Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Для этойцели могут быть взяты любые две переменные, однозначно характеризующие состояниесистемы второго порядка в произвольный момент времени.Пример. Изобразим на фазовой плоскости переходный процесс и автоколебания в системеавтоматического регулирования температуры, рассмотренной выше. Координаты фазовойплоскости будут(16-29)Если у >0, то согласно (16.10) и рис. 16.4, а переключение регулятора происходит при θ =+b (линия ЕF на рис.
16.15); если же y<0, то при θ = -b (линия ОН). Справа от линиипереключения ЕFGН справедливо уравнение системы (16.12), а слева — (16.13).Уравнение (16.12) в обозначениях (16.29) примет видоткуда получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий(16.30)Интегрирование его дает(16.31)где С1 — произвольная постоянная. Каждому конкретному значению С1 -соответствуетопределенная кривая на фазовой плоскости. Семейство кривых, отвечающих различнымзначениям С1, изображено на рис. 16.15 справа от линии ЕFGН. Эти кривые имеютасимптоту у = -k1с. Направление движения изображающей точки по ним, показанноеdxстрелками, определяется из условия y =, т. е. х возрастает при у>0 и убывает при у<0.dtУравнение (16.13) в обозначениях (16.29) будет(16.32)что дает решениесогласно которому наносится семейство фазовых траекторий слева от линии ЕFGН (рис.16.15).В результате получится, что фазовые траектории расходятся от начала координат исходятся из бесконечности, т.
е. имеет место случай, аналогичный рис. 16.14, а, а значит,где-то должен быть устойчивый предельный цикл. Он обозначен жирной линией на рис.16.15.Следовательно, в данной системе автоматического регулирования будут наблюдатьсяустойчивые автоколебания, к которым сходится переходный процесс с обеих сторон, т. е.при любых начальных условиях.Автоколебательный процесс является здесь единственно возможным видомустановившегося процесса, а строгое поддержание постоянной температуры ( θ = 0)невозможно. Амплитуда автоколебаний температуры в данной системе регулированияизображается на рис.
16.15 отрезком а. Период же автоколебаний определяется решениемуравнений во времени, как было сделано выше. Половины АВ и ВD (рис. 16.15)предельного цикла соответствуют полупериодам АВ и ВD (рис. 16.4, б) автоколебаний.Отрезок g (рис. 16.15) изображает амплитуду скорости изменения температуры приавтоколебаниях; это есть величина (16.18). Видно, что g < k1 с.Перейдем к составлению уравнений нелинейных систем автоматического регулирования.§ 16.2.
Уравнения систем с нелинейностью релейного типаСледуя сделанным в § 16.1 замечаниям, приведем несколько примеров составленияуравнений нелинейных систем релейного типа.Система автоматического регулирования напряжения. Пусть имеется шунтовойгенератор постоянного тока (регулируемый объект) с вибрационным регуляторомнапряжения.
Упрощенная принципиальная схема такой системы показана на рис. 16.16.Когда контакты К под действием пружины П замкнуты, сопротивление, обозначенноечерез 2r1; выключено из цепи возбуждения генератора 1. Система рассчитана так, чтопри этом напряжение U на клеммах генератора возрастает (при любой реальновозможной нагрузке в сети, на которую работает данный генератор). Врезультате увеличивается ток I2 в катушке 2 электромагнитного реле и якорь релепритягивается, размыкая тем самым контакты К.
При разомкнутых же контактах К в цепьвозбуждения включено сопротивление 2r1. Это вызывает снижение напряжения U, азначит уменьшение тока I2 и отпускание реле, в результате чего контакты К сновазамыкаются, выключая тем самым сопротивление 2Rд из цепи возбуждения.
Настройкасистемы на желаемое номинальное значение регулируемой величины U производитсяустановкой сопротивления Rя.Уравнение регулируемого объекта (генератора) представим в линейном виде:(16.33)где ∆r — изменение сопротивления цепи возбуждения (регулирующее воздействие).Постоянная времени Т1 и коэффициент k1 определяются параметрами якоря и цепивозбуждения.Уравнение чувствительного элемента (катушки электромагнита 2) запишем в виде(16.34)Начало отсчета величин отклонений ∆U , ∆I 2 и ∆r будет определено ниже.Регулирующий орган (контакты K, скачком включающие и выключающие сопротивление2r1) является нелинейным звеном релейного типа.
Выходная величина его —сопротивление г цепи возбуждения — меняется скачкообразно при срабатывании иотпускании реле, т. е. в зависимости от величины тока I2 в цепи катушки 2электромагнитного реле. Это изображено на рис. 16.17, а, где Iср и Iотп — токи полногосрабатывания и отпускания реле. Для составления уравнения такого нелинейного звена,удобно, как всегда, ввести отклонения ∆I 2 и ∆r от некоторых постоянных значений I°2 иR°. Как указано на рис. 16.17, а, принимаем(16.35)Тогда характеристика данного нелинейного звена в отклонениях примет вид рис. 16.17, б,симметричный относительно начала координат (релейная характеристика с гистерезиснойпетлей).В связи с этим уравнение нелинейного звена (рис. 16.17, б) будет(16.36)(16.37)где выражение sign( ∆I 2 — i1) обозначает знак величины ( ∆I 2 — i1). Формулы (16.36) и(16.37) отвечают соответственно движению вправо по линии: АВСЕF (рис. 16.17) и влевопо линии FЕDВА, причем в точках С и D происходит переключение реле (перескоки вточки Е и В соответственно).Уравнения линейной части системы (16.33) и (16.34), имея в виду исследоватьпереходный процесс при f(t) = 0, объединим в одно:(16.38)Постоянные значения, от которых производится здесь отсчет отклонений переменных,определяются из алгебраических уравнений условного номинального установившегосярежимас использованием реальных характеристик генератора.Система автоматического регулирования курса водяной торпеды.Возьмем описанную в § 1.3 простейшую схему (рис.
1.20). Уравнение вращения торпедывокруг вертикальной оси (рыскание по курсу) как регулируемого объекта запишемприближенно в виде(16.39)где ψ — угол отклонения торпеды от заданного направления, J— ее моментинерции относительно вертикальной оси, c1ψ — момент сопротивления среди (воды),с2 δ — момент руля, δ — угол поворота руля. Разделив (16.39) на с1 получим уравнениерегулируемого объекта в виде(16.40)гдеЧувствительным элементом является трехстепенный гироскоп, поворачивающий рычагзаслонки в системе питания пневматической рулевой машинки на угол,пропорциональный углу отклонения торпеды.
Следовательно, уравнение чувствительногоэлемента будет(16.41)где s— величина перемещения заслонки из нейтрального положения.Будем считать, что поршень рулевой машинки 3 (рис. 1.20) при открытии заслонки,быстро получая полную скорость, мгновенно перебрасывает руль из одного крайнегоположения в другое.В таком приближенном представлении линейная часть системы ограничиваетсяуравнениями (16.40) и (16.41).
Единое уравнение линейной части системы, поэтому будет(16.42)Рулевая машинка вместе с рулем (привод и регулирующий орган) представляет собойнелинейное звено, уравнение которого согласно вышесказанному можно представитьлибо в простейшем виде (рис. 16.18, а)(16.43)либо, если имеется заметная зона нечувствительности (рис. 16.18, 6), в виде(16.44)либо, если существенное значение имеет гистерезисная петля (рис. 16.18, в),(16.45)либо, наконец, в простейшем случае, но с запаздыванием (рис.
16.18, г)(16.46)где(16.47)причем τ — время запаздывания срабатывания реле.При исследовании системы в целом можно принять один из этих четырех вариантов взависимости от того, какой из них лучше будет соответствовать свойствам даннойрелейной системы.§ 16.3. Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазораПриведем примеры составления уравнений для нелинейных систем с сухим трением илизазором в механической передаче.Следящая система с линейным и сухим трением.
В § 5.7 составлены уравнения следящейсистемы в линейном виде. Рассмотрим теперь такой случай, когда к линейному моментутрения Млт добавляется еще момент сухого трения Мст, имеющий постоянную величину,равную некоторому значению с, и меняющий свое направление (знак) с изменением знакаскорости вращения объекта p β (рис. 16.19). Следовательно, теперь уравнениеуправляемого объекта примет вид(16.48)где β — угол поворота вала управляемого объекта, причем(16.49)Важная особенность сухого трения состоит в том, что это (в отличие от релейныххарактеристик) далеко не всегда означает мгновенное переключение величины Мст прир β = 0.
Здесь возможны два варианта:(16.50)В первом случае скорость объекта р β пройдет через нулевоезначение и его движение будет продолжаться без остановки дальше по закону (16.48). Вовтором же случае произойдет остановка управляемого объекта, в течение которой будетиметь место не переключение, а медленное изменение величины Мст в интервале -c ≤ Mст≤ +c (или обратно), причем Мcт будет принимать все время определенные значения(16.51)В этом случае движение возобновится снова только тогда, когда вращающий: моментдостигнет значения |Мвр| =с и превысит его.Если же остается |Мвр| <с, то система будет неподвижна. Поэтому положение равновесияуправляемого объекта оказывается неопределенным внутри некоторого отрезка, а именнопри любом значении |Мвр|<с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
