Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Уравнения линейных систем с запаздываниемЛинейными системами с запаздыванием называются такие автоматические системы,которые, имея в общем ту же самую структуру, что и обыкновенные линейные системы(раздел II), отличаются от последних тем, что в одном или нескольких из своих звеньевимеют запаздывание во времени начала изменения выходной величины (после началаизменения входной) на величину т, называемую временем запаздывания, причем этовремя запаздывания остается постоянным и во всем последующем ходе процесса.Например, если обыкновенное линейное звено описывается уравнением(14.1)(апериодическое звено первого порядка), то уравнение соответствующего линейногозвена с запаздыванием будет иметь вид(14.2)(апериодическое звено первого порядка с запаздыванием). Такого вида уравненияназываются уравнениями с запаздывающим аргументом или дифференциальноразностными уравнениями.Обозначим х*(t) = х1(t - τ ).
Тогда уравнение (14.2) запишется в обыкновенном виде:(14.3)Так, если входная величина х1 изменяется скачком от нуля до единицы (рис. 14.1, а), тоизменение величины х*(t) = х1(t - τ ), стоящей в правой части уравнения звена,изобразится графиком рис. 14.1, б (скачок на τ секунд позже). Используя теперьпереходную характеристику обыкновенного апериодического звена в применении куравнению (14.3), получаем изменение выходной величины х2 в виде графика рис.14.1, в. Это и будет переходная характеристика апериодического звена первого порядкас запаздыванием (его апериодическое «инерционное» свойство определяется постояннойвремени Т, а запаздывание — величиной τ ).Линейное звено с запаздыванием.
В общем случае, как и для (14.2), уравнениединамики любого линейного звена с запаздыванием можно разбить на два:(14.4)что соответствует условной разбивке линейного звена с запаздыванием (рис. 14.2, а) надва: обыкновенное линейное звено того же порядка и с теми же коэффициентами ипредшествующий ему элемент запаздывания (рис. 14.2, б).Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая же,как у соответствующего обыкновенного звена, но только сдвинута по оси времени вправона величину τ .Примером звена «чистого» запаздывания т является акустическая линия связи ( τ — времяпрохождения звука).
Другими примерами могут служить система автоматическогодозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера( τ — время движения ленты на определенном участке), а также система регулированиятолщины прокатываемого металла, где т означает время движения металла от валков доизмерителя толщины. В двух последних примерах величина т называется транспортнымзапаздыванием.В первом приближении определенной величиной запаздывания т могут бытьохарактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звеньясистемы (подробнее о них см. § 14.2).Величину запаздывания τ в звене можно определить экспериментально путем снятиявременной характеристики.
Например, если при подаче на вход звена скачком некоторойвеличины, принимаемой за единицу, на выходе получается экспериментальная кривая дляx2, показанная на рис. 14.3, б, то можно приближенно описать это звено какапериодическое звено первого порядка с запаздыванием (14.2), взяв величины τ , Т и kэкспериментальной кривой (рис. 14.3, б).Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рис. 14.3, вможет трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодическогозвена второго порядка с уравнениемпричем T1, Т2 и k можно вычислить из соотношений, записанных в § 4.5 для данногозвена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами.Итак, с точки зрения временной характеристики реальное звено, приближенноописываемое уравнением первого порядка с запаздывающим аргументом (14.2), частоможет быть с такой же степенью приближения описано обыкновеннымдифференциальным уравнением второго порядка (14.5).
Для решения вопроса о том, какоеиз этих уравнений лучше подходит к данному реальному звену, можно сравнить еще ихамплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовойхарактеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденныхколебаниях. Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с запаздываниембудет рассмотрено ниже.В целях единства записи уравнений представим второе из соотношений (14.4) дляэлемента запаздывания в операторном виде.
Разложив правую часть его в ряд Тейлора,получимили, в принятой ранее символической операторной записи,(14.6)Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания для изображений функций(табл. 7.2). Таким образом, для звена чистого запаздывания получаем передаточнуюфункцию в виде(14.7)Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени всистеме регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного суммеэтих постоянных времени.
Действительно, пусть система cодержит N последовательновключенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи,равным единице, и величиной каждой постоянной времени ∆T =τN. Тогдарезультирующая пере даточная функция будет(14.8)Если N → ∞ , то в пределе получаем W ( p) = e − pτ . Уже при N = 8 …10 передаточнаяфункция (14.8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (14.6).Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (14.4) будем теперь записывать ввиде(14.9)Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет(14.10)где через W0(р) обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенноголинейного звена без запаздывания.Частотная передаточная функция получается из (14.10) подстановкой р = jw:(14.11)где А0 (w) и ψ 0 (w) — модуль и фаза частотной передаточной функции звена беззапаздывания.
Отсюда получаем следующее правило.Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного звена сзапаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейногозвена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол τw , гдеw— значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рис.
14.4, а).Так как в начале амплитудно-фазовой характеристики w = 0, а в конце w= ∞ , то начальнаяточка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается наначало координат (если степень операторного многочлена К меньше, чем многочлена Q).Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики)вида рис. 14.3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны какуравнением (14.2), так и (14.5).
Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (14.2)и (14.5) показаны на рис. 14.4, а и б соответственно. Принципиальное отличие первойсостоит в том, что она имеет точку. В пересечения с осью U. При сравнении обеиххарактеристик между собой и с экспериментальной амплитудно-фазовой характеристикойреального звена надо принимать во внимание не только форму кривой, но и характерраспределения отметок частот со вдоль нее.Линейная система с запаздыванием. Пусть одноконтурная или многоконтурнаяавтоматическая система в числе своих звеньев имеет одно звено с запаздыванием. Тогдауравнение этого звена имеет вид (14.9). Если таких звеньев несколько, то они могут иметьразные величины запаздывания ( τ 1 , τ 2 , .
. .). Все выведенные в главе 5 общие формулы дляуравнений и передаточных функций систем автоматического регулирования остаются всиле и для любых линейных систем с запаздыванием, если только в эти формулыподставлять значения передаточных функций в виде (14.10).Например, для разомкнутой цепи из последовательно соединенных звеньев, средикоторых имеется два звена с запаздыванием τ 1 и τ 2 соответственно, передаточнаяфункция разомкнутой системы будет иметь вид(14.12)где Wо(р) — передаточная функция разомкнутой цепи без учета запаздывания, равнаяпроизведению передаточных функций включенных последовательно звеньев.Таким образом, при исследовании динамики разомкнутой цепи из последовательносоединенных звеньев безразлично, будет ли все запаздывание сосредоточено в одномкаком-нибудь звене или разнесено по разным звеньям.
Для многоконтурных цепейполучатся более сложные соотношения.Если имеется звено с отрицательной обратной связью, обладающей запаздыванием т, тооно будет описываться уравнениями:(14.13)Передаточные функции звена и цепи обратной связи будут при этом(14.14)Согласно (5.59) результирующая передаточная функция звена вместе с обратнойсвязью будет(14.15)Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение звена воператорной форме(14.16)или, при подстановке (14.14),(14.17)Пусть, например, интегрирующее звено с замедлением, передаточная функция которогоохватывается отрицательной обратной связью с передаточной функциейТогда результирующая передаточная функция звена с обратной связью в соответствии с(14.15) будетЧастотная передаточная функция получается подстановкой в последнее выражение р=jw:Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая этому выражению, приведена дляиллюстрации на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
