Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Например, газовый поток может вращать колесо турбины, совершая механическую работу δAмех = δA′ == Δm ⋅ udu .Работа газа против сил статического давления (работа проталкивания) равна произведению силы давления ( pΣ) на перемещениеudt в обоих сечениях (с учетом знаков):δA′′ = −( p1Σ1 )u1dt + ( p2Σ 2 )u2 dt = − p1V1 + p2V2 ,где р1 – статическое давление газа в сечении Σ1, а р2 – статическоедавление в сечении Σ2.Таким образом, элементарная работа по проталкиванию равнаδA′′ = d ( pV ) .(11.9)Подставляя выражения (11.8) и (11.9) в (11.5), получаемδA = d ( pV ) + Δm ⋅ uduИз первого начала термодинамики для δQ имеемδQ = dU + d ( pV ) + Δm ⋅ udu ,и учитывая, что U + pV = H ,δQ = dH + Δm ⋅ udu .(11.10)293Гл.
11. Эффект Джоуля – ТомсонаРазделив полученное выражение на Δm , получаем значениеудельной теплоты и удельной энтальпии:δQ = dH + udu ,dH = δQ − udu .(11.11)Таким образом, количество теплоты, подводимое к движущемуся газу, идет на увеличение его энтальпии и кинетической энергии направленного движения потока.Замечания.1. Если процесс истечения газа является адиабатическим, тотехническая работа δAтех = udu совершается за счет уменьшенияэнтальпии газа (11.11):udu = − dH .2. Учитывая, что δA = pdV , запишем (11.10) в виде:pdV = d ( pV ) + Δm ⋅ udu .(11.12)Отсюда для технической работы находим:δAтех = udu = pdV − d ( pV ) ,ΔAтех =V2∫ pdV − ( p2V2 − p1V1 ) .V1Используя (11.1), элементарную техническую работу можнотакже записать в видеudu = −Vdp ,(11.13)где V – объем единицы массы.
Из (11.13) следует, что знаки du иdp всегда противоположны: скорость увеличивается там, где падаетдавление.Ответ: dH = δQ − udu .Задача 11.2.2 Определите дифференциальное изменение температуры газа ( ∂T / ∂p ) S при адиабатическом обратимом детанди-ровании, считая известными теплоемкость газа Ср, коэффициенттеплового расширения αр и начальные параметры Т и V.РешениеТак как при детандировании S = const, тоdH = TdS + Vdp = Vdp .(11.14)294МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИДля дифференциала энтальпии dH в выбранных переменных Ти p имеем⎛ ∂H ⎞⎛ ∂H ⎞⎛ ∂H ⎞dH = ⎜⎟ dp = C p dT + ⎜⎟ dp =⎟ dT + ⎜⎝ ∂T ⎠ p⎝ ∂p ⎠T⎝ ∂p ⎠T⎡ ⎛ ∂V ⎞⎤= C p dT − ⎢T ⎜⎟ − V ⎥ dp .⎢⎣ ⎝ ∂T ⎠ p⎥⎦С учетом (11.15) и (11.14) получаем⎡ ⎛ ∂V ⎞⎤C p dT − ⎢T ⎜⎟ − V ⎥ dp = Vdp .⎢⎣ ⎝ ∂T ⎠ p⎥⎦Из (11.16) окончательно находимT ( ∂V / ∂T ) pαp⎛ ∂T ⎞.== TV⎜⎟CpCp⎝ ∂p ⎠ S(11.15)(11.16)(11.17)Так как для любого газа ( ∂V / ∂T ) p > 0 , то любой газ при адиа-батическом обратимом расширении (dp < 0) всегда охлаждается(dT < 0).Замечание.
Для решения задачи можно было непосредственноиспользовать выражение для дифференциала энтропии в (р, Т) переменных: dS = C p ( dT T ) − ( ∂V ∂T ) p dp при dS = 0.αp⎛ ∂T ⎞Ответ: ⎜.⎟ = TVCp⎝ ∂p ⎠ SЗадача 11.2.3. Теплоизолированный цилиндр разделен пористой перегородкой А (рис. 11.1) с достаточно низкой теплопроводностью. Давления газа р1 и р2 по разные стороны перегородки поддерживаются постоянными, причем p1 = p2 + Δp . Газ совершаетпроцессе Джоуля – Томсона.1) Покажите, что в отличие от процесса Гей-Люссака (внутренняя энергия U = const) процесс Джоуля – Томсона является изоэнтальпическим.2) Получите формулу (11.1) для расчета дифференциальногоэффекта Джоуля – Томсона.Гл. 11. Эффект Джоуля – Томсона295Решение1.
Рассмотрим процесс дросселирования некоторого количества газа, который в первой части цилиндра занимает объем V1 и находится под давлением р1, а во второй части −объем V2 под давлением р2. Работа газа в процессе дросселирования, пока он еще находится в первой части цилиндра, отрицательна (работа совершается над газом): ΔA1 = − p1V1 , а при переходе во вторую часть –положительна (работу совершает сам газ): ΔA2 = p2V2 . Посколькупроцесс расширения производится адиабатически ( ΔQ = 0 ), то согласно I началу термодинамики ΔU = −ΔA , где ΔU = U 2 − U1 – изменение внутренней энергии этого газа, а ΔA = ΔA1 + ΔA2 .
Такимобразом, получаем: U 2 − U1 = p1V1 − p2V2 или U1 + p1V1 = U 2 + p2V2 ,то есть в процессе дросселирования энтальпия газа остается постоянной:H = const.(11.18)Заметим, что условие постоянства энтальпии можно было получить, основываясь на результате задачи 11.2.1:δQ = dH + udu ,где для адиабатического процесса δQ = 0 , а изменением скоростипри медленном протекании газа можно пренебречь ( du ≈ 0 ).2. Для вычисления дифференциального эффекта Джоуля –Томсона (изменения температуры dT при малом изменении давления dp) воспользуемся формулой (11.15) для дифференциала энтальпии в переменных T и р:⎡ ⎛ ∂V ⎞⎤dH = C p dT − ⎢T ⎜⎟ − V ⎥ dp ,⎢⎣ ⎝ ∂T ⎠ p⎥⎦из которой при dH = 0 находим:⎤⎛ ∂T ⎞V ⎡ T ⎛ ∂V ⎞(11.19)⎢ ⎜⎜⎟ =⎟ − 1⎥ .⎝ ∂p ⎠ H C p ⎢⎣ V ⎝ ∂T ⎠ p ⎥⎦где (∂T / ∂p ) H ⎯ коэффициент Джоуля – Томсона. Поскольку( ∂V / ∂T ) p / V = α p– изобарический коэффициент теплового рас-ширения, окончательно для дифференциального эффекта получа-296МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ЗАДАЧИем:⎛ ∂T ⎞V⎡T α p − 1⎤ .⎜⎟ =⎣⎦⎝ ∂p ⎠ H C p⎛ ∂T ⎞V ⎡ T ⎛ ∂VОтвет: ⎜⎢ ⎜⎟ =⎝ ∂p ⎠ H C p ⎢⎣ V ⎝ ∂T⎤⎞⎟ − 1⎥ .⎠ p ⎥⎦3адача 11.2.4. Получить формулу для дифференциального эффекта Джоуля – Томсона в случае газа Ван-дер-Ваальса, пренебрегая квадратами и более высокими степенями постоянных a и b вуравнении Ван-дер-Ваальса.РешениеИспользуя для коэффициента Джоуля – Томсона формулу⎛ ∂T ⎞V⎡T α p − 1⎤⎜⎟ =⎣⎦⎝ ∂p ⎠ H C pи выражение для коэффициента изобарического расширения газаВан-дер-ВаальсаV 2 R (V − b )1 ⎛ dV ⎞αp = ⎜=,⎟V ⎝ dT ⎠ p V 3 RT − 2a (V − b )2имеем⎛ ∂T ⎞⎜⎟ =⎝ ∂p ⎠ H2a(1 − b / V )2 − bRT.2a2⎤⎡C p ⎢1 −(1 − b / V ) ⎥⎣ RTV⎦(11.20)Знак изменения температуры в процессе Джоуля – Томсона (вотличие от процесса Гей-Люссака и детандирования) зависит отсоотношения сил отталкивания и притяжения в газе, т.е.
для конкретного газа (а и b заданы) – от его объема (плотности) и температуры.Из (11.20) находим температуру инверсии, при которой эффектДжоуля – Томсона для газа Ван-дер-Ваальса равен нулю:Ti =2a(V − b) 2RbV 2.(11.21)Гл. 11. Эффект Джоуля – Томсона297Для достаточно высоких температур можно получить зависимость давления от температуры инверсии для газа Ван-дер-Ваальса(сплошная линия на рис.11.3а):21p = RTi − RTi2 .3b3aбаРис. 11.3.
Кривые инверсии (зависимость давления от температуры) в приведенных координатах: p / pc , и RT /( pcVc ) (а) и для воздуха, рассчитанная поуравнению Ван-дер-Ваальса (б).Кривая инверсии (зависимость давления от температуры),представленная на рис. 11.3 а в приведенных координатах: p / pкр ,и RT / ( pкрVкр ) , где ркр – критическое давление, Vкр – молярныйкритический объем, подтверждается экспериментально для большинства газов. Заметное отклонение от кривой, изображенной нарис. 11.3 а наблюдается только для легких газов: гелия и водорода.На рис. 11.3 б изображена кривая инверсии для воздуха, рассчитанная по уравнению Ван-дер-Ваальса.Пренебрежение квадратичными членами по а и b означает выполнение условий:b2a<< 1 и<< 1 .(11.22)VRTVЭто возможно при не очень больших давлениях: до(107 − 108 ) Па .
При указанных приближениях (11.22) уравнение298МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ(11.20) приобретает вид⎛ ∂T ⎞1 ⎛ 2a⎞− b⎟(11.23)⎜⎟ ≈⎜⎠⎝ ∂p ⎠ H C p ⎝ RTИз (11.23) находим температуру инверсии, при которой дифференциальный эффект Джоуля – Томсона для газа Ван-дерВаальса при указанных приближениях равен нулю:2a.(11.24)Ti =RbЕсли T < Ti , то газ при дросселировании охлаждается (положительный эффект Джоуля – Томсона), а если T > Ti , то газ нагревается (отрицательный эффект).Замечание. В приближении (11.22) температура инверсии независит от объема. Другими словами, формула (11.24) дает предельное значение температуры инверсии при V → ∞ .⎛ ∂T ⎞1 ⎛ 2a⎞Ответ: ⎜− b⎟ .⎟ ≈⎜⎠⎝ ∂p ⎠ H C p ⎝ RTЗадача 11.2.5. Определить, при каких температурах гелий вопыте Джоуля – Томсона охлаждается при дросселировании, есликритическая температуре гелия Ткр = 5,2 К, и состояние гелия описывается уравнением Ван-дер-Ваальса.РешениеКритическая температура и температура инверсии газа связаныс постоянными Ван-дер-Ваальса соотношениями:2a8aTкр =и Ti =.27 RbRbТаким образом, получаемTi = 6,75 Tкр = 6,75 ⋅ 5,2 ≈ 35 K .Следовательно, если Т < 35 К, то гелий при дросселированииохлаждается.Замечание.
Формула (11.20) для изменения температуры вопыте Джоуля – Томсона получена в грубом приближении, но довольно хорошо согласуется с опытом. Опыт дает Ti = 52 К; болееточные расчеты – 50,5 К.299Гл. 11. Эффект Джоуля – ТомсонаВ реальных условиях дросселирование гелия проводится приΔp ≈ 3 ⋅ 106 Па (интегральный эффект). Температура инверсии≈ 14 К.Ответ: T < Ti = 6,75Tкр ≈ 35K .3адача 11.2.6. Найти понижение температуры воздуха при егодросселировании, если разность давлений Δp = 105 Па . Опыт проводится при Т = 300 К.
Постоянные Ван-дер-Ваальса для воздуха:a = 0,1396 Па/моль 2 , b = 3, 9 ⋅ 10−5 D м3 / моль . Теплоемкость воздуха Ср = 29,4 Дж/(моль·К).РешениеПоскольку давления по разные стороны от перегородки отличаются на конечное значение, то процесс Джоуля – Томсона можнопредставить в виде последовательности квазистатических процессов, в каждом из которых давление меняется на бесконечно малоезначение dp. В результате интегрирования (11.23) получаем формулу для интегрального эффекта:ΔT =Δp ⎛ 2 a⎞− b⎟ .⎜C p ⎝ RT⎠(11.25)Воспользовавшись (11.25), находим изменение температурывоздуха при дросселировании:ΔT = −105 ⎛ 2 ⋅ 0,139⎞− 3,9 ⋅ 10−5 ⎟ = −0, 24 K .⎜29, 4 ⎝ 8,31 ⋅ 300⎠Ответ: ΔT = −0, 24 K .3адача 11.2.7. Полагая, что газ подчиняется уравнению Вандер-Ваальса, найти уравнение кривой инверсии Ti(V) – зависимостьтемпературы инверсии от начального объема для интегральногоэффекта Джоуля – Томсона, т.е.
уравнение такой кривой в координатах Ti –V, при переходе через которую эффект Джоуля – Томсонаменяет знак.РешениеДля вычисления интегрального эффекта Джоуля – Томсона вслучае газа Ван-дер-Ваальса удобнее исходить непосредственно из300МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИусловия постоянства энтальпии H = const . Предположим, что вконечном состоянии газ является идеальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
