Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Так,например, решетчатой функции e −αnT могут соответствовать огибающие e −αt иe −αt (cos w0 t + β sin w0 t ) , где w0 2kT −1 , k — целое число, β — любое число. Однако перваяиз них (основная огибающая) может быть получена в результате решениядифференциального уравнения первого порядка, тогда как вторая — в результате решениядифференциального уравнения второго порядка.Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции являетсялибо первая прямая разность(15.2)либо первая обратная разность(15.3)Обе эти разности показаны на рис.
15.7. Разности могут быть определены и длясмещенных решетчатых функций f[n, ε ]. Однако формулы для ε ≠ 0 и ε = 0 здесь идалее оказываются идентичными, вследствие чего в дальнейшем изложении принято ε =0.Прямая разность определяется в момент времени t= nТ по будущему значениюрешетчатой функции при t = (n + 1)Т. Это можно сделать в тех случаях, когда будущеезначение известно.Обратная разность определяется для момента времени t=nТ по прошлому значениюрешетчатой функции в момент времени t = (n — 1)T.Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служатвторые разности: прямая(15.4)и обратная(15.5)Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратнойразностей сохраняют свою силу и здесь.Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления k-й разностивозможно использование рекуррентных соотношений(15.6)(15.7)или формул общего вида(15.8)(15.9)где биномиальные коэффициенты (число сочетаний)(15.10)Обратные разности обладают важной особенностью.
Если решетчатая функцияопределена только для положительных значений аргумента, т. е. f[n] = 0 при n< 0, то, какследует из (15.9), в точке n=0 k-я разность(15.11)для любого целого положительного k.Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до t для решетчатой функцииявляются неполная сумма(15.12)и полная сумма(15.13)Отличие (15.13) от (15.12) заключается в том, что значение f[n] в момент времени t= nТтакже участвует в формировании результата.Разностные уравнения.
В качестве аналогов дифференциальных уравнений можнорассматривать разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). Прииспользовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеютвид(15.14)где f[n] — заданная, а у[n] — искомая решетчатые функции. При f[n] = 0 уравнение(15.14) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет y[n].При использовании (15.8) разностное уравнение (15.14) можно записать в другом виде:(15.15)Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости(15.16)где биномиальные коэффициенты(15.17)При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет(15.18)С учетом формулы (15.9) последнее выражение приобретает вид(15.19)Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями(15.20)(15.21)Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения,позволяющие вычислять значения у[n + m] при n— 0, 1, 2, ...
для заданных начальныхзначений y [0], у [1], . . ., y [m— 1] и уравнения вида (15.15) или значения у[n] при n = 0, 1,2, ... для заданных начальных значений у[n —m], у[n —m+ 1], . . ., у [n — 1] и уравнениявида (15.19). Такие вычисления легко машинизируются, а также не представляют никакихпринципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже вслучае, когда коэффициенты разностных уравнений a i (i = О, 1, . . ., m) с течениемвремени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов —дифференциальных уравнений.Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корняххарактеристического уравнения может быть записано следующим образом:(15.22).где z(i= 1, 2, .
. ., m) — корни характеристического уравнения(15.23)а Сi — произвольные постоянные.Из (15.22), в частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы,описываемой разностным уравнением (15.15), было бы затухающим (условиеустойчивости):(15.24)Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в общем видешироко используются дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование,w-преобразование, а также частотные методы, которые будут изложены ниже.§ 15.2.
Использование z-преобразованияДля решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретногопреобразования Лапласа, определяемое формулой(15.25)Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выражение:(15.26)Формулы (15.25) и (15.26) можно представить в символической записи аналогично (7.20):(15.27)(15.28)В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа,комплексная величина р = с + jw, где с — абсцисса абсолютной сходимости. Если с < ∞ ,то ряд, определяемый формулами (15.25) и (15.26), сходится и решетчатой функциисоответствует некоторое изображение.Как следует из (1:5.25) и (15.26), изображение решетчатой функции является функциейвеличины ерТ. Для смещенных решетчатых функций в изображение будет входить, крометого, параметр ε .Для исследования импульсных систем большое распространение получило такназываемое z-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа ивытекает из него.
Применительно к z-преобразованию ниже будут рассмотрены основныесвойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа.Под z-преобразованием понимается изображение несмещенной или смещеннойрешетчатых функций, определяемое формулами(15.29)В этих формулах введено новое обозначение z= ерТ. Из них следует, что z-преобразованиепрактически cовпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается толькообозначением аргумента изображения.Таким образом, решетчатая функция времени (оригинал) заменяется ее изображением (zпреобразованием).
Формулы преобразования (15.29) могут быть записаны всимволической форме:(15.30)Формулы преобразования (15.30) могут быть записаны и для непрерывнойпроизводящей функции в виде(15.31)где n=0, 1, 2, ...Ряды (15.29) сходятся, и изображение решетчатой функции существует, если выполняетсяусловие, сформулированное выше для дискретного преобразования Лапласа: с < ∞ , где с— абсцисса абсолютной сходимости.В табл. 15.1 приведены изображения некоторых решетчатых функций, а такжепроизводящих функции времени и их изображений Лапласа.В таблице введена единичная импульсная решетчатая функция [68].(15.32)Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как δ -функция(функция Дирака) в непрерывных системах.Для всех непрерывных и решетчатых функций, приведенных в табл.
15.1, предполагается,что они тождественно равны нулю при t< 0. В некоторых изображениях табл. 15.1использованы полиномы Rk (z), которые могут быть представлены в виде определителя[136](15.33).Некоторые частные значения этого полинома:(15.34)Операцию нахождения z-преобразования от решетчатой функции (15.30) или отнепрерывной производящей функции (15.31) можно распространить на изображениеЛапласа непрерывной производящей функцииПусть решетчатая функция f[nТ] получается из непрерывной функции f(t) квантованием вмоменты времени t = nТ. Введем вспомогательную импульсную функцию, образованнуюумножением исходной непрерывной функции на последовательность δ -функций(15.35).Найдем преобразование Лапласа введенной функции(15.36).Так как интеграл от δ -функции равен единице, то имеемгде z= ерт.Таким образом, преобразование Лапласа для импульсной функции оказывается равным zпреобразованию исходной непрерывной производящей функции.Обозначив последовательность δ -функций вида δ (t − nt − εt ) , где n— 0, 1, 2, .
. ., черезδ T (t ) , импульсную функцию при ε ≠ 0 , можно представить следующим образом: '(15.38)Применим к левой и правой части последнего выражения преобразование Лапласа. Всоответствии с приведенным доказательством в левой части будет получено zпреобразование исходной непрерывной функции времени(15.39)Используем далее теорему свертки в комплексной области(15.40)Здесь Fл(р) = L{f(t)}. Кроме того,а такжеИнтегрирование в (15.40) ведется по прямой р = с + jw, где с — число,большее абсциссы абсолютной сходимости, и по полуокружности радиуса R → ∞ .Полуокружность может быть выбрана как в левой, так и в правойчасти комплексной плоскости. В последнем случае внутрь контура интегрированияпопадают полюсы подынтегрального выражения, определяемые равенством e − ( p −λ )T = 12πили − ( p − λ )T = j 2πr , где r = 0, ±1, ±2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
