Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 98
Текст из файла (страница 98)
., n, то для устойчивости системы достаточно, чтобы длялинеаризованной системы (17.71) при замене F(хk) =a хk можно было построить функциюЛяпунова V, производная от которой W является знакоопределенной отрицательнойфункцией при любом значении а в интервале a1<a<а2, если кривая F(хk) лежит междупрямыми F= а1 хk и F= а2 хk, как изображено, например, на рис. 17.14,а. Пусть, например,в прежней системе самолета с курсовым автопилотом (рис. 17.12, а) уравнениерегулируемого объекта имеет вид (17.55), привод руля имеет линейную характеристикуpδ = k 8U , но реостат при чувствительном элементе I(измерителе регулируемой величиныψ ) имеет нелинейную характеристику, в результате чего получается нелинейноеуравнение автопилотагде(17.72)а F(ψ ) — нелинейная функция, например, вида рис.
17.14, б. Введем обозначенияпеременных;Тогда уравнения автопилота (17.72) и самолета (17.55) примут вид (17.71), а именно:(17.73)Зададимся функцией V в видегде все шесть коэффициентов b неизвестны. Потребуем, чтобы функция(17.74)при фиксированном значении F(х2) = а0х2 в уравнениях (17.73) имела видТогда путем приравнивания соответствующих коэффициентов выражений (17.74) и(17.75) можно найти все шесть величин b из системы шести алгебраических уравнений.Здесь приводится результат решения только для трех коэффициентов, которыепонадобятся в дальнейшем, а именно:(17.76)где(17.77)Затем потребуем, чтобы выражение (17.74) при замене в уравнениях (17.73) F(х2) =ах2, гдё а = а0 + ∆ а, имело видчто дает значения:(17.78)Функция W будет знакоопределенной отрицательной, как требуется по условию, еслиЭти неравенства с учетом (17.78) приводятся к следующему:Подставив сюда (17.76), увидим, что это условие выполняется, если ∆ а лежит винтервале ∆ а1 <; ∆ а < ∆ а2, где(17.79)откуда видно, что ∆ a1 <0 и ∆ а2 > 0.
При этом требуется еще D>0. Нетрудно проверить,что последнее требование совпадает с критерием устойчивости (см. § 6.2) для даннойсистемы в линеаризованном виде при замене F (ψ ) = a 0ψ (рис. 17.14, б), так какхарактеристическое уравнение согласно (17.55) и (17.72) в этом случае будет(17.80)Итак, для устойчивости рассматриваемой нелинейной системы автоматическогорегулирования достаточно, во-первых, чтобы выполнялся критерий устойчивости ГурвицаD>0 для линеаризованной системы при F (ψ ) = a 0ψ и, во-вторых, чтобы нелинейнаяхарактеристика F (ψ ) измерителя регулируемой величины лежала, как указано на рис.17.14, б, между прямыми F = a1ψ и F = a 2ψ ; причем a1 = a0 + ∆ a1, а2 = a0 + ∆ а2 гдезначения ∆ a1,2 определяются формулой (17.79), в которой величины D, D1)из согласно(17.77) выражаются через параметры данной системы и через первоначально принятоезначение a0 при линеаризации F (ψ ) = a 0ψ .Как и в предыдущем примере, здесь получаются условия абсолютной устойчивости, т.
е.условия, не зависящие от формы нелинейности, но в более узких, чем (17.54), пределах,показанных на рис. 17.14, б.§ 17.3. Определение автоколебаний релейных систем методом припасовыванияВ § 17.1 с помощью фазовой плоскости были найдены автоколебания некоторыхнелинейных систем второго порядка. Еще ранее, в § 16.1, были исследованыавтоколебания в релейной системе второго порядка методом припасовывания. Однако идля релейных систем любого порядка также существует точное аналитическое решение,потому что релейные характеристики проще других нелинейных тем, что выходнаявеличина принимает только определенные постоянные значения ±с (а при наличии зонынечувствительности — еще и нулевое значение). Имеются методы аналитическогорешения Г. С.
Поспелова [95, 121], Я. 3. Цыпкина [135] и др.Изложим здесь решение А. И. Лурье для релейной системы любого-порядка по методуприпасовывания, полагая, что уравнения системы автоматического регулирования имеютвид(17.81)(переменная ξ играет роль переменной хn). Это имеет место, например, для системы снелинейной характеристикой двигателя в приводе регулирующего органа, причем dξ / dt-обозначает скорость двигателя, σ — управляющее воздействие на двигатель, r—передаточное число обратной связи. Выражения (17.81) представляют собой общуюформу записи уравнений.
В конкретных же задачах многие из коэффициентов аij, bi, сiмогут быть нулями что упростит выкладки.Преобразуем эти уравнения к специальной канонической форме.Записав первые n-1 из уравнений (17.81) в видеи преобразовав их к одной (любой) из переменных хk(k = 1, 2, . . ., n -1) получим(17.82)где определитель(17.83),а выражение Nk (р) получается из D(р) заменой k-го столбца на столбец.Многочлены D(р) и Nk (р) характеризуют собой свойства линейной части системы.Обозначим через λ 1, λ 2, . . ., λ n-1 корни многочлена D(р) и будем считать, что все ониразличны. Тогда уравнение (17.82) после разложения частного двух многочленов Nk (р) иD(р) на простейшие дроби можно будет записать в виде(17.84)где D' ( λ j) обозначает производную от многочлена D(р) по р, в которую подставленозначение р = λ j.
Введем новые переменные(17.85).Выписывая эти соотношения и добавляя к ним последние два из уравнений (17.81), вкоторых переменные хk заменяются по формулам (17.84) и (17.85) через yj, приходим кследующей системе уравнений:(17.86)где(17.87),Введем, наконец, еще новые переменные(17.88)Продифференцировав по времени все уравнения (17.86), кроме последнего, и исключивзатем из них ру и р ξ , получаем канонические уравнения. для заданной системы (17.81) ввиде(17.89)причем z1, z2, . . ., zn-1 и а называются каноническими переменными (а играет рольпеременной z). Эти уравнения имеют значительно более простой вид, чем исходныеуравнения (17.81), что и позволяет провести дальнейшие исследования в более простом иобщем виде.Следует заметить, что вещественным корням λ соответствуют вещественныеканонические переменные z, а комплексным корням — комплексные каноническиепеременные.Теперь требуется написать только выражения для исходных переменных (х1, х2, ..., Хn1, ξ ) через канонические (z1, z2, ..., zn-1, σ ).
Получим их.Если все корни λ j отличны от нуля, то из (17.88) имеемПодставляя это с учетом (17.85) в уравнения (17.84), находим выражения исходныхпеременных через канонические в виде(17.90)Если же один из корней многочлена D(р) равен нулю, напримерВ результате вместо (17.90) получаем формулы:(17.91)где(17.92)По последней из формул (17.91) определяется уn-1 и подставляется во все предыдущие.Рассмотрим случай, когда релейная характеристика Р (а) имеет гистерезисную петлю беззоны нечувствительности (рис.
17.15). В частном случае b = 0 это будет идеальнаярелейная характеристика. Искомые автоколебания предполагаются симметричными, т. е.вторая половина периода колебаний повторяет первую с обратным знаком(несимметричные автоколебания могут встретиться только в редких случаях). Обозначимполовину периода автоколебаний через Т. В течение одной половины периода, когда σ >0и согласно рис. 17.15 F( σ ) = с, уравнения (17.89) имеют видЕсли корни λ j не равны нулю, то общее решение этих уравнений будетгде С1,С2, . . ., Сn — произвольные постоянные интегрирования.
Они определяются изусловий периодичности, выражающих собой тот факт, что в конце полупериодаколебаний каждая переменная должна быть равна ее значению в начале периода собратным знаком а именно:если время t отсчитывать от начала рассматриваемого полупериода колебаний. Врезультате получаем:Следовательно, написанное выше решение имеет вид(17.93)в интервале времени 0 < t< Т.В начале полупериода (в момент переключения реле) согласно рис.
17.15 имеем σ = b .Подставив это в (17.93), получаем уравнение для определения полупериода автоколебанийТ:(17.94)Период автоколебаний будет 2Т. Следовательно, частота автоколебанийНеобходимо заметить, что для того, чтобы действительно произошло переключение реле,нужно согласно рис. 17.15 иметь возрастание величины σ при σ = b, т. е.
в этот моментдолжно быть р σ > 0. Отсюда получается, что должно выполняться следующее условиепереключения:(17.95)Кроме того, не должно быть обратного переключения реле внутри полупериода, т. е.требуется σ > -b при 0 < t <Т. Это можно проверить, построив кривую σ (t) по второй изформул (17.93).Амплитуда автоколебаний для любой переменной определяется как максимальное еезначение внутри полупериода (0 < t < Т) на основании формул (17.93).
Последние даюттакже и всю кривую автоколебательного процесса на участке 0 < t< T (на второмполупериоде она повторяется с обратным знаком, затем с прежним знаком и т. д.).В случае, если один из корней λ j , равен нулю, например λ n −1 = 0, то формулы (17.93),(17.94) и (17.95) заменяются соответственно следующими:(17.96)а также(17.97)(17.98)Устойчивость автоколебаний определяется на основании уравнений данной системы вмалых отклонениях от исследуемого автоколебательного процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
