Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Однако в замкнутой автоматическойсистеме (рис. 18.4, а) линейная часть имеет обычно амплитудную частотнуюхарактеристику одного из двух видов, показанных на рис. 18.4, б. Поэтому высшиегармоники, имеющиеся у переменной а;2, гасятся в линейной части и переменная х2оказывается достаточно близкой к синусоиде; x1 = аsinwt.
В таком виде и будем искатьприближенное периодическое решение для нелинейной автоматической системы.Свойство линейной части системы, определяющее вид амплитудной частотнойхарактеристики типа изображенной на рис. 18.4, б, именуется свойством фильтра.Аналитическое обоснование сказанного см. в книге [100, § 2.2].Как видим, в коэффициенты уравнения (18.32) входят амплитуда а и частота w искомогоколебательного процесса.На основании уравнений (18.31) и (18.32) можно написать гармонически линеаризованноехарактеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы в виде(18.33)с теми же особенностями в коэффициентах, что и в уравнении (18.6), описанными в § 18.1.В том случае, когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающиеколебания постоянной амплитуды а = ап и постоянной частоты w = wп (автоколебания),коэффициенты уравнения (18.32), а значит, и коэффициенты характеристическогоуравнения (18.33), становятся постоянными.
Вместе с тем из линейной теории известно,что появление указанных колебаний в системе при постоянных коэффициентахсоответствует наличию пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнениисистемы.Следовательно, можно обнаружить в замкнутой нелинейной системе появлениенезатухающих собственных колебаний вида х ≈ ап sinwt(ап = const, w = const), подставив вхарактеристическое уравнение (18.33) Р = jwп.
Если эта подстановка р = jwп соответствуеткаким-нибудь вещественным положительным значениям а =ап и w = wп при заданныхпараметрах системы, то такие колебания возможны. Но подстановка р =jwп вхарактеристическое уравнение с постоянными коэффициентами эквивалентна отысканиюграницы устойчивости линейной системы. Следовательно, появление незатухающихсобственных колебаний в нелинейной системе можно обнаружить применением кхарактеристическому уравнению (18.33) любого из методов определения границыустойчивости линейной системы, изложенных в главе 6.Основной способ определения периодических решений.
Используем непосредственнуюподстановку р = jw в гармонически линеаризованное характеристическое уравнение, аименно(18.34)яри неизвестных постоянных значениях амплитуды а и частоты w, входящих вкоэффициенты q и q', причем для однозначной нелинейной характеристики F(x1) будетВыделим в выражении (18.34) вещественную и мнимую части:(18.35)и введем для частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения:w=wп, а = aп. Это дает два уравнения(18.36)из которых и определяются неизвестные частота wп и амплитуда ап.Если уравнения (18.36) не имеют положительных вещественных решений для ап и wп, топериодические решения вообще (а значит, и автоколебания) в данной нелинейной системеневозможны.Исследование устойчивости периодического решения дается ниже.С помощью уравнений (18.36) можно не только определять частоту wп и амплитуду апавтоколебаний при заданных параметрах системы, но и построить графики зависимостейwп и ап от какого-либо параметра системы, например коэффициента усиления k.
Для этогонужно считать в уравнениях (18.36) параметр k переменным и записывать эти уравнения ввиде(18.37)Отсюда можно найти зависимостии построить их, например, в виде графиков рис. 18.5, а, б. На основании этих трафиковможно будет выбирать параметр k так, чтобы амплитуда автоколебаний была достаточномалой, чтобы частота их не была опасной для данной системы или же, наконец, чтобыавтоколебаний не было вовсе.Кроме того, с помощью тех же уравнений (18.36) можно строить линии .равных значенийамплитуды и частоты автоколебаний на плоскости двух каких-либо параметров системы,например k и Т .
Для этого уравнения (18.36) записываются в виде(18.38)Зададимся различными числовыми значениями амплитуды ап и получим для каждого изних по уравнениям (18.38) зависимостиПосле этого, меняя wп, можно построить по точкам соответствующие кривые ап = const; вкоординатах (k, T), как показано сплошными линиями на рис. 18.5, в. На этих кривыхполучаются отметки частот wп, которые также можно соединить (пунктирныекривые).График рис. 18.5, в позволяет выбирать, значения двух параметров (k и Т) нелинейнойсистемы. Если такие графики построить, для различных возможных структурных схемсистемы, то можно будет выбирать, также и наивыгоднейшую структурную схемупроектируемой замкнутой автоматической системы с учетом нелинейностей.Использование графиков коэффициентов гармонической линеаризации.
Во многихзадачах коэффициенты q и q', входящие в уравнение (18.34), сложно зависят от амплитудыа, а в ряде случаев и от частоты w. В таких случаях удобнее указанное уравнениезаписывать в виде(18.39)не подставляя зависимости q и q' от а и w. Тогда вместо уравнений (18.36) получим дляопределения периодического решения уравнения:(18.40)Для общего случая задач, в которых каждый из коэффициентов гармоническойлинеаризации q и q' зависит сложным образом от обеих неизвестных а и w, т. е.(18.41)можно применить следующий прием решения.
Задаваясь различными значениями а и со,построим по формулам (18.41) две серии кривых: q(w) и q' (w) при разных а = const; (рис.18.6). Затем из уравнений (18.40) выразим(18.42)и эти две кривые нанесем на тех же графиках. Теперь остается на этих двух кривых найтитакие точки С и В, в которых кривые Z1 (w) и Z2 (w) пересекают линии с одинаковымизначениями а при одном и том же значении w. Полученные величины а и w будутрешением задачи, т. е.
амплитудой ап и частотой wп искомого периодического решения.Во многих встречающихся на практике задачах вместо (18.41) будет(18.43),Тогда кривые q и q' на рис. 18.6 для разных амплитуд будут иметь вид горизонтальныхпрямых линий.В простейшем случае, когда в системе имеется однозначная нечетно-симметричнаянелинейность F(х), для которой q = q(а) и q' = 0, из уравнений (18.40) можно найти(18.44)Тогда, исключив q из уравнений (18.40), найдем частоту w = wп как функцию параметровсистемы. Затем, изобразив график зависимости д (а) (рис.
18.7), проведем на нем согласно(18.44) горизонтальные линии q =Z(w) для разных постоянных значений w= wп, т. е. дляразных соотношений параметров системы. Точки пересечения этих прямых (w = wп) скривой q(а) (например, на рис. 18.7 точки ап1 и ап2) определяют в каждом случаеамплитуды периодических решений,. Если пересечений нет, то и периодических решенийв системе не будет. В простейших случаях уравнение (18.44) решается аналитически.Графический способ.
Для гармонически линеаризованного характеристическогоуравнения (18.33) можно написать выражение кривой Михайлова(18.45)где знак — введен, чтобы отличать текущий параметр w, изменяющийся вдоль кривойМихайлова, от частоты w, входящей в выражение гармонической линеаризациинелинейности.Тогда при любых заданных постоянных а и w кривая Михайлова будет иметь такой жевид, как для обыкновенных линейных систем. Искомое периодическое решениеx1=aпsinwпt, т. е.
неизвестные ап и wп, определятся прохождением кривой Михайлова черезначало координат (рис. 18.8, а). Поскольку в точке прохождения кривой Михайлова черезначало координат текущее значение w должно совпадать со значением w = wп, входящимв коэффициенты гармонической линеаризации, то для удобства решения можно заранееотождествить в выражении (18.45) значения w и w. Тогда искомые частоту w = wп иамплитуду а = ап автоколебаний можно будет определить путем построения кривых(18.46)которые в общем случае не будут совпадать с кривыми Михайлова. При этом надовыбрать такое значение а, при котором кривая пройдет через начало координат.Если например, для каких-нибудь трех различных значений а кривые f(w) проходятуказанным на рис.
18.8, б образом, то искомые значения а = ап и w = wп можно найтипутем следующей интерполяции:Этот способ целесообразен лишь в самых сложных случаях, когда изложенные вышеспособы не удается применить.Использование коэффициентных соотношений для определения периодическогорешения. Для обнаружения факта наличия пары чисто мнимых корней вхарактеристическом уравнении (18.33) можно также применить известные алгебраическиекритерии устойчивости линейных систем.
Так, если гармонически линеаризованноеуравнение (18.33) нелинейной системы имеет третью степень относительно р, то егоможно записать в виде(18.47)причем коэффициенты его будут содержать в себе искомые значения частоты wп иамплитуды ап автоколебаний.Условие наличия пары чисто мнимых корней по критерию Гурвица см. § 6.2 будет(18.48)оно дает только одно уравнение с двумя неизвестными ап и wп. Чтобы найти второе,представим уравнение (18.47) при наличии мнимых корней р =± jwп в видеРаскрыв здесь скобки и приравняв коэффициенты этого уравнения соответствующимкоэффициентам (18.47), найдем(18.49)Из двух уравнений (18.48) и(18.49) определяются неизвестные амплитуда ап и частота wпавтоколебаний, входящие в состав коэффициентов (18.47).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
