Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 100
Текст из файла (страница 100)
17.21, б), то такую прямую провести невозможнои, следовательно, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой.Здесь был приведен простой пример, в котором условия устойчивости по методу В. М.Попова выражаются в общем буквенном виде. В большинстве технических задач этого неполучится. Однако видно, что описанный частотный критерий устойчивости В. М. Поповадля систем с одной однозначной нелинейностью в его графической форме может бытьприменен при любой сложности линейной части системы и численно заданныхкоэффициентах уравнений. Более того, он может быть применен в случае, когда не заданыуравнения, но известна экспериментально снятая амплитудно-фазовая частотнаяхарактеристика линейной части W(jw).
Чтобы установить устойчивость системы согласнорис. 17.19, W(jw) надо перестроить в характеристику W*(jw), пользуясь формулами(17.117).Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо знать лишь, в пределахкакого угла (рис. 17.17) она расположена. Для конкретно заданных форм нелинейностиобласть устойчивости, вообще говоря, будет несколько шире, но данным методом это неопределяется (см. главу 18).§ 17.5. Исследование систем с переменной структуройПонятие о системах с переменной структурой было дано в начале книги (§2.3), а об ихуравнениях — в конце главы 16.Покажем методику исследования систем с переменной структурой при отсутствиивнешнего воздействия на примере системы второго порядка при линейном объекте илинейных структурах регулятора, так что нелинейность системы будет заключаться вавтоматическом переключении этих структур.Имея в виду второй порядок системы, используем изображение процессов на фазовойплоскости, которое для линейных систем представлено было выше на рис.
16.8—16.13.Рассмотрим систему (рис. 17.22), не обладающую при постоянной структуре собственнойустойчивостью [42]. В самом деле, если Ψ = const , то уравнение системы будети получатся незатухающие колебания, изображаемые на фазовой плоскостиконцентрическими эллипсами (рис. 16.8).Если же звену Ψ придать вид, как на рис. 16.27, а, где x1 =формуле (16.71), где α = k1 получим уравнения системыdxс переключением согласноxt(17.125)(17.126)Первое из них будет действовать в первом и третьем квадрантах фазовой плоскости (рис.17.23), а второе — в четвертом и втором квадрантах. С эллипса 1 в первом квадранте(соответствует коэффициенту k1) изображающая точка переходит на эллипс 2 в четвертомквадранте (соответствует коэффициенту k2), затем на эллипс 3, концентрический с первым(снова коэффициент k1), далее на эллипс 4, концентрический с эллипсом 2, и т. д. Врезультате таких переключений система становится устойчивой.В данном примере переходный процесс представляет собой затухающие колебания.
Вбольшинстве случаев для избежания колебательных процессовв системах с переменной структурой следует стремиться реализовать скользящий режим.Для этого переключения в системе должны производиться в таких местах, где фазовыетраектории направлены навстречу друг другу.Покажем это на примере.Пусть в той же системе (рис. 17.22) звено также устроено по принципу рис. 16.27, а, но(17.127)Тогда прежнее выражение для Ψполучает другой смысл.
Возьмем при этомПолучим два уравнения системы:(17.128)(17.129)Линиями раздела между областями их действия будутт. е. ось ординат и наклонная прямая на фазовой плоскости (рис. 17.24). При этомуравнение (17.128) будет действовать в первом и третьем секторах фазовой плоскости.Поэтому там фазовыми траекториями будут служить согласно рис. 16.8 концентрическиеэллипсы. Уравнение же (17.129) будет действовать во втором и четвертом секторахфазовой плоскости (рис.
17.24), где фазовые траектории изобразятся в соответствии с рис.16.3.Обе эти линейные структуры (17.128) и (17.129) по отдельности не обладаютустойчивостью. Благодаря же переключениям система в целом становится устойчивой.В отличие от предыдущей системы, здесь, как видно из рис. 17.24, нет колебательногопроцесса. При любых начальных условиях фазовая траектория приходит на наклоннуюпрямую х1 = 0, где она встречается с фазовой траекторией с противоположным ейнаправлением движения. Поэтому переход изображающей точки через прямую х1= 0невозможен.
В результате изображающая точка вынуждена двигаться вдоль прямой х1= 0в сторону начала координат, что и представляет собой скользящий режим переходногопроцесса в данной системе.Практически скользящее движение будет сопровождаться вибрациями вследствиебыстрых переключений то в одну, то в другую сторону, как и показано на рис. 17.24.Ввиду неидеальности системы (дополнительной инерционности или запаздывания) этивибрации будут иметь конечные амплитуду и частоту.
При идеальном же рассмотрении,проведенном выше, амплитуда их равна нулю, а частота — бесконечности.Рассмотрение реального переходного процесса скользящего типа с конечнымивибрациями за счет дополнительной инерционности, повышающей порядок уравнения,возможно с помощью приближенного метода гармонической линеаризации. Это можносделать аналогично рассмотрению медленно меняющихся сигналов в автоколебательныхсистемах (§ 19.2), если за медленно меняющийся сигнал принять основноеапериодическое движение в скользящем процессе, а наложенные на него вибрациирассчитать, как автоколебательную составляющую процесса (см.
[101]).ГЛАВА 18ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ИАВТОКОЛЕБАНИЙ§ 18.1. Гармоническая линеаризация нелинейностейВ этой главе будет изложен метод гармонической линеаризации для приближенногоопределения периодических решений (автоколебаний) и устойчивости нелинейных системлюбого порядка, который по идее близок к методу эквивалентной линеаризации илиметоду гармонического баланса Н. М.
Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам —также и к методу малого параметра Б. В. Булгакова.Рассматриваемый приближенный метод является мощным средством исследованиянелинейных автоматических систем в смысле простоты и довольно большойуниверсальности его аппарата в применении к самым разнообразным нелинейностям.Однако надо иметь в виду, что он решает задачу приближенно. Имеются определенныеограничения его применимости, о которых будет сказано ниже.
Эти ограничения обычнохорошо соблюдаются в задачах теории автоматического регулирования. Практическиерасчеты и эксперимент показывают приемлемость этого метода для многих видовнелинейных систем.Пусть дано какое-нибудь нелинейное выражение вида(18.1)и задано(18.2)Тогда(18.3)Разложив функцию в правой части выражения (18.1) в ряд Фурье, получим(18.4)Положим(18.5)что означает отсутствие постоянной составляющей в данном разложении. В настоящейглаве будет везде предполагаться выполнение условия отсутствия постояннойсоставляющей (18.5). Впоследствии (глава 19) будет дан метод исследованияавтоколебаний при наличии постоянной составляющей, т. е.
в случае невыполненияусловия (18.5).Если принять во внимание, что из (18.2) и (18.3)то формулу (18.4) при условии (18.5) можно будет записать в виде(18.6)где q и q' — коэффициенты гармонической линеаризации,определяемые формулами:(18.7),Итак, нелинейное выражение (18.1) при х = а sinwt заменяется выражением (18.6), котороес точностью до высших гармоник аналогично линейному. Эта операция и называетсягармонической линеаризацией.
Коэффициенты q(а, w) и q'(а, w) постоянны припостоянных значениях а и со, т. е. в случае периодического процесса. В переходномколебательном процессе с изменением а и w коэффициенты q и q' изменяются (см. гл. 20).Для разных амплитуд и частот периодических процессов коэффициенты выражения (18.6)будут различны по величине. Это очень важное для дальнейшего обстоятельство являетсясущественным отличием гармонической линеаризации, по сравнению с обычнымспособом линеаризации (§ 3.1), приводящим к чисто линейным выражениям, которыеприменялись в предыдущих разделах книги.
Указанное обстоятельство и позволит путемприменения к выражению (18.6) линейных методов исследования проанализироватьосновные свойства нелинейных систем, которые не могут быть обнаружены при обычнойлинеаризации.Приведем также формулы гармонической линеаризации для более простой нелинейности:(18.8)Здесь возможны два варианта: 1) кривая F(х) имеет гистерезисную петлю (например, рис.16.18, б, рис. 16.22, г, д), и 2) кривая F(х) не имеет гистерезисной петли (рис. 16.8, б, рис.16.22, а и др.).При наличии гистерезисной петли, когда фактически наблюдается зависимость отзнака производной, нелинейная функция у = F(х) после линеаризации заменяетсяследующим выражением (при x=asinwt):(18.9).где(18,10)при условии отсутствия постоянной составляющейЕсли же кривая F(х) не имеет гистерезисной петли, то q' = 0, так как при х =asinwtбудет(при гистерезисной петле этот интеграл не был нулем вследствие различия в очертаниикривой F(х) при возрастании и убывании х).Следовательно, при отсутствии гистерезисной петли нелинейное выражение (18.8)заменяется более простым:т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
