемешивание между соседнимислоями отсутствует. Условие, при котором может происходить устойчивое ламинарное течение, связано с безразмерным числомРейнольдса Re = ρu d η , где ρ – плотность, u – характерная скорость потока, d – характерный линейный размер (например, диаметр трубы) и η –коэффициент динамической вязкости.

Число Рейнольдса характеризует вид течения и обычно определяется экспериментально.Для каждого вида течения существует критическое значениечисла Рейнольдса Reкр. Ламинарному течению соответствуетRe < Reкр, а турбулентное течение возможно при Re > Reкр. Например, для течения вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрическойтрубе с круглым сечением Reкр = 2300.360МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИДля проверки ламинарности течения газа в данной задаче положим u = umax = R2 ω0 и r = rmax = R2 .

Тогда число РейнольдсаравноρuRRe = max 2 .(13.52)ηКритическое значение для данной геометрии течения газаReкр = 1000. Условие ламинарности потока:Re < 1000накладывает ограничение на плотность газа:ηρ < ρc = 103.u⋅rПодставляя данные задачи, получаем:η8, 4 ⋅ 10−63ρc = 103=10≈ 0,17 кг / м3 .2−2 2ω0 R230 ⋅ (4,1 ⋅ 10 )При атмосферном давлении и температуре T ≈ 300 K плотность водородаp ⋅ M H 2 2 ⋅ 10−3 ⋅ 105ρ=≈≈ 0, 080 кг / м3 < ρc ,RT8, 31 ⋅ 300т.е. условие ламинарности соблюдается.2. Число Рейнольдса используется в качестве критерия подобияпри моделировании течения жидкостей и газов, например, при моделировании полетов воздушных кораблей, в медицине – при моделировании движения крови по кровеносной системе или течениявдыхаемого воздуха.

Модель должна иметь такое же число Рейнольдса, как и изучаемый объект.M0 ⎛ 11/ R12 − 1/ r 21 ⎞.Ответ: η =⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ , ω(r ) = ω04πhω0 ⎝ R1 R2 ⎠1/ R12 − 1/ R22Задача 13.2.10. Вязкая жидкость течет вдоль длинной цилиндрической трубы с круглым сечением, радиусом R. Перепад давления на длине трубы h составляет ∆р (рис. 13.8). Коэффициент вязкости жидкости η . Определите среднюю скорость потока жидкости и объем жидкости, протекающий через выделенное сечениетрубы в единицу времени.361Гл. 13.

Явления переносаРис. 13.8. Ламинарное течение вязкой жидкости по трубе за счет перепада давления Δр на длине h. Затемненная область - трубка тока радиуса r и толщиной dr.РешениеДля течения жидкости вдоль цилиндрической трубы критическое значение числа Рейнольдса Reкр ≈ 2 300 (см. замечание 1 кзадаче 13.2.9).

При Re = ρu (2 r ) η < Re кр течение жидкости – ламинарное, при Re = ρu (2r ) η > Re c – турбулентное. Таким образом, ламинарное течение жидкости наблюдается при малых скоростях течения u и больших коэффициентах вязкости жидкости или втонких капиллярных трубках. Для воды при Т = 20°С коэффициентвязкости η = 10−3 Н ⋅ с / м 2 , поэтому ламинарное течение со среднейскоростью u = 1м/с возможно лишь в трубках с радиусомr < 1,1мм .Полагая, что скорость жидкости на внутренней поверхноститрубы равна нулю (жидкость «прилипает» к стенкам трубы), найдем распределение скоростей молекул жидкости вдоль радиуса впоперечном сечении трубы. Для этого выделим произвольнуютрубку тока, которой в данной задаче является цилиндр с внутренним радиусом r, внешним r+dr и длиной h (см. рис.

13.8). Запишемуравнение движения (второй закон Ньютона) для массы жидкости,заключенной в трубке тока длиной h. Учитывая, что движениежидкости равномерное и ускорение равно нулю, имеем:0 = Δp ⋅ (2πrdr ) + f r − f r + dr ,(13.53)где f r – сила вязкого трения, действующая на внутреннюю боковую поверхность цилиндрической трубки, а f r + dr – на внешнюю362МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИбоковую поверхность; ∆р – разность давлений на торцевых поверхностях трубки, а 2πrdr – площадь торцевой поверхности.На основании уравнения Ньютона (13.6):⎛ ∂u⎞⎛ ∂u⎞.f r + dr = η ⎜ 2πrh ⎟f r = η ⎜ 2πrh ⎟ ,∂r∂r⎝⎠ r + dr⎝⎠rДля разности сил вязкого трения имеем:⎡⎛ ∂u ⎞⎛ ∂u ⎞ ⎤⎡ ∂u ⎤f r + dr − f r = 2πηh ⎢⎜ r ⎟− ⎜ r ⎟ ⎥ = 2πηh ⋅ d ⎢ r ⎥ .⎣ ∂r ⎦⎢⎣⎝ ∂r ⎠ r + dr ⎝ ∂r ⎠ r ⎥⎦Подставляя полученное соотношение в (13.53), получаем уравнениеΔp⎛ ∂u ⎞rdr = d ⎜ r ⎟ ,ηh⎝ ∂r ⎠интегрируя которое, находим:Δp 2∂ur =r+ C1 .2η h∂r∂uКонстанта интегрирования С1=0, так как= 0 .

Таким обра∂r r =0зом, приходим к уравнению:Δp∂u,r=2η h∂rинтегрируя которое при условии u r = R = 0 , получаем:u (r ) =Δp 2 2(R − r ) .4η hR 2 Δp.4η hЗа время dt через сечение данной трубки тока проходит объемжидкости, равныйdV = u (r )dt (2πrdr ) .Суммарный объем жидкости, протекающей через выделенноесечение цилиндрической трубы равен:Максимальная скорость потока u0 =RΔV = ∫ dV = ∫0Δp 2πR 4 Δp( R − r 2 )dt ⋅ 2πrdr = dt.4η h8ηhТогда объемный поток жидкости:363Гл. 13.

Явления переносаΔV πR 4 Δp=– формула Пуазейля. (13.54)8η hdtСреднее значение скорости потока:JV =u >=RΔpR 2 Δp u022.()2R−rπrdr==∫8ηh2πR 2 0 4ηh1По форме формула Пуазейля (13.54) аналогична закону Ома,где вместо силы тока – поток объема жидкости JV (объем жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени – «расход жидкости»), а вместо напряжения – разность давлений Δр наконцах трубы. Роль электрического сопротивления играет величина8ηhZ= 4,(13.55)πRназываемая гидравлическим сопротивлением.Используя аналогию с последовательно и параллельно соединенными сопротивлениями в электричестве, можно определятьгидравлическое сопротивление последовательно или параллельносоединенных трубок.Замечание.

Измерение расхода жидкости, протекающей черезкапилляр, при известной разности давлений лежит в основе одногоиз методов экспериментального определения коэффициента вязкости (капиллярный метод).R 2 ΔpπR 4 ΔpОтвет: < u >=., JV =8ηh8η hЗадача 13.2.11. Система кровообращения человека по своейструктуре похожа на водопроводную систему: движение крови пососудам происходит также за счет создания разности давлений ∆р.В отличие от водопроводной системы, систему кровообращения врамках грубой модели можно считать замкнутой (кровотечениябывают только из-за повреждений, а выход плазмы в межклеточноепространство незначителен). Кроме того, изменение скорости потока в водопроводной системе достигается путем изменения давления, а в системе кровообращения – благодаря изменениям сопротивления кровеносных сосудов.

В системе кровообращения двазамкнутых круга. В большом круге кровь под давлением около364МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ100 мм.рт.ст. выходит из левого желудочка сердца, проходит черезаорту, артерии, попадает в капилляры, где происходит переход кислорода в ткани, а углекислого газа – из тканей в кровь.

Далее поток возвращается по венам к правому предсердию, где давлениесоставляет приблизительно 5 мм рт.ст.Средняя линейная скорость движения крови по аорте, радиускоторой RA = 13 мм , равна u A = 20 см/c , а средняя скорость потока крови в капиллярах, радиус которых Rk = 5 ⋅ 10−3 мм , составляетuk = 0, 3 мм/c .Коэффициентвязкостикровивнор-ме* η = 5 ⋅ 10−3 Па ⋅ с .Оцените объемный поток крови JV , градиент давления в аортеΔp / h и число капилляров Nк в системе, полагая, что капиллярыподключены к системе обращения крови параллельно.РешениеПоскольку средняя скорость движения по трубке составляетJu = V2 , тоπR(JV = πRA2 u A = π 13 ⋅ 10−3)2⋅ 20 ⋅ 10−2 == 1, 06 ⋅ 10−4 м3 / c = 106 см3 / c .(13.56)Из формулы (13.54) находим градиент давления:Δp 8η JV 8η u A8 ⋅ 5 ⋅ 10−3 ⋅ 0, 2===≈ 47 Па/м .h(13 ⋅ 10−3 )2πRА4RA2При параллельном соединении через каждый капилляр проходит поток JV / N k .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
4,64 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее