Учебник - Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач - Миронова (1238762), страница 35
Текст из файла (страница 35)
9. Реальные газы. ЖидкостиПриравнивая (9.37) и (9.38), получаем:V 8 Mpкр=≈ 0, 25 .V0 3 ρRTкрСледовательно, для полного заполнения трубки эфиром в критическом состоянии необходимо при Т = 300 К заполнить только еечетвертую часть.V 8 Mpкр=≈ 0, 25 .Ответ:V0 3 ρRTкрЗадача 9.2.13. Азот, масса которого равна 7·10–3 кг, расширяется в пустоту (процесс Гей-Люссака) от объема V1 = 5·10–3 м3 до объема V2 = 0,05 м3 (рис.
9.4). Известны критические параметры азота:критический объем Vкр = 12·10–5 м3/моль и критическая температура Ткр = 126 К. Определить изменение температуры азота, считая,что во время расширения теплообмена с внешней средой не происходит, а газ подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса. Сравните сизменением температуры для идеального газа.Рис.
9.4. Слева от перегородки в сосуде находится газ.После удаления перегородкигаз расширяется в пустоту отобъема V1 до объема V2. Сосуд окружен адиабатическойоболочкой.РешениеПоскольку нет теплообмена ( ΔQ = 0 ) и расширение происходит в пустоту (внешняя работа по расширению A = 0 ), то, согласнопервому началу термодинамики, должна сохраняться внутренняяэнергия газа:U1 (V1 , T1 ) = U 2 (V2 , T2 ) .(9.39)С учетом формулы U = νCV T − ν 2 a / V для внутренней энергиигаза Ван-дер-Ваальса, где СV – молярная теплоемкость азота, соотношение (9.39) приводится к виду:264МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИνCV T1 − ν 2aa= νCV T2 − ν 2 .V1V2Отсюда находим⎛ 1 1⎞(9.40)⎜ − ⎟.⎝ V2 V1 ⎠Так как V2 > V1 , то ΔT < 0 , то есть газ охлаждается.Охлаждение происходит потому, что при расширении газ совершает работу против сил сцепления (притяжения) молекул (силвнутреннего давления).
Работа совершается за счет уменьшенияэнергии теплового хаотического движения.Постоянную а можно выразить через заданные критическиепараметры с помощью соотношения a = (9 8) RTкрVкр (9.33). ПолаΔT = T2 − T1 = νaCVгая для азота (как двухатомного газа) CV = 5R / 2 , окончательно дляизменения температуры получаем:ΔT = ν9 ⋅ 2 RTкрVкр ⎛ 1 1 ⎞ 9⎛ 1 1⎞νTкрVкр ⎜ − ⎟ ≈ − 0,3 K .⎜ − ⎟=8 ⋅ 5R⎝ V2 V1 ⎠ 20⎝ V2 V1 ⎠Замечания 1. В процессе Гей-Люссака температура газа Вандер-Ваальса всегда понижается, так как работа сил отталкивания невходит в потенциальную энергию газа.2.
Температура идеального газа в процессе Гей-Люссака не меняется ΔTид = 0 , так как его внутренняя энергия U = U (T ) не зависит от объема.⎛ 1 1⎞9Ответ: ΔT =νTкрVкр ⎜ − ⎟ ≈ − 0,3 K . Для идеального20⎝ V2 V1 ⎠газа ΔTид = 0 .Задача 9.2.14. Определите значения вириальных коэффициентов для газа Ван-дер-Ваальса. Параметры а и b уравнения Ван-дерВаальса считать известными.РешениеДля газа Ван-дер-Ваальса уравнение состояния⎛2 a ⎞⎜ p + ν 2 .
⎟ (V − νb ) = νRTV ⎠⎝265Гл. 9. Реальные газы. Жидкостиможно переписать в виде( p + a1n2 ) ⎛⎜⎝ n1 − b1 ⎞⎟⎠ = kBT ,(9.41)NNba, V = , b1 =и a1 = 2 .NANAnNAЗдесь b1 учитывает бесконечно большие силы отталкивания, недопускающие сближения молекул-шариков на расстояния меньшеих диаметра. Коэффициент b1 равен учетверенному собственномуобъему молекулы газа (w0): b1 = 4w0 .где ν =Величина p = a1n 2 имеет смысл дополнительного когезионного давления, обусловленного силами взаимного притяжения молекул.nk T1Перепишем (9.41) в виде p = B − a1n 2 и учтем, что1 − nb11 − nb1можно представить как сумму геометрической прогрессии:∞1= ∑ (nb1 )i = 1 + nb1 + (nb1 ) 2 + ...
.1 − nb1 i =0Тогда⎡⎤⎛a ⎞p = nk BT ⎢1 + n ⎜ b1 − 1 ⎟ + n 2b12 + ...⎥ .k BT ⎠⎝⎣⎦(9.42)Сравнивая (9.42) и (9.41), находим, чтоB = b1 −a1иk BT2C = b12 .(9.43)Для других моделей вириальные коэффициенты имеют инойвид.Для всех моделей при понижении температуры величина Вуменьшается и при некоторой температуре θ обращается в нуль (вaмодели Ван-дер-Ваальса – при θ = 1 ). При T < θ коэффициент k Bb1отрицательный. Значение температуры, при которой второй вириальный коэффициент равен нулю, называется θ -температуройФлори.266МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИОтвет: B = b1 −b2a1ba=− 2и 2C = b12 = 2 .k BT N A N A k BTNA9.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 9.3.1.
Один моль газа находится в адиабатической оболочке при температуре Т1. Определите изменение энтропии газапри его расширении в пустоту от объема V1 до объема V2, используя (1) модель идеального газа и (2) модель газа Ван-дер-Ваальса (аи b – постоянные уравнения Ван-дер-Ваальса, СV = const).VОтвет: ΔS(1) = R ln 2 ,V1⎡V2 − ba ⎛ 1 1 ⎞⎤ΔS(2) = CV ln ⎢1 +.⎜ − ⎟ ⎥ + R lnV1 − b⎣⎢ CV T1 ⎝ V2 V1 ⎠ ⎦⎥Задача 9.3.2. Два сосуда с объемами V1 и V2 соединены трубкой с краном (рис. 9.5).
В каждом из них при закрытом кране находится по одному молю одного и того же газа Ван-дер-Ваальса. Дооткрытия крана температура газа в обоих сосудах была равна Т0.Рис. 9.5. Два сосуда, соединенные трубкой с краном.Изменится ли температура, если открыть кран? Если да, то насколько? Определить давление газа после открытия крана. Стенкисосудов и соединяющей их трубки считать адиабатическими, а теплоемкость СV – не зависящей от температуры. Объемом трубкипренебречь.Ответ:a (V2 − V1 )22 RT4a−.ΔT = −<0, p=2CV V1V2 (V1 + V2 )V1 + V2 − 2b (V1 + V2 ) 2267Гл. 9. Реальные газы.
ЖидкостиПри V1 = V2 изменения температуры не происходит ( ΔT = 0 ) , таккак не изменяется среднее расстояние между молекулами и, такимобразом наряду с полной энергией остается неизменной и потенциальная энергия. В результате не меняется кинетическая энергия, а,следовательно, и температура.Задача 9.3.3. Термическим уравнением состояния для моля реального газа является уравнение Бертло:p=RTa−.V − b TV 2Определите внутреннюю энергию и C p − CV для данного газа.Ответ: U = CV T −2a+ U0 ,TV2⎡1 + a (V − b) / ( RT 2V 2 ) ⎤⎦ .C p − CV = R ⎣⎡1 − 2a (V − b)2 / ( RT 2V 3 ) ⎤⎣⎦Задача 9.3.4. Термическим уравнением состояния моля реального газа является уравнение Клаузиуса:p=RTa.−V − b T (V + c) 2Определите внутреннюю энергию и C p − CV для данного газа.Ответ: U = CV T −2a+ U0 ,T (V + c)2⎡1 + a (V − b) /( RT 2 (V + c) 2 ) ⎤⎦ .C p − CV = R ⎣⎡1 − 2a(V − b) 2 /( RT 2 (V + c)3 ) ⎤⎣⎦Задача 9.3.5.
Термическим уравнением состояния моля реального газа является уравнение Дитеричи:p=RTa ⎤⎡exp ⎢ −⎥.V −b⎣ RTV ⎦268МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ⎛ ∂U ⎞Определите ⎜⎟ и C p − CV для данного газа.⎝ ∂V ⎠Taa ⎤⎛ ∂U ⎞⎡Ответ: ⎜exp ⎢ −⎟ =⎥,⎝ ∂V ⎠T V (V − b)⎣ RTV ⎦C p − CV = R[1 + a /( RTV )]2a ⎤⎡exp ⎢ −⎥.⎡1 − a (V − b) /( RTV ) ⎤⎣ RTV ⎦⎣⎦2Задача 9.3.6. Газ Ван-дер-Ваальса в количестве ν молей переведен из состояния (Т1, V1) в состояние (Т2, V2). Молярная теплоемкость при постоянном объеме газа задана CV = const. Найдите приращение энтропии.⎡TV − νb ⎤Ответ: ΔS = ν ⎢CV ln 2 + R ln 2⎥.T1V1 − νb ⎦⎣Задача 9.3.7.
При увеличении объема температура одного молягаза Ван-дер-Ваальса уменьшается от Т1 до Т2 по законуT ~ 1/(V − b) , где b – параметр уравнения Ван-дер-Ваальса. Определите изменение энтропии и теплоемкость газа в этом процессе.Ответ: ΔS = ( CV − R ) ln (T2 / T1 ) , C = CV − R .Задача 9.3.8. Металлический сосуд заполнили водой при температуре 4 °С и атмосферном давлении. После этого сосуд плотнозакрыли и охладили до 0 °С (без образования льда).
Определитеизменение давления на стенки сосуда, пренебрегая изменением егообъема. Изменение плотности воды равно Δρ = 1, 3 ⋅ 10−4 г / см3 ,среднее значение коэффициента изотермической сжимаемости вэтом интервале температур χT = 5,05 ⋅ 10−5 атм −1 .Ответ: Δp =Δρ1, 3 ⋅ 10−4=≈ 2, 6 атм .ρ ⋅ χT 1, 0 ⋅ 5, 05 ⋅ 10−5Задача 9.3.9. Найдите выражения для параметров pкр, Vкр, Tкр вкритическом состоянии и уравнение критического состояния для νмолей газа Ван-дер-Ваальса, если постоянные Ван-дер-Ваальса a иb в расчете на один моль вещества известны.269Гл. 9. Реальные газы. ЖидкостиОтвет:Vν , кр = 3νb ,pν ,кр =a27b 2,Tν ,кр =8a27 Rbи3pν ,крVν ,кр = νRTν ,кр .8Задача 9.3.10.
Используя значения критических параметровдля метана pкр =45,8 атм , Vкр = 99 cм3 / моль , Tкр = 191 K , вычислите параметры уравнения Ван-дер-Вааальса и оцените радиусмолекулы метана.Ответ: a = 1,35 ⋅ 10−2 атм ⋅ м 2 / моль 2 , b = 3,3 ⋅ 10−5 м3 / моль ,1/3rCH 4⎡⎤b=⎢⎥⎣ (4 / 3)πN A ⎦≈ 0, 24 нм .Литература1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика.
М: Высшая школа,1981, §§32, 36.2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.СПб: Лань, 2007, гл.V.3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика имолекулярная физика. М: Наука. 1990, гл.VIII.4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.133-141.5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярнаяфизика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.9.6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики.
М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел VI.7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань,2005, 2.6.270МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИГлава 10ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ10.1. Теоретический материалФаза и поверхность раздела фаз. Фаза* – это однородная похимическому составу и термодинамическим свойствам (давление,температура, теплоемкость, сжимаемость, теплопроводность и др.),находящаяся в термодинамически равновесном состоянии частьсистемы, отделенная от других частей (фаз с отличными физическими свойствами) четко выраженной поверхностью раздела.Понятие фазы является более широким понятием, чем агрегатное состояние (газообразное, жидкое или твердое). Фазы одного итого же по химическому составу вещества, находящегося в твердомсостоянии, могут различаться кристаллической структурой (например, ромбические и моноклинные кристаллы серы).
Смесь газов(или идеальный раствор жидкостей) следует рассматривать как одну фазу, так как эта смесь всюду однородна по химическому составу и свойствам и не имеет поверхности раздела между составляющими ее частями.Поверхностное натяжение. Поверхность жидкости может одновременно находятся в контакте с различными веществами (фазами): газом, другой жидкостью или твердым телом. Переход от одной поверхности раздела фаз к другой происходит по линии (контуру, ограничивающему поверхность соприкосновения жидкости содной из фаз), которую будем называть линией разрыва поверхности раздела фаз (или кратко – линией разрыва поверхности).Сила поверхностного натяжения – это сила, действующая намолекулы, находящиеся на линии разрыва поверхности, по касательной к поверхности раздела фаз, в направлении сокращенияплощади поверхности и перпендикулярно линии разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
