Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 101
Текст из файла (страница 101)
е. криволинейная или ломаная характеристика у = F(х) с точностью до высшихгармоник заменяется прямолинейной, тангенс угла наклона которой зависит от размераамплитуды колебаний а. Другими словами, нелинейное звено уподобляется «линейному»с передаточным числом (коэффициентом усиления), зависящим от амплитуды аколебаний входной величины х.Гистерезисная же петля вводит согласно (18.9), кроме того, еще производную, дающуюотставание по фазе, так как q' (а) < 0.
Таким образом, нелинейное отставание покоординате в виде гистерезисной петли превращается при гармонической линеаризации вэквивалентное линейное отставание по фазе.Можно создать специальное нелинейное звено с опережающей петлей, что будетэквивалентно линейному опережению фазы при введении производной, но с тем'отличием, что величина опережения фазы будет зависеть от размера амплитудыколебаний, чего нет в линейных системах.В случаях, когда нелинейное звено описывается сложным уравнением, включающимсумму различных линейных и нелинейных выражений, каждый из нелинейных членовподвергается гармонической линеаризации по отдельности.
Произведение женелинейностей рассматривается обязательно в целом как одна сложная нелинейность. Приэтом могут встретиться иного характера нелинейные функции.Например, при гармонической линеаризации второго из уравнений (16.3) придется иметьдело с функцией F(р2х, рх) при х = аsinwt. В этом случае получаем(18.11)при условииЕсли же функция F(р2х, рх) или функция F(рх) будет единственной нелинейной функциейв уравнении нелинейного звена, то при гармоническойлинеаризации можно положить рх =asinwt ианалогично прежним формулам (18.6) и (18.7). Но при этом величина а во всех выкладкахбудет амплитудой колебаний скорости рх, а не самой координаты х.
Последняя же будетиметь тогда амплитуду ах = а/w.При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации по формулам (18.10) надоиметь в виду, что при симметричных нелинейных характеристиках интеграл (0, 2 π )можно получить удвоением интеграла (0, π ), т. е.(18.12)а для симметричных относительно начала координат безгистерезисныххарактеристик F(х) при вычислении q(а) можно писать(18.13)Приведем выражения для коэффициентов некоторых простейших нелинейных звеньев.Затем их можно будет непосредственно использовать при решении различных конкретныхзадач.Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев. Найдемкоэффициенты q(а) и q' (а) уравнений наиболее типичных релейных звеньев по формулам(18.10).
Возьмем общий вид характеристики релейного звена х2 = F(х1), изображаемойграфиком рис. 18.1, а, где m есть любое дробное число в интервале -1 < m < 1. Какчастные случаи будут получены уравнения других типов релейных звеньев.Если колебания входной величины х1 = а sinwt имеют амплитуду а<b, то согласно рис.18.1, а движения в системе не будет. Если амплитуда а >b, то переключения релепроисходят в точках А, В, С, D (рис.
18.1, б), в которых имеем(18.14)Следовательно, после использования свойств (18.12) каждый из интегралов (18.10)разбивается на три слагаемых:причем первое и третье из них согласно рис. 18.1, а и б будут нулями. Поэтомувыражения (18.10) принимают видоткуда(18.15)а уравнение релейного звена с характеристикой вида рис. 18.1, а будет иметь вид (18.9) сполученными здесь значениями q(а) и q' (а).Рассмотрим частные случаи.Для релейного звена с характеристикой без гистерезисной петли, но с зонойнечувствительности b (рис. 18.1, г), полагая m = 1, из вышенаписанных формул получаем(18.16)Для релейной характеристики с гистерезисной петлей типа рис.
18.1, дг полагая m = -1,имеем(18.17)Наконец, для идеального релейного звена (рис. 18.1, е), полагая b = 0 находим(18.18)На последнем примере легко видеть смысл гармонической линеаризации релейнойхарактеристики. Написанное выражение для д означает замену ломаной характеристикиАВСD прямолинейной MN (рис. 18.1, е) с таким наклоном, чтобы эта прямая МNприблизительно заменяла собой тот участок ломаной АВСD, который охватываетсязаданной амплитудой а. Отсюда становится вполне понятной обратно пропорциональнаязависимость q от а, даваемая формулой (18.18), так как чем больше амплитуда аколебаний входной величины x1, тем более пологой должна быть прямая MN,приблизительно заменяющая ломаную АВСD.Аналогично обстоит дело и с релейной характеристикой на рис. 18.1, г, для которойнаклон заменяющей ее прямой дается формулой (18.16).
Следовательно, всякоебезгистерезисное релейное звено в колебательном процессе эквивалентно такому«линейному» звену, передаточное число (коэффициент усиления) которого q(а)уменьшается с, увеличением амплитуды колебаний входной величины, начиная с а = b 2 .Что касается релейного звена с гистерезисной петлей, то согласно (18.9) и (18.17) онозаменяется линейным звеном с аналогичным прежнему коэффициентом усиления д (а), но,кроме того, еще с введением отрицательной производной в правой части уравнения.Введение отрицательной производной в противовес положительной (см. § 10.2) вноситотставание по фазе в реакции звена на входное воздействие. Это служит «линейнымэквивалентом», заменяющим эффект действия нелинейности в виде гистерезисной петли.При этом коэффициент q' (а) при производной согласно (18.17) тоже уменьшается сувеличением амплитуды а колебаний входной величины x1 что и понятно, так как эффектвлияния гистерезисной петли на процесс колебаний в релейном звене должен быть темменьше, чем больше амплитуда колебаний по сравнению с шириной гистерезисной петли.Коэффициенты гармонической линеаризации других простейших нелинейныхзвеньев.
Рассмотрим нелинейное звено с зоной нечувствительности и с насыщением (рис.18.2, а). Согласно рис. 18.2, б, где(18.19)интеграл (18.10) на участке (0, π ) разбивается на пять слагаемых, причем два из нихравны нулю. Поэтомуоткуда с заменой с = (b2 — b1)k и b1 = sinu1, b2 = sinu2 получаем(18.20)где ψ 1 и ψ 2 определяются формулами (18.19). Ввиду отсутствия гистерезисной петлиздесь q' = 0.Итак, уравнение нелинейного звена с характеристикой вида рис.
18.2, а будет х2 = q(а) х1,где q(а) определяется выражением (18.20).Как частный случай отсюда получается значение q(а) для звена с зонойнечувствительности без насыщения (рис. 18.2, в). Для этого в предыдущемрешении нужно положить а < b и, следовательно, ψ 2 = π / 2 . Тогда(18.21)Как видим, звено с зоной нечувствительности уподобляется здесь линейному звену суменьшенным за ее счет коэффициентом усиления. Это уменьшение коэффициентаусиления значительно при малых амплитудах и невелико при больших, причем0 ≤ q (a) ≤ k при b ≤ a ≤ ∞ .Для второго частного случая — звено с насыщением без зоны нечувствительности (рис.18.2, г),— полагая b1 = 0, т. е.
ψ 1 = 0, из (18.20) и (18 19) получаем(18.22)cимеем q= k (линейная характеристика) . При амплитудах колебанияkвходной величины, захватывающих зону насыщения, данное звено заменяется как былинейным звеном с тем меньшим коэффициентом усиления q(а), чем больше амплитуда (впротивоположность предыдущему).Для звена с переменным коэффициентом усиления согласно рис. 18.2, д и е по формуле(18.10) с учетом (18.12) получаемпричем при a ≤что с заменой sinψ 1 = b дает(18.23)Здесь ломаная характеристика (рис.
18.2, д) заменяется одной прямой со средним междуk1 и k2 наклоном q(а), причем этот наклон изменяется в интервале k1 ≤ q (a ) ≤ k 2 приувеличении амплитуды b ≤ a ≤ ∞ . Для амплитуд а < b имеем линейную характеристику снаклоном k1.Для нелинейного звена с насыщением и с гистерезисной петлей (рис. 18.3, а) уравнениеполучит уже вид (18.9), где согласно рис.
18.3, б и формулам (18.10)аналогично и для q'(а). Отсюда(18.24)где(18.25)Если в таком нелинейном звене амплитуда колебаний входной величины х1 будет а < b, тов процессе колебаний не будет захватываться зона насыщения и получится чистогистерезисная характеристика (рис. 18.3, в). В данном случае(18.26)Уравнение звена с гистерезисной характеристикой вида рис. 18.3, в поэтому будет иметьформу (18.9), где согласно (18.24)(18.27)Величина ψ 1 вычисляется по формуле (18.26).Такого же типа характеристика (рис.
18.3, в) получалась и для чувствительного элемента ссухим трением в системе регулирования давления, рассмотренной в § 16 (см. рис. 16.21,б), когда мы пренебрегали массой. Следовательно, для такого нелинейного звена с сухимтрением будут справедливы те же формулы (18.27) с заменой в них только(18.28)а уравнение (16.58) для колебательного процесса в форме (18.9) будет(18.29)Этого же типа характеристика (рис. 18.3, в) имела место и для нелинейного звена сзазором в следящей системе (см. рис. 16.20, б), причем там k = 1. Следовательно,уравнение (16.55) данного нелинейного звена (для колебательного процесса) запишется ввиде(18.30)где q(а) и q' (а) определяются по формулам (18.27), в которых надо считать k = 1.Для нелинейностей, не заданных аналитически, существует графический способопределения д (а) (см.
§ 3.8 в книге [100]).§ 18.2. Алгебраические способы определения автоколебаний и устойчивости внелинейных системах первого классаОсновываясь на вышеизложенной гармонической линеаризации, составим гармоническилинеаризованное уравнение всей замкнутой нелинейной автоматической системы в целом(рис. 16.1). Пусть известно дифференциальное уравнение линейной части системы(18.31)причем линейная часть может иметь структуру любой сложности (и любой порядокуравнения).Уравнение нелинейного звенав колебательном процессе после гармонической линеаризации запишем в виде(18.32)В частности, для нелинейной характеристики х2=F(x1) ной петли будетУравнение нелинейного звена (18.32) записано, как видим, без учета высших гармоник,фигурировавших в предыдущем параграфе. Это сделано отнюдь не потому, что они малы.В отдельно взятом нелинейном звене при подаче на вход x1=sinwt в общем случае навыходе обязательно появятся высшие гармоники.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
