Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Разностьтемператур Т1 – Т2 называется температурным напором, а2πλ / ln( R2 / R1 ) – тепловой проводимостью единицы длины ци1ln( R2 / R1 ) –линдрической стенки, а обратная величина RT =2πλтепловым (термическим) сопротивлением единицы длины цилиндрической стенки.Подставляя в (13.31) значения А1 и JQ,находим зависимость температуры и градиента температуры от радиуса r:T2 ln(r / R1 ) − T1 ln(r / R2 )=ln( R2 / R1 )ln( r / R1 )= T1 − (T1 − T2 ), (13.33)ln( R2 / R1 )Рис.
13.3.ЗависимостьT −TdT1= 2 1 ⋅ < 0.температуры между коакdr ln( R2 / R1 ) rсиальными цилиндрами отr в системе, представленЗаметим, что распределение темпераной на рис. 13.2.туры вдоль радиуса (13.33) не зависит откоэффициента теплопроводности газа, то есть одинаково для всехгазов.T (r ) =350МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИНа рис.13.3. представлена зависимость температуры между коаксиальными цилиндрами от r.T −Tln(r / R1 ) dT1Ответ: T (r ) = T1 − (T1 − T2 )= 2 1 ⋅ ,,ln( R2 / R1 ) dr ln( R2 / R1 ) rJQ2πλ(T1 − T2 ) .=ln( R2 / R1 )hЗадача 13.2.6. Ледяной шарик, имеющий температуру Т0 = 0ºСи радиус R0 = 5 см, помещается в большой бассейн с водой притемпературе Tв = 20ºС.
Коэффициент теплопроводности водыλ = 0,584 Вт/(м·К),удельнаятеплотаплавленияльдаL = 332,4 Дж/г. Один килограмм льда занимает объем 1090 см3.Считать, что температура в объеме льда неизменна, лед плавится споверхности, а теплопередача в воде осуществляется только путемтеплопроводности. Определить, за какое время ледяной шарик расплавится.РешениеЧем меньше радиус шарика, тем быстрее происходит выравнивание температур.
Запас тепловой энергии пропорционален объему~ R3 , а тепловые потери происходят с поверхности, площадь которой ~ R 2 . Поэтому энергетически экономичными являются болеекрупные объекты. Так и у живых организмов: чем мельче организм, тем больше он нуждается в защите от тепловых потерь.В связи с тем, что температура льда неизменна, а бассейн водыбольшой, будем решать данную задачу в рамках модели, подразумевающей процесс теплопроводности в воде стационарным.Как и в задаче 13.2.5 записываем уравнение стационарной тепdTлопроводности: J Q = −λ4πr 2 , где J Q = const , а r – расстояниеdrот центра ледяного шара.
Решая уравнение при следующих граничных условиях: температура Т1 при r1 и температура Т2 при r2,получаем распределение температуры в воде:(T2 − T1 )T (r ) = T1 +(1/ r − 1/ r1 ) .(1/ r2 − 1/ r1 )Пусть r1 = R(t) – изменяющийся со временем радиус ледяногошара, температура которого Т1 = Т0. При r2 → ∞ температура воды351Гл. 13. Явления переносаравна исходной температуре воды в бассейне: Т2 = Tв . Тогда распределение температуры принимает вид:T ( r ) = Tв − ( Tв − T0 ) R / r .Приток теплоты к шарику за время dt равенδQ = jQ 4πR 2 dt ,где плотность потока теплоты jQ пропорциональна градиентутемпературы вблизи поверхности шарика:∂T1jQ = −λ= −λ (Tв − T0 ) .∂r r = RRТаким образом, для теплоты получаем:δQ = −4πλR (Tв − T0 )dt .(13.34)Эта теплота идет на плавление поверхностного слоя льда толщиной dR и объемом 4πR 2 dR :δQ = ρL (4πR 2 dR ) .Приравнивая полученное для δQ выражение для δQ и (13.34),получаем уравнение−ρLdt =RdR ,λ(Tв − T0 )интегрируя котороеΔt∫00dt =−ρL∫ λ(Tв − T0 ) RdR ,R0находимΔt =ρL103 / 1, 09 ⋅ 3, 324 ⋅ 105R02 =(5 ⋅ 10−2 )2 c ≈ 9 час .2λ (Tв − T0 )2 ⋅ 584 ⋅ 10−3 ⋅ 20Замечание.
Рассмотренный процесс, строго говоря, не является стационарным, так как распределение температуры Т(r) изменяется со временем при уменьшении радиуса ледяного шарика.ρLR02 ≈ 9 час .Ответ: Δt =2λ (Tв − T0 )352МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИЗадача 13.2.7. Плоская стена туннельной печи для обжига глиняного кирпича состоит из трех слоев кирпича(рис. 13.4):шамотного(толщинаh1 = 23 см, коэффициент теплопроводности λ1 = 1,1 Вт/(м·К)), изоляционного(h2 = 23 см, λ2 = 0,28 Вт/(м·К)) и красного(h3 = 25 см, λ3 = 0,56 Вт/(м·К)). Температура газов внутри печи Тin = 1 000ºС, снаружи – Тex = 30ºС.
Коэффициент теплоотРис. 13.4. Плоская стенкадачи* внутренней поверхности печи туннельной печи (см. условиеα1 = 15 Вт/(м2·К), наружной поверхностизадачи).α2 = 8 Вт/(м2·К). Определить потери тепла с одного квадратного метра поверхности стены печи и температуры на поверхностях раздела слоев.РешениеПроцесс теплообмена между движущимся газом (или жидкостью) и твердой стенкой называется конвективным теплообменом.Конвективный теплообмен – сложный процесс, включающий какконвекцию, так и теплопроводность. На этот процесс влияют многие факторы: причина движения газа (движение может быть каксвободным, так и вынужденным); тип движения (ламинарное илитурбулентное); физические свойства газа (плотность, коэффициенттеплопроводности, теплоемкость, коэффициент вязкости); форма,размеры и состояние поверхности омываемой газом стенки.Для расчета плотности потока теплоты в случае конвективноготеплообмена применяется уравнение Ньютона:jQ = αΔT ,в котором коэффициент теплоотдачи α, определяемый чаще всегоэкспериментально, учитывает все выше указанные факторы,ΔT = Tст − Tг – разность температур наружной поверхности стенкиTст и движущегося газа Tг .Поскольку процесс передачи тепла является стационарным, токоличество теплоты, поглощенное внутренней стенкой за счет кон*Коэффициент теплоотдачи α есть количество теплоты передаваемое от горячеготеплоносителя к холодному через 1м2 поверхности при средней разности температур в один градус за 1с.353Гл.
13. Явления переносавективного теплообмена, равно теплоте, передаваемой многослойной стенкой путем теплопроводности, и равно теплоте, передаваемой наружной поверхностью печи окружающей среде также путемконвективного теплообмена:ΔТjQ = α1 (Tin − T1 ) == α 2 (T2 − Tex ) ,(13.35)RTгде T1 – температура внутренней поверхности печи, Т2 – температура наружной поверхности печи, ΔТ = Т1 – Т2, RT – тепловое сопротивление единицы поверхности многослойной стенки (см.
задачу 13.2.5). Так как «тепловые сопротивления» hi / λ i отдельныхслоев соединены последовательно, суммарное сопротивление многослойной стенки3hi 0, 23 0, 23 0, 25=++≈ 1, 48 ⎡м 2 ⋅ K/Вт ⎤ .⎣⎦1,1 0, 28 0, 56i =1 λ iRT = ∑Из (13.35) имеем систему из двух уравнений:α1 (Tin − T1 ) = α 2 (T2 − Tex ) ⎫⎬,α1 (Tin − T1 ) = (T1 − T2 ) / RT ⎭решая которую, получаем:T1 =T2 = (Tin − T1 )α1Tin (α 2 RT + 1) / α 2 + Tex≈ 1230 K ≈ 960D C ,1 + RT α1 + α1 / α 2α1+ Tex =α2α1T α2 R) − in 1 Tα2α2≈ 375 K=102D C,α11 + RT α1 +α2(1 + RT α1 )(Tex + Tin=(T2 − T1 )≈ 580 Вт/м 2 .RTТемпературы на поверхности разделов слоев могут быть найдены, например, по следующим формулам теплопроводности дляотдельных слоев:jQ =354МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИh1≈ 1110 K ≈ 840D Cλ1hT4 = T2 + jQ 3 ≈ 630 K ≈ 360D C .λ3T3 = T1 − jQОтвет: jQ = (T2 − T1 ) / RT ≈ 580 Вт/м 2 ,T3 = T1 − jQ h1 / λ1 ≈ 840D C , T4 = T2 + jQ h3 / λ3 ≈ 360D C .Задача 13.2.8.
Открытый сосуд с теплоизолированными стенками частично заполнен водой, которая понемногу испаряется.Температура воды постоянна и на ΔТ = 4 К ниже температуры окружающего воздуха. Оценить разность концентраций Δn пара надповерхностью воды и на уровне верхней границы сосуда, считая,что разность концентраций определяется только диффузией. Среднюю длину свободного пробега молекул водяного пара и воздухасчитать одинаковыми. Удельная теплота парообразования водыL1 = 2, 4 ⋅ 106 Дж / кг .РешениеПусть индекс 1 относится к пару H2O, 2 – к воздуху.Рис.
13.5. Схематическое изображение процессов теплопроводности воздуха(слева) и диффузии паров воды (справа).Непрерывное испарение воды и диффузия испарившихся молекул воды (рис.13.5, правая сторона) должны были бы приводитьк непрерывному падению температуры воды. Но она по условиюзадачи постоянна.
Подвод теплоты осуществляется воздухом впроцессе теплопроводности (рис.13.5, левая сторона). Отсюда вытекают два следствия.Гл. 13. Явления переноса3551. Число молекул водяных паров вблизи поверхности водыдолжно быть постоянным n1 = const , то есть число молекул Δn1D ,уносимых в процессе диффузии, должно быть равно числу молекулводы Δn1L , испарившихся с поверхности воды за то же время Δt :Δn1D = Δn1L ,(13.36)2. Теплота q1L, необходимая для выпаривания Δn1L молекул,равнаяΔq1L = m1Δn1L ⋅ L(13.37)(m1 – масса одной молекулы воды), должна компенсироваться теплотой Δq2λ, приносимой воздухом в процессе теплопроводности зато же время Δt:Δq1L = Δq2λ .(13.38)Так как ΔT = const и Δn = const , то рассматриваемые процессы переноса (диффузия молекул воды и теплопроводность воздуха) являются стационарными (не зависящими от времени) и кним применимы уравнения Фурье (13.22) и Фика (13.19).
Предположим, что градиенты концентрации и температуры постоянны иравны соответственно dn / dz ≈ Δn / h и dT / dz = ΔT / h , где h – расстояние от поверхности воды до края сосуда. Тогда уравнениядиффузии молекул воды и теплопроводности воздуха принимаютвид:ΔnΔn,(13.39)jn = 1D = − DΔthΔqΔTjQ = 2λ = −λ.(13.40)hΔtИспользуя (13.36)–(13.38), запишем систему уравнений (13.39)и (13.40) относительно Δn1L :Δn1LΔn⎫= −D⎪⎪Δth(13.41)⎬m1Δn1L ⋅ L1ΔT ⎪= −λ.Δth ⎭⎪Разделяя одно уравнение системы (13.41) на другое, получаемλΔTΔn =.(13.42)m1L1D356МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИ1Здесь λ = A 2 v2 ρ2CV – коэффициент теплопроводности воз31духа, D = A1 v1 – коэффициент диффузии паров воды. Подстав3ляя выражения для коэффициентов переноса в (13.42) и учитываяусловие задачи A1 = A 2 , имеем:Δn =v2 ρ2CVv1 m1L1ΔT .При вычислении отношения средних скоростей молекул воздуха v2 и паров воды v1 можно положить температуры одинаковыми: v2 / v1 = M1 / M 2 . Воздух можно считать двухатомным газом с числом степеней свободы, равным пяти, удельной теп5R, плотностью ρ2 ≈ 1, 29 кг / м3 . Окончательлоемкостью CV =2M 2но получаем:5R ρ2 N A ΔTΔn =≈2 L1 M 2 M1 M 2≈Ответ: Δn =5 ⋅ 8, 31 ⋅ 1, 29 ⋅ 6 ⋅ 1023 ⋅ 462 ⋅ 2, 4 ⋅ 10 ⋅ 29 ⋅ 105 R ρ2 N A ΔT2 L1 M 2 M1 M 2−318 ⋅ 29 ⋅ 10−6≈ 4, 04 ⋅ 1022 м −3 .≈ 4, 04 ⋅ 1022 м −3 .Задача 13.2.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
