Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 97
Текст из файла (страница 97)
д.Поэтому, вообще говоря, данная теорема Ляпунова обеспечивает получение достаточныхусловий устойчивости, которые не всегда будут и необходимыми, т. е. при выполненииусловий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут неохватывать всей области устойчивости системы по параметрам. В самом деле, есливыбрана функция V, удовлетворяющая теореме, нет уверенности в том, что нельзяподобрать другой вариант функции V, который бы еще более полно охватывал областьустойчивости данной системы.Геометрически это значит, что, получив определенное семейство поверхностей V=С (рис.17.10) и убедившись, что траектории изображающей точки М приближаются к началукоординат, пересекая эти поверхности извне внутрь, нельзя быть уверенным в том, что несуществует еще других вариантов траекторий изображающей точки М, которые вотдельных местах могут пересекать данные поверхности изнутри вовне, но все же стечением времени в конце концов неограниченно приближаться к началу координат.Такие траектории будут соответствовать другому семейству поверхностей V = С, т.
е.другому варианту выбора функции Ляпунова.В ряде технических задач можно вполне удовлетвориться этими достаточными условиямиустойчивости. От более или менее удачного подбора функции Ляпунова V будет зависетьбольшая или меньшая близость полученных достаточных условий устойчивости кнеобходимым и достаточным, т. е. более или менее полный охват всей областиустойчивости данной системы.
Существуют, конечно, и такие функций V (х1, х2, . . ., хn),которые соответствуют всей области устойчивости.2. К сформулированной выше теореме Ляпунова необходимо добавить, что понятиеустойчивости по Ляпунову допускает, чтобы при знакоопределенной функции Vпроизводная от нее W была не обязательно знакоопределенной или знакопостоянной, амогла быть и тождественно равна нулю во всем рассматриваемом фазовом пространстве.В этом случае, проводя аналогичные прежним рассуждения, легко убедиться, чтоизображающая точка М (рис. 17.10) будет оставаться все время на какой-нибудь одной изповерхностей V = const, куда ее забросили начальные условия.
В результате система хотяи не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будетвсе время в достаточной близости от него.Теорема Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем. Поскольку предыдущаятеорема Ляпунова дает, вообще говоря, только достаточные условия устойчивости ипоскольку кроме области устойчивости нелинейная система может иметь целый рядособых областей (см. § 16.1), то может возникнуть потребность в отдельном определенииобласти неустойчивости путем использования нижеследующей теоремы Ляпунова,которая дает достаточные условия неустойчивости системы.Теорема формулируется так: если при заданных в форме (17.46) уравнениях системы п-гопорядка производная W(x1, х2, .
. ., хn) от какой-нибудь функции Ляпунова V (х1, x2, . . .,хn) окажется знакоопределенной, причем сама функция V в какой-нибудь области,примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком производнойW, то данная система неустойчива.Справедливость этой теоремы иллюстрируется геометрически следующим образом. Пустьдля какой-нибудь заданной системы второго порядка (n = 2) найдена такаязнакопеременная функция V(х1,х2), для которой производнаяоказалась знакоопределенной положительной. Пусть при этом линии V (х1, х2) нафазовой плоскости располагаются, как указано на рис.
17.11, где линии АВ и СDсоответствуют значениям V = 0 и разделяют те области, внутри которых V>0 и V<0.то изображающая точка М с течением времени будет двигаться и пересекать линии V=С,переходя от меньших значений С к большим. Она может при этом лишь временноприблизиться к началу координат, но в конце концов будет неограниченно удаляться отначала координат. Это соответствует расходящемуся процессу, т.
е. неустойчивостисистемы. Аналогично можно показать справедливость теоремы и для системы любогопорядка n, проводя те же рассуждения для n-мерного фазового пространства.Наиболее полно решение нелинейных задач теории регулирования с применениемуказанных теорем дано в известной книге А. И. Лурье [81], где предложено братьфункцию Ляпунова в виде «квадратичная форма плюс интеграл» (см. также [98]).Приведем два примера применения изложенных теорем Ляпунова к исследованиюнелинейных систем автоматического регулирования.Пример учета нелинейности привода регулирующего органа. Такой примерприменительно к системе самолета с курсовым автопилотом (в упрощенном виде) былрассмотрен в работе А. И.
Лурье и В. Н. Постникова. Схема данной системыавтоматического регулирования представлена на рис. 17.12, а.Пусть все звенья системы являются линейными, за исключением электродвигателя (средуктором), для которого будем рассматривать его реальную характеристику (рис. 17.12,б). Она может иметь произвольное криволинейное очертание с зоной застоя (при |U| <b1) ис зоной насыщения (при |U| >b2). Наклон характеристики и ее криволинейность могутбыть любыми, лишь бы только соблюдались условия(17.54)Требуется найти условия устойчивости данной системы автоматическогорегулирования.Уравнение самолета как регулируемого объекта в грубо упрощенном виде будет(17.55)где ψ — отклонение курсового угла самолета, δ — отклонение руля.
Уравнениячувствительных элементов (гироскопов с потенциометрами):(17.56)Уравнение обратной связи(17.57)Уравнение усилителя(17.58)Уравнение электродвигателя с редуктором и рулемгде F(U) задается графиком рис. 17.12, б.Уравнения (17.56), (17.57) и (17.58) можно свести к одному:(17.59)где(17.60)Для перехода к уравнениям вида (17.46) введем новые переменные:(17.61)и безразмерное время(17.62)С введением этих переменных дифференциальные уравнения всей системы (17.55),(17.59), (17.60) преобразуются к виду (17.46), а именно:(17.63)где(17.64)т. е. функция f(х3) имеет все те же свойства, что и заданная функция F(U) (рис.
17.12, б), иотличается лишь масштабом чертежа по оси абсцисс в связи; с заменой переменной V нах3 согласно третьему из равенств (17.61).Установившийся процесс полета при данной системе согласно (17.55), (17.59), (17.60) играфику рис. 17.12,6 будет иметь место при(17.65)т. е. наличие зоны застоя двигателя приводит к тому, что в установившемся процессекурсовой угол может принять любое постоянное значение в пределах (17.65).В новых переменных (17.61) установившийся процесс полета определяется значениями:(17.66)чему соответствует любая точка отрезка АВ в фазовом пространстве (рис.
17.13, а).При отыскании условий устойчивости рассмотрим два случая: γ > 1 и 0 < γ < 1.Случай γ > 1. Возьмем функцию Ляпунова в виде(17.67)Здесь интеграл будет всегда положительным, так как функция f(х3) нечетная (см. условие(17.54)). Поэтому V есть знакоопределенная положительная «функция, если γ >1,обращающаяся в нуль на отрезке установившегося процесса АВ (рис. 17.13).Поверхности V (х1, х2, х3) = С окружают этот отрезок (рис. 17.13, б), стягиваясь к нему суменьшением С. Составим производную от функции Ляпунова:причем частные производные возьмем из (17.67), а производные по безразмерномувремени — из уравнений системы (17.63).
ТогдаПредставим это в виде(17.68)Эта функция W знакопостоянная, так как она не включает в себя координату х2, а потомуобращается в нуль не только на отрезке установившегося процесса АВ, а на всей полосешириной АВ в плоскости х2х3 (рис. 17.13, в).Но вне этой полосы согласно (17.68) она будет всюду отрицательной при(17.69)Поэтому согласно теореме Ляпунова об устойчивости выражение (17.69) являетсядостаточным условием устойчивости рассматриваемой нелинейной системы самолета скурсовым автопилотом (при любой кривизне и любом наклоне характеристики двигателя,имеющей вид рис.
17.12, б).Траектория изображающей точки М будет пересекать поверхности V = СdV< 0. Нужно только проверить, не «застрянет» лиизвне внутрь везде, где W =dτизображающая точка М там, где W обращается в нуль (помимо отрезка установившегосяпроцесса АВ). В данном случае речь идет о том, не останется ли изображающая точка наполосе (показанной на рис. 17.13, е) где W= 0, если она случайно на нее попадет.dxДля решения этого вопроса найдем проекции скорости изображающей точки М 1 ,dτdx 2 dx3,когда эта точка находится в любом месте указанной полосы. Поскольку тамdτ dτто искомые проекции скорости согласно (17.63) будутТаким образом, если изображающая точка М попадет на указанную полосу вне отрезкаАВ (рис.
17.13, в), то она не останется в ней, а пройдет ее поперек по прямой,параллельной оси x3, с постоянной скоростью, равной γ х2, как показано стрелками нарис. 17.13, в. Пройдя полосу, изображающая точка снова будет пересекать поверхностиV= С извне внутрь, т. е. данная система регулирования будет устойчивой.Случай 0 < γ < 1. Для этого случая возьмем функцию Ляпунова в видеПроизводная от нее будетОтсюда аналогично предыдущему приходим к достаточному условию устойчивостисистемы в виде(17.70)Общий вывод. Полученные в данной задаче достаточные условия устойчивости (17.69) и(17.70) после Подстановки выражений γ и r через параметры системы (17.64) принимаютвид соответственноПервое из этих условий устойчивости говорит о том, что передаточное число обратнойсвязи надо сделать достаточно большим, если производная pψ введена в законрегулирования недостаточно интенсивно.
Из второго же условия устойчивости следует,что система будет устойчива при любой обратной связи, если передаточное число попроизводной достаточно велико.Как видим, данные условия устойчивости не зависят от формы характеристики двигателя(рис. 17.12, б), т. е.
они одинаковы при любой кривизне, любом наклоне и любой зонезастоя (в том числе и при однозначной релейной характеристике двигателя постояннойскорости, а также и при линейной характеристике). Такие условия называются условиямиабсолютной устойчивости. Они гарантируют, что при их выполнении система будетнаверняка устойчива при любой нелинейности с ограничением лишь (17.54). Вдействительности же система может быть устойчивой и в некоторой области за пределамиэтих условий устойчивости при конкретно заданной форме нелинейности (см.
гл. 18).Пример учета нелинейности измерителя регулируемой величины. На основаниивышеизложенных теорем Ляпунова М. А. Айзерман показал, что если уравнение системысодержит нелинейность(17,71)где F(хk) — однозначная нелинейная функция, обращающаяся в нуль при хk = 0, а k —любое целое число из 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
