Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 80
Текст из файла (страница 80)
14.7 будет(14.51)Уравнение всей системы регулирования. Итак, для данной системы автоматическогорегулирования имеем уравнения объекта (14.29) с граничными условиями (14.38) и (14.45)или (14.46) и уравнения регулятора (14.47), (14.49), (14.50) и (14.51).Решение уравнений в частных производных (14.29), как известно, можно записать в видеследующей суммы некоторых двух функций от аргументов ( t − γT0 λ ) и ( t + γT0 λ ):(14.52)(легко проверить, что при подстановке этих выражений уравнения (14.29)удовлетворяются тождественно).Для определения функций Ф' и Ф" используются граничные условия.
При исследованиипереходного процесса уравнение потребления газа в конце трубопровода (т. е. второеграничное условие) возьмем в виде (14.46). Это соответствует значению l = L, т. е. λ = 1.Поэтому из условия (14.46) с подстановкой (14.52) получаемоткуда(14.53)где обозначено(14.54)Для начала трубопровода, где λ = 0, из (14.52) с учетом (14.53) получаем:(14.55)К этим уравнениям надо присоединить первое граничное условие (14.38) и уравнениярегулятора.Запишем теперь все уравнения системы регулирования в символической операторнойформе, заметив предварительно, что согласно § 14.1 равенство (14.53) в операторнойформе имеет вид(14.56)В результате все указанные уравнения системы регулирования будут:(14.57)или, после объединения некоторых уравнений,(14.58)Исключив отсюда переменные ξ и η , приходим к одному дифференциальномууравнению данной системы автоматического регулирования:которое преобразуется к виду(14.59)Это уравнение имеет в основном тот же вид, что и уравнение системы с запаздыванием(например, (14.19) и (14.20)).
Здесь оно определяет величину Ф', через которую затемнаходятся из вышенаписанных соотношений регулируемая величина ϕ1 и другие.Параметр τ в этом уравнении согласно (14.54) и (14.30) вычисляется по формуле(14.60)т.е. τ есть удвоенное время прохождения звука в газе по данному трубопроводу.Уравнение системы регулирования без учета волновых процессов.Интересно сравнить полученное дифференциально-разностное уравнение (14.59) с тем,которое получилось бы, если не учитывать волновых явлений в трубопроводе.
Будемсчитать, что весь газ в трубопроводе движется, как единая масса с единой скоростью идавлением, при этом учтем, конечно, сжимаемость газа.Будем считать, что приток и потребление газа в единицу времени в этом случае будутG1=G1(x), G2=G2(x). Изменение количества газа, находящегося в трубопроводе, в единицувремени будет G1-G2; ноиспользуя (14.35), (14.36) и (14.27), получим(14.61)С другой стороны, количество газа (по весу) равно gρFL , так как FL есть объемтрубопровода. Поэтому изменение количества газа в единицу времени,используя (14.24) и соотношение —ρ0, запишем в видеρили, с учетом (14.25), (14.27) и (14.37),(14.62)Сравнивая (14.61) и (14.62), получаем искомое уравнение регулируемого объекта(трубопровода) без учета волновых процессов:(14.63)где(14.64)Здесь То — прежняя постоянная объекта (14.30), а β — новый постоянный параметробъекта, в выражении которого значение частной производной определяется длязаданного объекта графически, аналогично рис.
14.8, или же расчетным путем.К этому же уравнению объекта присоединяются прежние уравнения регулятора (14.47) —(14.51), где ϕ1 заменяется на ϕ . Следовательно, в символической операторной формеуравнения данной системы регулирования давления без учета волновых явлений будут:(14.65)или(14.66)Следовательно, в этом случае вместо дифференциального уравнения третьего порядка сзапаздывающим аргументом (14.59) получается обыкновенное дифференциальноеуравнение четвертого порядка.§ 14.3.
Исследование устойчивости и качества регулированияВ § 14.1 были приведены уравнения линейных систем с запаздыванием, которые дляразомкнутой цепи имели вид(14.67)а для замкнутой системы(14.68)где(14.69)В § 14.2 при выводе уравнений для одной линейной системы автоматическогорегулирования с распределенными параметрами было показано; что они сводятся к томуже самому виду во всех тех случаях, когда распределенное звено системы описываетсяволновым уравнением в частных производных типа (14.31) или (14.29).Характеристическое уравнение для таких систем с распределенными параметрами исистем с запаздыванием имеет согласно (14.69) трансцендентный вид(14.70)где Q(р) и P(р) — обыкновенные многочлены, причем степень R(р) обычно меньше или вкрайнем случае равна степени Q (р).Уравнение (14.70) записывается иногда и в другом виде, например:илиМогут встретиться уравнения и более сложного вида:и т.
п.Рассмотрим характеристическое уравнение вида (14.70). Известно, что решениедифференциально-разностных уравнений (14.68) можно записать в виде некоторых рядови что для затухания этого решения, т. е. для устойчивости системы, необходимо идостаточно, чтобы все корни трансцендентного характеристического уравнения (14.70)имели отрицательные вещественные части. Но в отличие от обыкновенногоалгебраического уравнения здесь вследствие наличия множителя e −τp уравнение можетиметь бесконечное количество корней.К указанным системам применимы критерий устойчивости Михайлова и критерийустойчивости Найквиста в их прежних формулировках (см. главу 6). Однако здесьвследствие наличия множителя e − jwt существенно изменяется очертание как кривойМихайлова замкнутой системы(14.71)так и амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой цепи, построенной по частотнойпередаточной функции(14.72)причем размыкание системы производится по определенному правилу, которое даетсяниже.Из кривой Михайлова не получается таких простых алгебраических выражений, как в§6.3.
Как следствие, для устойчивости линейных систем первого и второго порядка сзапаздыванием, оказывается, уже недостаточно только положительности коэффициентов,а для систем третьего и более высокого порядка с запаздыванием неприменимы критерииустойчивости Вышнеградского, Рауса и Гурвица.Ниже будет рассмотрено определение устойчивости только по критерию Найквиста, таккак его использование для этой цели оказывается наиболее простым.Построение амплитудно-фазовой характеристики и исследование устойчивости покритерию Найквиста лучше всего производить, если передаточная функция разомкнутойсистемы представлена в виде (14.72). Для получения этого необходимо произвестисоответствующим образом размыкание системы.Для случая, изображенного на рис.
14.9, а, размыкание можно сделатьв любом месте главной цепи, например так, как это показано. Тогда передаточнаяфункция разомкнутой системы будетчто совпадает по форме с (14.72).Для случая, изображенного на рис. 14.9, б, размыкание главной цепи дает выражениепередаточной функции разомкнутой системы, неудобное для дальнейших исследований:В этом случае удобнее разомкнуть систему по цепи местной обратной связи.
Тогдапередаточная функция разомкнутой системы приобретает вид, совпадающий с (14.72):Наконец, в случае, изображенном на рис. 14.9, в, при размыкании системы в указанномместе получаем выражение, также совпадающее с (14.72):Заметим, что при наличии характеристического уравнения, записанного в виде (14.70),передаточная функция разомкнутой системы может быть записана сразу в виде (14.72),без нахождения места размыкания на структурной схеме. Записанное в таком видевыражение может быть использовано далее для исследования устойчивости.Частотную передаточную функцию (14.72) можно представить в виде(14.73)Кроме того,(14.74)где А0 (w) — модуль и ψ 0 ( w) — фаза (аргумент) системы без запаздывания. Модульвторого сомножителя (14.73) равен единице, а его аргумент равен ∆ψ = wτ .
Поэтому,представив выражение (14.72) в видеполучаем значение модуля результирующей частотной передаточной функции(14.75)и фазы(14.76)Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля и вносит толькодополнительный фазовый сдвиг.На рис. 14.10 изображена амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая (14.74).Сплошной линией показана исходная характеристика при τ = 0 , а пунктиром характеристика, которая получается при наличии постоянного запаздывания τ ≠ 0 .Из этих характеристик видно, что наличие дополнительного фазового сдвига ∆ψ = wτ«закручивает» годограф, особенно в высокочастотной части, по часовой стрелке.
Это,вообще говоря, ухудшает условия устойчивости, так как вся кривая приближается к точке(-1, j0). Иногда в особых случаях, при сложной форме годографа W0 (jw), введениепостоянного запаздывания может улучшить условия устойчивости.По имеющемуся годографу W0 (jw) можно определить критическое значение временизапаздывания τ = τ ср , при котором система оказывается на границе колебательнойустойчивости.Для этой цели на годографе Ж0 (/со) отыскивается точка, для которой модуль равенединице (рис. 14.10).
Частоту, соответствующую этой точке, обозначим w1, а фазу —− ψ 1 . При введении постоянного запаздывания τ = τ кр . условие совпадения этой точки сточкой ( — 1, j0) запишется следующим образом:откуда критическое значение запаздывания(14.77)Если подобных «опасных» точек будет несколько, то необходимо сделать расчеты длявсех точек и взять наименьшее значение ткр.Заметим, что частота w1 равна частоте среза л.
а. х., w1 = wср (см., например, рис. 4.10или 6.25). Поэтому нахождение w1 и ψ 1 удобно делать при наличии построенных л. а. х. ил. ф. х. В этом случае, вообще, расчеты по определению устойчивости могут совмещатьсяс определением качества, системы частотными методами.Л. а. х. системы с запаздыванием совпадает с л. а. х. исходной системы (беззапаздывания).
Дополнительный фазовый сдвиг, который надо учесть при построении л.ф. х. системы с запаздыванием, определяется (14.76). В некоторых случаях могутиспользоваться аналитические расчеты. Так, например, рассмотрим статическую системус одной постоянной времени. Частотная передаточная функция разомкнутой системыимеет вид(14.78)Приравняем модуль единице:Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке:Фазовый сдвиг на этой частотеПо формуле (14.77) находим критическое запаздывание:(14.79)По этому выражению на рис. 14-11 построена область устойчивости в координатах«общий коэффициент усиления — относительное запаздывание».Рассмотрим более сложный случай астатической системы с одной постоянной времени,когда частотная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид(14.80)Приравняем модуль единице:Отсюда находится частота, соответствующая опасной точке:Фазовый сдвиг на этой частотеКритическое запаздывание на основании формулы (14.77)(14.81)Если Т = 0, то из последней формулы, сделав предельный переход, находим(14.82)Пусть К =10 сек-1 и T =0,2 сек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
