Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Нам понадобятсяв дальнейшем функции V (х1, х2, . . ., хn), которые обращаются в нуль в начале координат(т. е. при х1 = х2 = . . . = хn = 0) и непрерывны в некоторой области вокруг него.Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точкахэтой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде необращается в нуль, кроме только самого начала координат.Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но можетобращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг началакоординат может иметь разные знаки.Приведем примеры всех трех типов функций V.
Пусть n= 2 и V = x12 + x 22 . Это будетзнакоопределенная (положительная) функция, так как V=0 только тогда, когдаодновременно х1 = 0 и х2 = 0, и V > 0 при всех вещественных значениях x1 и х2.Аналогично при любом n функция V = x12 + x 22 + ... + x n2 будет знакоопределеннойположительной, V = −( x12 + x 22 + ... + x n2 ) — знакоопределенной отрицательной.Если взять функцию V = x12 + x 22 при n = 3, то она уже не будет знакоопределенной, таккак, оставаясь положительной при любых x1х2 и х3, она может обращаться в нуль нетолько при х1 = х2 = х3 = 0, но также и при любом значении х3, если x1= х2 = 0 (т. е.
на всейоси х3, рис. 17.9, а). Следовательно, это будет знакопостоянная (положительная) функция.Наконец, функция V = x1 + х2 будет знакопеременной, так как она положительна для всехточек плоскости справа от прямой х1 = —х2 (рис. 17.9, б) и отрицательна слева от этойпрямой.Заметим, что в некоторых частных задачах нам понадобится также функция V, котораяобращается в нуль не в начале координат, а на заданном конечном отрезке АВ (рис.17.9,б).
Тогда знакоопределенность функции V будет обозначать ее неизменный знак инеобращение в нуль в некоторой области вокруг этого отрезка.Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любую функцию(17.48)тождественно обращающуюся в нуль при х1 = х2 = . . . = хn =0, будем называть функциейЛяпунова, если в ней в качестве величин х1, х2, . .
., хn взяты те отклонения переменныхсистемы регулирования в переходном процессев которых записываются уравнения (17.46) для этой системы. Производная отфункции Ляпунова (17.48) по времени будетdxdx1,..., n из заданных уравнений системыdtdtрегулирования в общем случае (17.46), получим производную от функции Ляпунова повремени в видеПодставив сюда значения(17.49)где Х1, Х2, …, Хn — правые части уравнений (17.46) системы автоматическогорегулирования, представляющие собой заданные функции от отклонений x1, x2, . . ., хn.Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же как и сама V,является некоторой функцией отклонений, т.
е.(17.50)причем согласно свойству (17.47) эта функция, W так же как и сама V, тождественнообращается в нуль при х1= х2 = . . . = хn = 0. Поэтому к ней в одинаковой степени можноприменять все те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства изнакопеременности в некоторой области вокруг начала координат, о которых говорилосьвыше по отношению к функции V.Здесь шла речь только об уравнениях (нелинейных), в которые не входит в явном видевремя г, так как только этот случай будет рассматриваться в дальнейшем.
Вообще жеметод Ляпунова может применяться и при наличии времени t в явном виде, в частностидля уравнений с переменными коэффициентами (линейных и нелинейных).Базируясь на этих предварительных сведениях, дадим общую формулировку теоремЛяпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и покажем ихсправедливость.
Теоремы эти годятся для исследования устойчивости системрегулирования не только при малых, но и при больших отклонениях, если для нихсправедливы исходные уравнения данной системы регулирования. Устойчивость системыпри любых больших начальных отклонениях называется коротко устойчивостью в целом.Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. Теорема формулируетсяследующим образом: если при заданных в форме (17.46) уравнениях системы n-го порядкаможно подобрать такую знапоопределенную функцию Ляпунова V(x1 x2, .
. ., хn), чтобыее производная по времени W(х1, х2, . . . . . ., хn) тоже была знакоопределенной (илизнакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная системаустойчива. При знакоопределенной функции W будет иметь место асимптотическаяустойчивость.Проиллюстрируем справедливость этой теоремы на наглядных геометрических образах.Для простоты возьмем систему третьего порядка (n = 3). Уравнения (17.46) для нее вобщем виде будут(17.51)Возьмем знакоопределенную положительную функцию Ляпунова в виде(17.52)где а, b, с — произвольно заданные вещественные числа. Будем придавать величине Vвозрастающие постоянные значения: V = 0, С1, С2, С3, .
. ., что означаетПервое из этих выражений соответствует одной точке x1 = x2 = x3 = 0 (началу координатфазового пространства), а остальные — поверхностям эллипсоидов в фазовомпространстве, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целикомпредыдущий (рис. 17.10).Возьмем теперь производную от функции Ляпунова по времени. Согласно (17.49) и(17.52) :где функции Х1, Х2, Х3 берутся из заданных уравнений системы регулирования (17.51).Если полученная таким путем функция W(x1; х2, х3) окажется знакоопределеннойотрицательной, т. е.
если(17.53)во всех точках исследуемого фазового пространства, кроме одного только началакоординат, гдето при любых начальных условиях изображающая точка М (рис. 17.10) вследствие(17.53) будет двигаться в сторону уменьшения значения V, т. е. будет пересекатьэллипсоиды, изображенные на рис. 17.10, извне внутрь. В результате с течением времениизображающая точка М будет стремиться к началу координат О фазового пространства иуже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла.Это и означает затухание всех отклонений х1,х2, х3 в переходном процессе с течениемвремени. Таким образом, установлена устойчивость данной системы регулирования, чтоиллюстрирует справедливость теоремы для системы третьего порядка (в случаезнакоопределенной функции W).Отсюда вытекает справедливость теоремы и в общем случае.
Рассуждения остаютсяаналогичными, только вместо трех уравнений (17.51) будет n уравнений (17.46). Как ираньше, для любой знакоопределенной положительной функции Ляпунова V (х1, х2, . . .,хn) — С получим некоторые замкнутые поверхности, окружающие начало координат (рис.17.10), но уже не в обычном трехмерном, а в n-мерном фазовом пространстве (их иногданазывают гиперповерхностями). Поэтому, если производнаяокажется знакоопределенной отрицательной, то траектория изображающей точки М в nмерном пространстве при любых начальных условиях с течением времени будетпересекать указанные поверхности только извне внутрь, что и свидетельствует обустойчивости данной системы.Если же функция W будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то очевидно, чтотраектория изображающей точки М не везде будет пересекать поверхности V = С а можетих касаться в тех точках, где W обращается в нуль (помимо начала координат). Но так какво всех других местах фазового пространства функция W имеет один и тот же знак,вследствие чего изображающая точка может идти только извне внутрь поверхности V = С,то при решении задачи остается только проверить, не «застрянет» ли изображающая точкатам, где W=0 (см.
пример ниже).Замечания к теореме Ляпунова об устойчивости. По поводу сформулированной теоремыЛяпунова об устойчивости системы необходимо сделать следующие два важныхзамечания.1. В теореме речь идет о подборе функции Ляпунова V (x1 х2, . . ., хn). Вообще говоря,при заданных в форме (17.46) уравнениях системы регулирования можно подобратьнесколько различных вариантов функции V, поскольку требуется толькознакоопределенность ее и ее производной. Различные варианты функции V,удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты условийустойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них будутшире, другие уже, последние могут входить в первые как частный случай и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
