Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 93
Текст из файла (страница 93)
е. отклонение возрастает по величине) либо когда скорости рх имеет противоположныйзнак, но мала (| v | <v1).Система с переменной структурой. Как уже указывалось в начале книги (§ 2.3), системыс переменной структурой содержат в себе специальное переключающее устройство дляизменения структуры регулятора, которое срабатывает в зависимости от размеров изнаков входных величин.Примеры переключающих устройств приведены схематически на рис. 16.27, где КЭ —ключевой элемент, БИС — блок изменения структуры. Уравнение принято [42]записывать в виде(16.70)Функция Ψ может строиться по-разному. Например (рис. 16.27, а),(16.71)Для случая, указанного на рис.
2.9 и 2.10(16.72)Под символами α и β могут также иметься в виду различные выражения: в простейшемслучае постоянные(16.73)в другом случае(16.74)и любые другие, в том числе и нелинейные.Основная же характерная нелинейность здесь состоит в самом факте автоматическогопереключения в зависимости от состояния входных величин.Г Л А В А 17ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ§ 17.1. Фазовые траектории и метод точечных преобразованийПонятие о фазовом пространстве, о фазовых траекториях и их типах было уже дано выше.В данном параграфе на примерах построения фазовых траекторий для простейших системвторого порядка будут проиллюстрированы некоторые важные особенности процессов внелинейных системах автоматического регулирования.Пример 1.
Возьмем систему автоматического регулирования с объектом безсамовыравнивания и с приводом регулирующего органа, имеющим постоянную скорость.Уравнение регулируемого объекта без самовыравнивания будет(17.1)Для регулятора без массы ;и демпфера с жесткой обратной связью, т.
е. приδη = −ϕ , σ = η − ξ , ξ = ζ , получим(17.2)где η , ϕ , σ , ξ , ζ — относительные изменения регулируемой величины, смещенийчувствительного элемента, регулирующего органа, элемента обратной связи иуправляющего золотника (рис. 10.11, а), δ — коэффициент. Привод регулирующегооргана пусть имеет постоянную скорость в двух вариантах: 1) с мгновеннымпереключением (рис. 16.22, ж) при переходе управляющего элемента (золотника,струйной трубки) через нейтральное положение ( σ = 0); 2) с зоной нечувствительности(рис. 16.22, з) вследствие наличия «перекрытия» золотника или струйной трубки. Впервом случае уравнение привода регулирующего органа будет(17.3)а во втором(17.4)Возьмем фазовую плоскость (х, у), приняв(17.5)Из уравнений (17.1), (17.2) и (17.5) имеем(17.6)Следовательно, переключения привода в первом варианте ( σ = 0) будут иметь место при(17.7)что соответствует прямой АВ (рис.
17.1, а) на фазовой плоскости, причем согласно (17.16)значениям σ >0 соответствует часть плоскости слева от прямой АВ, а σ < 0 — справа.На основании первого из соотношений (17.6) с учетом (17.3) при σ < 0 получаем(17-8)а из (17.5)(17.9)откуда находим уравнения фазовых траекторий(17.10)или, после интегрирования,Это есть семейство парабол, показанное на рис. 17.1, а справа от линии АВ (онисимметричны относительно оси х). Так как (17.8) и (17.9) являются проекциями скоростиV изображающей точки М на оси х и у, то имеем vу < О,а знак vx совпадает со знаком у.
В соответствии с этим на рис. 17.1, а укажем стрелочкаминаправление движения изображающей точки М по фазовым траекториям. Аналогичнымпутем легко строятся параболы слева от прямой АВ.В результате, как видно из общего расположения фазовых траекторий (рис. 17.1, а),получается устойчивая система с затухающим колебательным переходным процессом. Ночисло колебаний будет конечным. В самом деле, здесь имеется особый отрезок СD, вкоторый вливаются все фазовые траектории. Чтобы выявить поведение системы на этомотрезке, вспомним, что для него согласно (17.7) и (17.5)Следовательно, попав на отрезок СD, изображающая точка не может с него уйти, исистема будет апериодически приближаться к установившемуся состоянию, т. е.изображающая точка будет сползать по отрезку СD к началу координат 0. Таким образом,имевший место вначале колебательный переходный процесс после конечного числаколебаний вырождается в этот так называемый скользящий процесс.Крайние точки особого отрезка СD определяются, очевидно, как точки, в которых прямаяАВ касается одной из парабол соответственно правого и левого семейств.
Поэтому,dyиз (17.7) в выражение (17.10), найдем точку С:подставив значенияdxПо найденной картине расположения фазовых траекторий можно качественнопредставить себе кривую переходного процесса ϕ (t) при любых начальных условиях.Начальными условиями определяется начальное положение изображающей точки М и темсамым — определенная фазовая траектория, иллюстрирующая протекание процесса. Онапоказывает (рис. 17.1, а) максимальное отклонение регулируемой величины фтаХ1максимальную скорость (р ϕ )mах; а также все последующие отклонения, число колебанийи т. п.Рассмотрим теперь ту же систему, но с учетом зоны нечувствительности.
В этом случаепереключениям привода (при σ = -b и σ = +b) на фазовой плоскости соответствуютсогласно (17.6) две наклонные прямые (рис. 17.1, б):Между этими прямыми | σ | < b, правее их σ <b, левее их σ >b (причем b >0).При | σ | < b из (17.4), (17.6) и (17.5) получаемоткуда (при у ≠ 0 )(прямые, параллельные оси х в полосе АВ на рис. 17.1, б).При | σ | > b получим прежние параболы. В результате снова системаоказывается устойчивой и имеет колебательный переходный процесс, но вместоособой точки О получаем особый отрезок (у = 0, - bδ < х < bδ ), т. е. установившеесясостояние определяется неоднозначно.
Это соответствует тому, 'что регулятор можетнаходиться в равновесии в любом месте внутри зоны нечувствительности. Здесь точно также возможен скользящий процесс, как x в случае рис. 17.1, а.В данном примере система оказывается устойчивой при любых значениях параметров ипри любых начальных условиях. Однако здесь для получения системы второго порядкабыла проведена грубая идеализация уравнений регулятора (пренебрежение массой идемпфированием).Пример 2. Допустим, что требуется стабилизировать угловое положение некоторого тела,когда сопротивлением среды его вращению можно пренебречь.
Уравнение объекта будет(17.11)где J— момент инерции тела, ϕ — угол поворота тела, w — его угловая скорость, М —управляющий момент со стороны исполнительного органа системы стабилизации.Уравнение регулятора (системы стабилизации) запишем в виде(17.12)где М1 — постоянная положительная величина, Ф ( ϕ ,w) — нелинейный законрегулирования, осуществляемый при помощи логического устройств по тому жепростейшему принципу, что и на рис. 16.26, с той лишь разницей, что по углу ϕ фазоваяплоскость ограничена значениями + π и - π , так как это составляет один полный обороттела (рис. 17.2).Изобразим процесс регулирования на фазовой плоскости.
Уравнение» всей системысогласно (17.11) и (17.12) будет(17.13),где обозначенопричем с имеет физический смысл величины углового ускорения, сообщаемого данномутелу постоянным моментом М1.Умножив почленно уравнение (17.13) на выражениеполучим дифференциальное уравнение фазовой траектории(17.14)Это уравнение легко интегрируется внутри участков, на которых Ф = const. В результатедля каждого отдельно взятого участка уравнение фазовой траектории будет(17.15)где ϕ н и wн — значения ф и со в начальной точке данного участка.Зададим начальные условия процесса:Для данной начальной точки процесса (см. рис. 17.2) имеем Ф = 0.
Поэтому на первомучастке процесса согласно (17.15) уравнение фазовой траектории будетЭтот участок движения с постоянной скоростью заканчивается в точке 1 (рис. 17.2), гдепроисходит включение исполнительного органа (Ф = -1). Следовательно, для второгоучастка процесса (после точки 1) из (17.15) получим уравнение фазовой траектории(17.16)так как в начальной точке 1 этого участка ϕ н = b, wн = w0. Фазовая траектория (17.16) —парабола, ось которой совпадает с координатной осью ϕ .
Это соответствуетdwравнозамедленному движению (= −c ) Изображая параболу графически, доводим ееdtдо границы ϕ = π (участок 1—2 на рис. 17.2), причем в точке 2 согласно (17.16)(17.17)Это значение переносим в точку 2' (для вращающегося тела ϕ = ±π это одна и та жеточка). Здесь происходит выключение исполнительного органа (Ф = 0).
Поэтомудальнейшее движение согласно (17.15) пойдет с постоянной скоростьюдо точки 3 (рис. 17.2). Таким образом, в рассмотренной начальной части процессарегулирования тело совершило один полный оборот, но в конце этого оборота скоростьвращения его стала меньше начальной.В точке 3 снова включается исполнительный ^орган (Ф = - 1), в результате чего фазоваятраектория будет(17.18)так как в точке 3 ϕ = b , wн = w2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
