Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Поэтому приходится говорить лишь о приближеннойреализации полученных условий оптимальности. Другие подходы к проблеме аналитическогоконструирования регуляторов содержатся в работах [46, 60, 62, 77, 133].РАЗДЕЛ IIIОСОБЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫАВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯГЛАВА 13СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ§ 13.1. Основные понятияЛинейными системами с переменными параметрами называются системы, движениекоторых описывается линейными дифференциальными уравнениями временными вовремени коэффициентами:(13.1)Коэффициенты а0, . .
., аn и b0, . . ., bm являются функциями времени, которые задаютсялибо графиками, построенными на основании эксперимента, либо аналитически.Переменные коэффициенты в уравнении системы автоматического регулирования(13.1) возникают вследствие наличия переменных коэффициентов хотя бы в одномзвене системы. Так, например, у подвижного объекта (корабля, самолета, ракеты) стечением времени вследствие выгорания топлива происходит изменение массы имоментов инерции.
Если объект при своем движении меняет скорость и высоту, товозможно изменение его аэродинамических коэффициентов.Рассмотрим переходную функцию и функцию веса системы с переменными параметрами.Так как коэффициенты уравнения (13.1) меняются с течением времени, то эти функциибудут зависеть от момента приложения единичного скачка или единичного импульса навходе.
На рис. 13.1, а изображен график изменения одного из коэффициентов уравнения(13.1) и переходная функция(13.2)где t — текущее время, отсчитываемое от некоторого момента, соответствующего,например, включению системы регулирования или началу изменения переменныхпараметров; ϑ — время, соответствующее поступлению на вход единичнойступенчатой функции; τ — текущее время, отсчитываемое от момента приложенияступенчатой функции.Если теперь на вход подать единичную импульсную функцию, которую можнопредставить как предел отношениято процесс на выходе, т. е. функцию веса, в силу принципа суперпозиции можнопредставить в виде разности двух смещенных на ∆ϑ переходных функций с измененным в1/ ∆ϑ раз масштабом:Правая часть этого выражения представляет собой производную от переходной функциипо аргументу ϑ , взятую с обратным знаком.
Таким образом, для функции веса получаем(рис. 13.1, б)(13.3)Как следует из (13.3), функция веса является функцией двух переменных: времени ϑ ,соответствующего моменту поступления на вход системы единичного импульса, итекущего времени t (или τ = t − ϑ ). В связи с этим функцию веса можно изобразить в виденекоторой поверхности (рис. 13.2).Эта поверхность переходит в плоскость t0 ϑ при t< ϑ . Границе перехода поверхности вплоскость соответствует биссектриса t = ϑ . Это обстоятельство объясняется тем, что вреальных системах реакция не может появиться ранее приложения на входе системыимпульса. Поэтому при t= ϑ функция веса должна быть тождественно равна нулю.Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси t(рис. 13.2, а), дает весовую функцию для фиксированного момента приложенияединичного импульса на входе системы ( ϑ = const).
Эта функция называется нормальнойвесовой функцией системы с переменными параметрами:(13.4)Она является параметрической функцией, так как в нее входит фиксированный параметрϑ = const;.Нормальная весовая функция может быть сделана зависящей от аргументаτ = t − ϑ подстановкой t = ϑ + τ .
В результате получаем функцию(13.5)Сечение поверхности весовой функции вертикальной плоскостью, параллельной оси и,дает кривую, образованную ординатами семейства нормальных весовых функций дляфиксированного значения времени t=const (рис. 13.2, б). Эта кривая может быть полученапутем обработки семейства нормальных весовых функций, построенных для различныхмоментов приложения единичного входного импульса ϑ (рис.
13.3). Получающуюсязависимость будем называть сопряженной функцией веса:ω (t − ϑ , ϑ ) ,t=const.(13.6)Она также является параметрической функцией, так как содержит параметр t=const.Сопряженная функция веса является функцией смещения ϑ , но может быть представленатакже как функция аргумента θ = t − ϑ (рис.
13.2, б),называемого реверс-смещением, поскольку θ отсчитывается от точки ϑ =t в сторону,противоположную смещению ϑ . Это осуществляется подстановкой в сопряженнуювесовую функцию значения ϑ = t − θ при t=const. В результате получаем(13.7)Проиллюстрируем все сказанное примером. Пусть функция веса системы с переменнымипараметрами имеет видЗафиксировав смещение и положив, например, ϑ = ϑ 0 = const, получаем нормальнуюфункцию веса:или в другом виде, при переходе к аргументу τ = t − ϑ :Зафиксировав текущее время и положив, например, t=t0=const, получаем сопряженнуюфункцию весаПерейдя к реверс-смещению θ = t − ϑ , имеемЗаметим, что в системах с постоянными параметрами весовая функция является функциейтолько времени θ = t − ϑ и не зависит от момента приложения ϑ входного импульса.Рельеф функции веса (рис.
13.2) в этом случае получается цилиндрическим, а обарассмотренных выше сечения (рис. 13.2, а и б) совпадают по форме и отличаются толькознаками аргументов. При переходе к реверс-смещению получаем полное совпадение двухфункций веса — нормальной и сопряженной: ω (τ ) = ω (θ ) .Пусть на систему (13.1) с функцией веса ω (t − ϑ , ϑ ) действует входной сигнал f(t).Элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времени t ≥ ϑ будет(13.8)Полный сигнал на выходе линейной, системы определяется как суперпозицияэлементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от 0 до t:(13.9)Так как при ϑ >t функция веса равна нулю, то выражение (13.9) можно также записать ввиде(13.10)Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнении связи между входнойи выходной величинами используется сопряженная функция веса (13.6), т.
е. разрезрельефа функции веса (рис. 13.2, б) вдоль аргумента ϑ .Если использовать реверс-смещение θ = t − ϑ , то интегральная связь (13.9) может бытьпредставлена в виде интеграла свертки(13.11)Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса зависиттолько от времени (t- ϑ )В этом случае формула (13.11) переходит в интеграл свертки(7.44)§ 13.2. Нахождение функции веса и построение переходных процессовФункция веса системы с переменными параметрами является исчерпывающейхарактеристикой этой системы, и нахождение ее важно по следующим соображениям.Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе регулирования, ипо ее виду можно судить о качестве регулирования, аналогично тому, как это делалось длясистем с постоянными параметрами (§ 8.4).
По имеющейся функции веса можноопределить время протекания переходного процесса, как характеристику быстродействия,и склонность системы к колебаниям.Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе системырегулирования при заданных входных воздействиях, не производя при этом каждый разполного решения исходного уравнения (13.1).
В соответствии с формулами (13.9) и (13.11)для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса.Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют пока решать задачунахождения функции веса в численном виде. Только для систем регулирования,описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков,удается решать задачу в общем виде.
Поэтому в некоторых случаях приходится сложнуюсистему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе,движение которой описывается уравнением не выше второго порядка.Следует заметить, что большинство систем регулирования с переменными параметрамиотносится к так называемым квазистационарным системам, или системам, параметрыкоторых меняются сравнительно медленно. В подобных системах коэффициентыдифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходногопроцесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса.Дифференциальное уравнение первого порядка.
В некоторых случаях для оценки видапереходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приближенноможно свести к дифференциальному уравнению первого порядка(13.12)Это уравнение имеет аналитическое решение(13.13)гдеа С — постоянная интегрирования.Пусть, например, имеется уравнение(13.14)Определим для него семейство переходных характеристик h(t − υ ,υ ) = h(t ,υ ) . Дляединичной ступенчатой функции при υ ≠ 0 уравнение можно записать в следующем виде:Приведем его к виду (13.12):Далее получаем:На основании формулы (13.13) получаемПри нулевых начальных условиях (для t = υ ) должно быть h(0,υ ) = 0 . Отсюдаопределяется постоянная интегрированияОкончательно получаемДифференцируя последнее выражение по υ , можно получить функцию веса:или в ином виде:Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию веса из общегорешения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичномусмещенному импульсу Q(t ) = δ (t − υ ) .
Проделав необходимые выкладки, получаем(13.15)гдеРаспространим этот результат на более общий случай записи дифференциальногоуравнения в виде(13.16)Приведем его к виду (13.12):Положив f (t ) = δ (t − υ ) , получаем для функции веса решение в виде(13.18)гдеРассмотрим снова в качестве примера уравнение (13.14). Приведем его к виду(13.17):Обратившись к формуле (13.18), находими функцию весачто совпадает с полученным ранее выражением.Дифференциальное уравнение второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
