Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Допустим, что соответствующая уравнению (17.18)парабола 3 — 4 не доходит до границы ϕ = π . Это означает, что тело больше не совершитполного оборота, а начнет (с точки А) возвращаться в сторону нулевого положения.В точке 4 (рис. 17.2) имеем скорость w4 =- b1. Следовательно, из (17.18) угловаякоордината ее будетгде w2 определяется по формуле (17.17). Дальше (4 — 5) процесс пойдет-с постояннойскоростью (так как Ф = 0), после чего тело войдет в установившийся автоколебательныйрежим, определяемый предельным циклом (5—6—7—8). Уравнение параболы 7—8согласно (17.15) будетОтсюда амплитуда угловых автоколебаний аф, как значение ф при w = 0, будет(17.19),а амплитуда колебаний скоростиОна равна зоне нечувствительности измерителя угловой скорости b1, в то время какамплитуда угловых колебаний (17.19) несколько больше зоны нечувствительностиизмерителя угла b.Период автоколебаний tа можно вычислить как сумму времен:где tхол и tраб — времена участков (6—7) + (8—5) и (5—6) + (7—8) соответственно.
Позаконам равномерного и равнозамедленного движений соответственно получаемИтак, установившийся режим стабилизации в данной системе являетсяавтоколебательным. Однако уравнение системы (17.13) справедливо только для идеальнойсистемы стабилизации. Всякое реально имеющееся запаздывание в работе усилительнопреобразовательного и исполнительного устройств приведет к увеличению амплитудавтоколебаний по сравнению с полученными здесь значениями. Решение задачи с учетомпостоянных времени системы управления будет дано в следующей главе.Пример 3. Уравнения системы автоматического регулирования курса водяной торпеды вупрощенном варианте имеют вид: линейная часть (16.40) и (16.41), т. е.(17.20)и нелинейное звено (возьмем сначала один случай)(17.21)Покажем, что здесь равновесное установившееся состояние системы с постояннымзначением ψ = 0 неустойчиво, но будет иметь место устойчивый автоколебательныйпроцесс.Возьмем фазовую плоскость (х, у) с координатами х = -ψ , у = рψ (угол отклонения иугловая скорость отклонения оси торпеды от заданного курса).
Уравнения (17.20) и (17.21)перепишутся в виде(17.22)Из сравнения этих уравнений с упрощенными уравнениями системы регулированиятемпературы в конце § 16.1 видна их полная аналогия. Поэтому здесь, так же как и вслучае рис. 16.15, установившийся процесс движения торпеды будет автоколебательным,причем картина фазовых траекторий будет иметь вид, показанный на рис. 17.3, а.При этом кривая АВ предельного цикла, соответствующая автоколебательному процессу,определяется из уравнения (16.31) с таким значением произвольной постоянной C1, чтобывыполнялось условие(17.23)так как только в этом случае и получится замкнутая кривая предельного цикла АВD (рис.17.3, а).
Определив таким образом С1 найдем амплитуду автоколебаний а как значение хпри у = 0, т. е. согласно (16.31)Значения же (17.23) дают амплитуду q колебаний скорости у. Можно все это определять играфически прямо по чертежу (рис. 17.3, а). Период автоколебаний остается неизвестным.Введем теперь в характеристику нелинейного звена (рулевой машинки) зонунечувствительности, как показано на рис. 17.3, б, в. Так, на том участке характеристикиδ = f (s) (рис. 17.3, 6), где δ = 0, из (17.22) следует, чточто соответствует наклонным прямым внутри полосы ЕFF1Е1 на фазовой плоскости (рис.17.3, б).
Аналогичная полоса НGG1Н1 будет и в нижней части плоскости. Все остальноезаполняется такими же кривыми, как на рис. 17.3, а.В результате с увеличением зоны нечувствительности размеры предельного цикла, азначит, и амплитуда автоколебаний уменьшаются. При b1 = 0 предельный циклвырождается в точку О.При дальнейшем увеличении зоны нечувствительности характеристика нелинейного звенаи картина фазовых траекторий принимают вид, показанный на рис.
17.3, в. Здесьавтоколебания отсутствуют и становится устойчивым установившийся процесс спостоянным значением ψ . Ранее неустойчивый особый отрезок F1G теперь сталустойчивым. Дальнейшее увеличение зоны нечувствительности приводит к расширениюотрезка F1G, т. е. к увеличению установившейся ошибки системы из-за слишкомширокого участка равновесия.Пример 4.
Рассмотрим вибрационный регулятор напряжения, уравнения которого былисоставлены в § 16.2, а именно:(17.24)причем уравнение нелинейного звена (регулирующего органа)(17.25)В качестве ординаты фазовой плоскости здесь удобнее взять не скорость отклоненияdUрегулируемой величины, как делалось раньше, а вторую переменную ∆I 2 . Итак,dtпримем для этой задачи(17.26)Тогда уравнения (17.24) преобразуются к виду(17.27)(17.28)где согласно (17.25), (17.26) и (17.28) имеем(17.29)следовательно, первое из этих условий имеет место ниже прямой (рис. 17.4), а второе— выше нее. В первом случае переключение реле происходит при у = i1; т.
е. на прямойСD (рис. 17.4), а во втором случае — при у=-i1, т. е. на прямой ЕF. Чертеж сделан впредположении, что k1k2r1 >i1.В результате получаем, что выше линии ЕFСD будет(17.30)а ниже линии ЕFСD(17.31)Рассмотрим сначала верхнюю область. Для нее, деля (17.28) на (17.27), с учетом (17.30)получим уравнение фазовых траекторий(17.32)которое можно представить в видеи проинтегрировать, применив вспомогательную подстановкугде z — новая переменная вместо у.
В результате найдем следующее уравнение фазовыхтраекторий (при Т1 >Т2):(17.33)(17.34)где С1 — произвольная постоянная,при γ = 1 решение будет иметь другой вид, а при γ <1 будет а < 0 и B< 0; эти решения небудут исследоваться).Чтобы представить себе всю совокупность фазовых траекторий, можно провести нафазовой плоскости прямую(17.35)и ко всем ординатам этой прямой добавлятьпридавая С1 произвольные значения (каждому значению С1 будет соответствоватьопределенная фазовая траектория). Это будут параболы степени γ с осью(17.37)и с единым началом в точке Н (рис.
17.4), имеющей координатыНа рис. 17.4 показаны все ветви этих парабол, лежащие выше линии ЕFСD (так как толькотам справедливы данные выкладки). Направления стрелок на полученных фазовыхdxтраекториях определяются тем, что проекция скорости изображающей точки υ x =dtсправа от прямой (17.37) согласно (17.27) будет отрицательна, а слева — положительна;dyпроекция же υ y =согласно (17.28) выше прямой у = k2х будет отрицательна, а ниже —dtположительна (во всех точках прямой у= k2x касательные к фазовым траекториямгоризонтальны).Аналогично строятся и все фазовые траектории ниже линии ЕFСD, так как ихдифференциальное уравнение отличается от (17.32) только заменой +r1 на —r1 согласно(17.31).В результате на рис.
17.4 видим, что все фазовые траектории, исходящие из особогоотрезка FОС, расходятся, а все траектории, идущие от краев чертежа, сходятся. Как те, таки другие асимптотически приближаются к установившемуся предельному циклу,обозначенному на чертеже жирной замкнутой кривой (чичевицеобразной). Этосоответствует тому, что установившийся процесс в системе является автоколебательным,причем размеры предельного цикла аU и аI2 представляют собой амплитуды автоколебанийсоответственно регулируемого напряжения ∆U и тока в обмотке электромагнита реле∆I 2 .Определить фазовую траекторию, образующую этот предельный цикл, можно как такуюкривую (17.33), у которой(17.38)чем определяется значение произвольной постоянной С1.
Значение x (17.38) для этойкривой и дает искомую амплитуду аU. Амплитуда же аI2 определяется как ординатапересечения кривой предельного цикла с прямой у =k2х (ибо, как было показано ранее, вточках этой прямой касательные к фазовым траекториям горизонтальны).Из чертежа (рис. 17.4) видно, что предельный цикл лежит левее точки L и охватываетточку С. Поэтому хс < аU < хL, т. е.
амплитуда автоколебаний регулируемого напряжениязаключена в интервалегде а и β определяются формулами (17.34). Амплитуда же aI2 будет немного больше i1.Пример 5. Рассмотрим следящую систему с сухим трением в управляемом объекте, длякоторой уравнения были написаны в § 16.3.
Уравнение регулируемого объекта (16.52) какнелинейного звена при отсутствий линейного трения (с2 = 0) имеет вид(17.39)При написании уравнения линейной части системы (16.53) пренебрежем постояннымивремени (чтобы иметь возможность рассматривать уравнение всей системы как уравнениевторого порядка), а именно;(17.40)Подставив это в уравнения объекта (17.39) и обозначивполучим уравнение всей следящей системы в целом:(17.41)(17.42)За координаты фазовой плоскости примем, как обычно, х = β , у = р β .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
