Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 87
Текст из файла (страница 87)
д. представляют собой коэффициентыразложения передаточной функции по ошибке Фх (z) в ряд Маклоренапо степеням р, т. е.(15.172)Величины, обратные множителям при производных выражения (15.171), по аналогии снепрерывными системами могут называться соответствующими добротностями.Например, добротность по скорости(15.173)добротность по ускорению(15.174)и т. д.Вычислим, например, два первых коэффициента ошибок для системы с передаточнойфункцией разомкнутой цепигде d = e −T / T1Эта функция соответствует импульсному фильтру с передаточной функцией непрерывнойчастии с приведенной передаточной функцией (15.136)Находим передаточную функцию по ошибке:Подстановка в это выражение р = 0 или г = 1 дает коэффициент с0 = О, Для получениякоэффициента с1 находим первую производную:Подстановка z = 1 дает коэффициента также добротность по скоростиПериодические режимы.
Если на входе замкнутой импульсной системы (рис. 15.11)действует синусоидальная последовательностьто расчет синусоидальных последовательностей у [n] и х [n] может быть «делан на основеформул (15.152) и (15.154) при использовании передаточных функций замкнутой системы.Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальнойпоследовательности для ошибки)(15.175)и сдвиг по фазе(15.176)В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом М (см.§ 15.2) она может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник:где N — целая часть M/2, а коэффициенты разложенияДля каждой гармоники в установившемся режиме может быть сделан расчет всоответствии с изложенным выше для синусоидальной последовательности.
Поэтому вустановившемся режиме для ошибки можно записать(15.177)2πгде Фx ( jk , ε ) — значение частотной передаточной функции, полученноеMj2πkM.из Фx (z, ε ) подстановкой z = eАналогичным образом по передаточной функции Ф (z, ε ) может быть получена дляустановившегося режима выходная величина у [n, ε ].Более простой метод заключается в следующем. Рассмотрим, например, задающеевоздействие g[n], представляющее собой периодическую последовательность,изображение которой (15.113)где G0(z) — изображение g[n] на интервале 0 - М. Пусть рассматриваемаяпоследовательность действует на входе системы с передаточной функцией Ф(z).
Тогдаизображение выходной величиныможно представить в виде суммы изображений переходной составляющей У° (z) иустановившегося периодического режима У* (z). Первая составляющая определяетсяполюсами функции Ф (z) и с течением времени затухает, так как система предполагаетсяустойчивой.Периодическая составляющая на выходе может быть представлена в видегде У*0 (z) — изображение у [n] на интервале 0 - М в установившемся режиме, которое иявляется искомой величиной, коэффициенты а0, . .
., аM-1 должны быть определены приразложении на сумму дробно-рациональных функций Y0 (z) и У* (z). Для этой цели могутиспользоваться известные методы, например теорема разложения. Так, если степень У1 (z)равна степени У2 (z) и У1 (z) = zУ3 (z), том(15.178)где z q (q = 1,..., M ) — корни уравнения z -1 = 0.Однако пользоваться этой формулой при М > 2 практически неудобно. При М >1 удобнеенайти переходную составляющую У* (z), а затем периодическую: У* (z) = У (z) — У° (z).Далее можно найти(15.179)Так как полюсы Ф (z) известны, то отыскание переходной составляющей не представляеттруда.
Так, например, если степень числителя У (z) меньше степени знаменателя иполюсы Ф (z) не кратные, тогде zi (i =1,2, ...,l) — полюсы Ф(z).Если степень числителя У (z) одинакова со степенью знаменателя, но числительимеет общий множитель г, то можно записатьТогдаДругие возможные случаи — см. § 15.2, п. 13.Если входное воздействие представляет собой симметричную периодическуюпоследовательность с полупериодом N, изображение которой дается формулой (15.114),то аналогичная зависимость для изображения периодической последовательностивыходной величины на интервале 0 - N будет(15.180)где У° (z) — переходная составляющая, определяемая полюсами Ф (z).Пример.
Рассмотрим входную последовательность в виде прямоугольной волны (рис.15.10, в), но с полупериодом N = 3 и систему с передаточной функциейИзображение периодической последовательности навходе(15.114)Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (15.180), учитывая, что Ф (z)имеет единственный полюс z1 = 0, имеемОтсюда следует, что в установившемся периодическом режиме на выходе, еслисовместить начало положительного полупериода с началом отсчета, будет у [0] = 1 + а,у [1] = у [2] = 1 - а. В следующем полупериоде будет у [3] = -у [0] = - (1 + а), у [4] = у [5] =-у [1] = -(1 - а) и т.
д.§ 15.5. Случайные процессы в импульсных системахВведем понятие случайной решетчатой функции f[n], которую можно образовать изнепрерывной случайной функции f(z) ее дискретизацией. В этом случае она будетопределена в дискретные моменты времени t= nТ. Будем рассматривать стационарныепроцессы, когда вероятностные характеристики не зависят от времени.Среднее значение решетчатого случайного стационарного процесса(15.181)или на основании эргодического свойства(15.182)где w(f[n]) — одномерная плотность вероятности.Для центрированных процессов среднее значение равно нулю. Введем понятиекорреляционной функции(15.183)Аналогично главе 11 можно сформулировать основные свойства корреляционнойфункции.1. Для случая m = 0(15.184)2.
При m = 0 корреляционная функция достигает наибольшего значения:(15.185)3. Корреляционная функция является четной:(15.186)При наличии двух случайных процессов f1 [n] и f2 [n] можно ввести понятие взаимнойкорреляционной функции(10.187)Свойства ее схожи со свойствами взаимной корреляционной функции для непрерывныхпроцессов.Введем понятие спектральной плотности случайного стационарного решетчатогопроцесса как двустороннего z-преобразования корреляционной функции(15.188)где Т — нормирующий множитель, равный периоду дискретности, а F(z) представляетсобой z-преобразование корреляционной функции R[m].
Нормирующий множитель Твведен в (15.188) для того, чтобы сделать физическую размерность спектральнойплотности дискретного случайного процесса равной размерности спектральной плотностинепрерывного процесса и сохранить ее физический смысл.Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральной плотности какфункции круговой частоты(15.189)или при учете четности(15.190)Наконец, можно определить спектральную плотность как функцию абсолютнойпсевдочастоты. Для этого в формуле (15.188) необходимо перейти к w-преобразованию,используя подстановку (15.163), а затем перейти к псевдочастоте посредствомTподстановки w = j k . В результате получим2(15.191)Аналогичным образом может быть определена взаимная спектральная плотность двухпроцессов.Заметим, что все приведенные формулы могут быть записаны и для случая ε ≠ 0 , тогдарассматривается случайная решетчатая функция f[n, ε ], корреляционная функция R[m, ε ],спектральные плотности S (z, ε ), S (w, ε ) и S* ( λ Я, ε ).Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, заключается втом, что интеграл от нее по всем частотам дает средний квадрат случайной величины.Можно показать [136], что в дискретном случае соответствующая формула имеет вид(15.192)Так как имеют место равенствато формула (15.192) может быть записана в виде(15.193)Выражение (15.193) обычно является более удобным для расчетов по сравнению с(15.192), так как позволяет использовать таблицы интегралов-(см.
приложение 2).Типовые случайные стационарные процессы. Если для функции f(z), представляющейсобой центрированную помеху, эффективное время корреляции(15.194)меньше периода дискретности, ∆τ < T , то такой процесс может быть представлен какдискретный белый шум с корреляционной функцией(15.195)где R[0] = D — дисперсия, а δ 0 [m] — единичная решетчатая импульсная функция(15.32), равная единице при m = 0 и равная нулю при m ≠ 0 . Этому белому шумусоответствует спектральная плотность(15.196)Если эффективное время корреляции ∆τ > T , то корреляционная функция R [m] можетбыть получена из соответствующей корреляционной функции непрерывного процессаR( τ ) заменой τ = mT .
Спектральная плотность может быть получена использованиемформул (15.188) — (15491).В табл. 15.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайныепроцессы.Прохождение сигнала через линейную систему. Пусть на входе линейного звена сизвестной дискретной передаточной функцией W(z) действует случайная функция х1 [n],для которой известны корреляционная функция R1 [m] и спектральная плотность S1 (w)или S*( λ ). Тогда для выходной, величины х2[n], аналогично непрерывному случаю,можно найти спектральную плотность умножением спектральной плотности входногосигнала на квадрат модуля частотной передаточной функции:(15.197)Интегрирование спектральной плотности по всем частотам в соответствии с (15.192) и(15.193) позволяет найти средний квадрат выходной величины x 22 [n] . Это позволяет длязамкнутой импульсной системы производить расчеты, аналогичные изложенным в § 11.8.Так, например, пусть в схеме, изображенной на рис.
15.11, на входе действуют полезныйсигнал g(t) и помеха n(t), не коррелированные между собой. Обозначим их спектральныеплотности S g* (λ ) и S n* (λ ) . Тогда спектральная плотность ошибки(15.198)где Ф*(j λ ) и Ф*x (j λ ) — частотные передаточные функции замкнутой системы изамкнутой системы по ошибке.Интегрирование (15.198) по всем частотам в соответствии с (15.193) дает средний квадратошибки(15.199)Подобным же образом могут быть найдены расчетные формулы и для других возможныхслучаев (см. § 11.8).РАЗДЕЛ IVНЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯГЛАВА 16СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОРЕГУЛИРОВАНИЯ§ 16.1.
Общие понятияНелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, котораясодержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Перечислим видынелинейных звеньев;1) звено релейного типа (рис. 1.12);2) звено с кусочно-линейной характеристикой (рис. 1.10, д и др.);3) звено с криволинейной характеристикой любого очертания;4) звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных идругие их комбинации;5) нелинейное звено с запаздыванием, причем запаздывание понимается в смысле § 14,1, анелинейность может иметь любой вид;6) нелинейное импульсное звено;7) логическое звено;8) звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в томчисле переменная структура.Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виденелинейных статических характеристик, а вторые — в виде нелинейныхдифференциальных уравнений.Общий метод составления уравнений для нелинейных систем состоит в следующем.Сначала по правилам § 3.1,-как делалось в главе 5, производится линеаризация уравненийвсех звеньев системы, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейныхзвеньев (чаще всего одного-двух).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
