Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Эти уравненияявляются линейными уравнениями с периодическими переменными коэффициентами.Согласно теории Ляпунова (приводится без вывода), необходимым и достаточнымусловием устойчивости автоколебаний является отрицательность вещественных частейвсех корней следующего характеристического уравнения:а если λ n −1 = 0, то(17.99)(17.100)где через р, как и везде ранее, обозначена переменная характеристического уравнения.Пример. Рассмотрим систему самолета с курсовым автопилотом (в упрощенном виде),которая исследовалась в § 17.2, но только характеристику привода руля возьмем релейнуюв виде рис. 17.15.
В § 17.2 были получены условия устойчивости системы на основаниитеорем Ляпунова (устойчивость системы по отношению к установившемуся состоянию спостоянным значением угла курса). Теперь же будем искать автоколебания и условия, прикоторых они имеют место.Уравнения самолета и автопилота согласно (17.55), (17.60) и (17.59) запишем здесь в виде(17.101)где ψ — отклонение самолета от заданного курса, ξ — отклонение руля, σ —управляющее воздействие на рулевую машинку (в закон регулирования введенапроизводная и имеется обратная связь).
Пусть последнее из уравнений (17.101)изображается графиком рис. 17.15 (рулевая машинка постоянной скорости). Положив(17.102)приведем уравнения (17.101) к виду (17.81). В наших обозначениях получим:Следовательно, в уравнениях (17.81) в данном случае имеем:Определитель (17.83) здесь будета корни егоВычислив N1(р) и N2(p) согласно указанию формуле (17.83), а также производную D' (р) икоэффициенты β 1; β 2, h1, h2 по формулам (17.87) и (17.92), получим:В результате канонические уравнения (17.89) здесь будут(17.103)а выражения (17.91) для прежних переменных x1, x2, ξ через канонические z1 и z2Примут видПодставив y2 из последнего уравнения во второе и использовав (17.102), получаемследующие выражения для исходных переменных через канонические:(17.104)Далее согласно (17.97) записываем уравнения для определения полупериодаавтоколебаний:или(17.105)где введено обозначение(17.106)Левая часть равенства (17.105) изображается прямой АВ (рис.
17.16,а), а правая Рис.17.16. часть — кривой OD. Точка пересечения их является решением уравнения(17.105). Из графика видно, что это уравнение имеет решение только при условии(17.107)причемПри а > 1 прямая АВ не пересекается с кривой ОD, что означает отсутствиеавтоколебаний при этих значениях а.Но кроме равенства (17.105) необходимо еще выполнение условия переключения (17.98),которое в данном случае будетили(17.108)Следовательно, если даже значение, а лежит в интервале (17.107), но не выполняетсяусловие (17.108), то автоколебаний в системе не будет.Для исследования устойчивости автоколебаний запишем характеристическое уравнение(17.100).
Оно получает здесь видСлучай 1 + pthT= 0 , когда знаменатель обращается в нуль, нереален. Поэтому, считая2T1T≠ 0 , приведем это уравнение к общему знаменателю, использовав обозначение2T1(17.106), что дает1 + pthПоскольку данное характеристическое уравнение имеет вторую степень, то дляустойчивости исследуемых колебаний необходима и достаточна положительность егокоэффициентов. Коэффициент при р2 положителен. Коэффициент при р согласно (17.107)тоже положителен. Поэтому условие устойчивости автоколебаний сводится кположительности свободного члена этого уравнения, т.
е.Отсюда с учетом (17.107) заключаем, что имеются две области устойчивыхавтоколебаний:(17.109)Между ними лежит область неустойчивого периодического решения(17.110)где при начальных условиях, приводящих к отклонениям, которые больше амплитудыэтого периодического решения, в системе получаются расходящиеся колебания.Условие а < 0, где всегда имеют место устойчивые автоколебания, согласно (17.106)означаетт. е. неустойчивую систему (17.110) можно сделать устойчивой автоколебательнойсистемой путем усиления интенсивности введения производной в закон регулированиясогласно (17.111). При этом необходимо параметры системы подобрать так, чтобыдобиться достаточно малого значения амплитуды автоколебаний и приемлемой (потехническим условиям) частоты их.Для вычисления амплитуды автоколебаний нужно сначала по формулам (17.96) записатьрешения для z1, z2 и σ , а именно;Затем по последней из формул (17.104) надо записать решение для, угла рысканиясамолета ψ (t ) и угла отклонения руля ξ = z 2 , что дает(17.112)По этим уравнениям можно построить графики автоколебаний самолета (рис.
17.16, б) ируля (рис. 17.16, в), причемАмплитуда автоколебаний руля, как видно из рис. 17.16, в, будетгде с — скорость движения руля согласно характеристике рис. 17.15.Амплитуда автоколебаний самолета (по углу рыскания) aψ найдется как максимумфункции ψ (t) на участке 0 < t< Т. Взяв от ψ (17.112) производную по t и приравняв еенулю, получаем следующее уравнение для определения времени t= tм, соответствующегомаксимуму ψ :Это уравнение решается графически, как показано на рис.
17.16, г. Определив такимобразом величину tм, подставляем ее в первую из формул (17.112), что и дает искомуюамплитуду автоколебаний самолетаЧастота же автоколебаний определяется через полупериод Т, найденный на основанииуравнения (17.105) графически (рис. 17.16, а).Заметим, что задача в данном примере ради простоты решена лишь для упрощенногоуравнения движения самолета по курсу (первое из уравнений (17.101)) и в предположениистрогого постоянства скорости рулевой машинки.§ 17.4.
Частотный метод В. М. ПоповаРешение задачи об абсолютной устойчивости системы с одной однозначнойнелинейностью (т. е. устойчивости при любой форме этой нелинейности со слабымограничением типа (17.54) или типа рис. 17.14) с помощью теорем прямого методаЛяпунова было проиллюстрировано на двух примерахв § 17.2.Изложим теперь частотный метод, предложенный румынским ученым В. М. Поповым[97], при использовании которого та же задача решается более просто приемами,аналогичными частотным способам исследования устойчивости линейных систем.Если в системе автоматического регулирования имеется лишь одна однозначнаянелинейность(17.113)то, объединив вместе все остальные (линейные) уравнения системы, можно всегдаполучить общее уравнение линейной части системы (рис. 17.17, а) в виде(17.114)гдепричем будем считать m< n.Пусть нелинейность у = F(х) имеет любое •очертание, не выходящее за пределы заданногоугла arctgk (рис.
17.17, б), т. е. при любом x(17.115)Пусть многочлен Q(р) или, что то же, характеристическое уравнение линейной частиQ(р)= 0 имеет все корни с отрицательными вещественными частями или же кроме нихимеется еще не более двух нулевых корней. Другими словами, допускается, чтобы аn = 0или аn = 0 и аn-1 = 0 в выражении Q(р), т.
е. не более двух нулевых полюсов в передаточнойфункции линейной части системыПриведем без доказательства формулировку теоремы В. М. Попова: для установленияустойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительноечисло И, при котором при всех w ≥ 0(17.116)где W(jw) — амплитудно-фазовая частотная, характеристика линейной частисистемы. При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобыа при двух нулевых полюсахТеорема справедлива также и при наличии в знаменателе Q(р) передаточной функциилинейной части не более двух чисто мнимых корней, но при этом требуются некоторыедругие простые добавочные условия [2], называемые условиями предельнойустойчивости.Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию,связана с введением видоизмененной частотной характеристики W* (jw), котораяопределяется следующим образом:где То = 1 сек — нормирующий множитель.График W* (jw) имеет вид (рис.
17.18, а), аналогичный W(jw), когда в выражениях Q(р) иR(р) разность степеней n-m > 1 . Если же разность степеней n-m = 1, то конец графика W*(jw) будет на мнимой оси ниже начала координат (рис. 17.18, б).Преобразуем левую часть неравенства (17.116):Тогда, положиви использовав соотношения (17.117), получим вместо (17.116) для теоремы В. М. Поповаусловие(17.118).при всех w>0Очевидно, что равенство(17.119)представляет уравнение прямой на плоскости W* (jw).Отсюда вытекает следующая графическая интерпретация теоремы В. М. Попова: дляустановления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую наплоскости W* (jw), проходящую через точку (-1/k ,j0), чтобы вся кривая W* (jw) лежаласправа от этой прямой.На рис.
17.19 показаны случаи выполнения теоремы. В этих случаях нелинейная системаустойчива при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием(17.115). На рис. 17.20 показаны случаи, когда теорема не выполняется, т.е. нелинейнаясистема не имеет абсолютной устойчивости.Заметим, что, например, в задаче о самолете с автопилотом (§ 17.2) условие (17.54)означает любое расположение нелинейной характеристики во всем первом (и третьем)квадранте.
Во всех подобных случаях согласно рис. 17.17 имеем Н = оо. В теореме В. М.Попова при этом вместо (17.116) получаем условие(17.120)а вместо (17.118)(17.121)при всех w > 0. Поэтому в графической интерпретации прямая должна проходить не так,как показано было на рис. 17.19, а через начало координат. В частности, для указанногопримера (§ 17.2) уравнения (17.63) можно преобразовать к видугде обозначено у= -рх2, причем р — производная по τ .
Передаточная функция линейнойчасти системы будетОтсюдаУмножив числитель и знаменатель на 1-jw, получима согласно (17.117)(17.122)Неравенство (17.121) принимает вид(17.123)Очевидно, что это неравенство может быть выполнено при любом w>0 если(17.124)и если h берется сколь угодно большим, чтобы обеспечить неравенство (17.123) при скольугодно малых w.Полученное условие (17.124) выполняется причто точно совпадает с найденными ранее условиями абсолютной устойчивости даннойсистемы (17.69) и (17.70). Смысл практической реализации этих условий был разъяснен в§ 17.2.Графически критерий устойчивости выражается в том, что вся кривая W*(jw) =U*(jw)+jV*(w), построенная согласно (17.122), расположена (рис. 17.21, а) справа отпрямой U* — hV* =0, обозначенной штрих-пунктиром, со сколь угодно малым наклоном,если 1+r- γ > 0. Если же 1+r - γ < 0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
