Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Однакоматематическое выражение критериев оптимальности может иметь не только форму (12.121), нои любую другую форму.(12.122)Функционал, минимум которого нужно получить, в общем случае-может представлятьлюбую желаемую комбинацию оценок различных качеств задаваемой системы.
Заметим, чтооптимальность системы по быстродействию является простейшим частным случаем для синтезаоптимальных систем, так как в этом случае в функционале (12.122), причем I= t1 — t0(время перехода системы из начального состояния в новое, заданное при t = t1).Чаще всего в качестве подынтегральных функций в (12.122) используются положительноопределенные квадратичные формы от фазовых координат, управляющихвеличин, например, в виде(12.123),Введя понятия критерия оптимальности, т.
е., по сути дела, критерия качества системы,можно попытаться сформулировать задачу оптимального управления.Пусть— матрица-столбец фазовых координат, а— матрицаистолбец управляющих воздействий, которые принадлежат некоторому множествусчитаются допустимыми. Из множества допустимых управлений требуется выбрать такое,которое переводит управляемый объект из начального положенияв конечноеи минимизирует принятый функционал качества. Это управление и соответствующаяему траектория называются оптимальными. Однако эта формулировка является лишь возможной,распространенной, но не единственной (см., например, § 11.9).В условии задачи оптимизации любого одного из качеств системы фигурируют некоторыеограничения других ее свойств в виде заданной управляю щейсилы или мощности, заданноговеса, заданных интервалов возможного изменения параметров регулятора и объекта и т.
п. Придостижении максимальной точности может быть задано ограничение стоимости, веса, внешнихвозмущений. При достижении максимальной надежности системы может быть, кроме указанныхограничений, задано ограничение ошибок системы, или пределы допустимого отклоненияпараметров реальных элементов системы от их номинальных (запроектированных) значений. Дляпрактики учет ограничений при оптимизации системы чрезвычайно важен, так как всякаяреальная система характеризуется ограниченной мощностью, инерционностью и всегда целымкомплексом качеств (точность, устойчивость, быстродействие, надежность, стоимость, вес,простота эксплуатации и соответствие своему практическому назначению по целому рядуконкретных физико-химических свойств), которые надо соблюсти в определенных пределах приоптимизации одного, наиболее важного из них.
Оптимизироваться может также не однокачестйо, а определенная комбинация качеств.Рассмотрим основные виды ограничений.1. Ограничения на фазовые координаты и управления(12.124)При отсутствии ограничений подобного рода говорят, что задача оптимизации относится кчислу вариационных задач в открытой области. Введение подобных ограничений приводит кзадаче в закрытой области, что значительно усложняет решение и часто делает невозможнымиспользование классических вариационных методов (см.
главу 23).2. Ограничения типа голономных связей^где Gk — некоторые функции, которые в общем случае могут зависеть от времени.3. Ограничения типа неголономных связей в виде дифференциальных уравнений4. Изопериметрические(12.126)ограничения в виде функционалов(12.127)где в правой части находятся некоторые постоянные числа, которые не должныпревосходиться. В качества аk могут фигурировать такие величины, как, например, предельнаятемпература нагревания, количество выделившегося тепла, расход энергии или рабочего тела ит.п.Отличие синтеза оптимальной системы от синтеза системы по заданным показателямкачества, рассмотренного ранее, состоит в том, чтобы добиться не просто требуемыхпоказателей, а наилучших показателей, т.
е. «выжать» из системы все, что она может датьнеопределенному виду качества, наиболее важному для этой системы, при соблюдении Заданныхтребований до всем необходимым другим ее свойствам. Поэтому задача оптимизации системявляется в существе своем задачей вариационного типа, когда требуется подобрать программу изакон регулирования, а также и параметры системы управления (регулятора) таким образом,чтобы получить минимум функционала, который в данном случае служит критериемоптимальности системы.При оптимизации систем управления и регулирования необходимо различать два классазадач, решаемых последовательно: оптимизацию программы регулирования (или управления) иоптимизацию закона регулирования .(или управления).
Первый из этих классов задач возникаетне всегда, а лишь , тогда, когда процессы в управляемой системе (например, движениеуправляемого объекта, ход физического или химического процесса) задаются определеннойпрограммой изменения регулируемой величины во времени или же когда выбираетсяопределенная связь между переменными (координатами или другими физическими величинами),которая должна соблюдаться независимо от момента времени, другими словами, когда имеется.либо временная, либо параметрическая программа управления.Примером временной программы управления может служить программа изменения углатангажа во времени при подъеме или спуске летательного аппарата. Примером параметрическойпрограммы управления могут служить методы автоматического наведения или самонаведения,например, по принципу параллельного сближения и др.В случае оптимизации той или иной программы управления она не задается, а отыскиваетсяв результате расчета по какому-либо критерию оптимальности, например по минимуму затратыэнергии при желаемом маневре летательного аппарата в процессе его движения или присближении двух аппаратов в процессе наведения.Вторым самостоятельным классом задач, как указывалось, является оптимизация законарегулирования, т.
е. наилучшее построение регулятора (системы управления) для осуществлениязаданной программы управления. Эта задача может иметь место во всех автоматическихсистемах независимо от того, оптимизировалась ли программа управления или она была иначезадана, в том числе и в случае простого поддержания постоянного значения регулируемойвеличины и в случае любой обычной следящей системы.
При оптимизации законарегулирования, как и обычно, рассматриваются уравнения динамики системы в отклонениях оттребуемых величин (от программы).В настоящее время одной из основных проблем в оптимальном синтезе стала проблемавесовых коэффициентов в функционалах качества типа (12.121) или (12.123). Это связано с тем,что попытка введения более или менее сложного функционала качества, учитывающего веськомплекс требований к системе регулирования (точность, расход энергии, надежность, вес,технологичность и т.
п.), неизбежно приводит к необходимости сопоставить между собойотдельные требования, что и должно делаться посредством весовых коэффициентов. Однаконазначение этих коэффициентов лока осуществляется произвольно и, в лучшем случае, понекоторым экспертным оценкам, что иногда дает им субъективный характер.В связи с необходимостью удовлетворения в процессе синтеза многим различнымтребованиям возникла трактовка оптимального синтеза как такого построения системырегулирования или управления, при котором все необходимые требования могут бытьвыполнены простейшим образом [10].
В качестве критерия простоты вводится, например,функционал в частотной «области(12.128)где r — степень астатизма системы, а— частотная передаточная функцияразомкнутого канала управления.В статических системах (r = 0) значение (12.128) совпадает с эквивалентной полосойпропускания разомкнутой системы, что разъясняет физическую сущность введенногофункционала. Чем меньше требуется полоса пропускания при выполнении всех качественныхтребований (точность, запас устойчивости, быстродействие и т. п.), тем проще реализация этойсистемы.
В [10] показано, в частности, что приведенный в § 12.6 метод синтеза эвристическимпутем приводит к минимизации функционала (12.128). Подобный метод синтеза может бытьназван оптимальным синтезом по заданным, качественным показателям.Существуют различные способы оптимизации или, иначе говоря, методы синтезаоптимальных систем, как аналитические, так и машинные. В основе этих способов лежатматематические вариационные методы. Каждый из них сопровождается различными вариантамиприемов доведения решения задачи до конца в числовом виде. Оказывается, что это последнеепредставляет во многих случаях особенно трудную задачу даже при наличии решения впринципиальном виде. Поэтому чаще всего (во всяком случае для систем высокого порядка)приходится применять вычислительные машины с использованием таких вычислительныхметодов, как метод градиента, метод наискорейшего спуска, и других специальноразрабатываемых приемов.
Для некоторых простейших задач имеются аналитические решения,иногда с привлечением изображений на фазовой плоскости. Заметим, что ранее (см. § 11.9) ужебыл рассмотрен метод синтеза линейной оптимальной системы при случайных воздействиях поминимуму среднеквадратичной ошибки (задача Винера). Поэтому в дальнейшем изложении этазадача уже фигурировать не будет.Оптимальные законы регулирования при учете реально имеющихся ограничений частополучаются нелинейными (см. главу 23).§ 12.8. Использование классических вариационных методовПусть в качестве критерия качества рассматривается функционал вида=при заданных граничных условиях.Вподынтегральное выражение (12.129) здесь не входят производные выше первой от координати управлений . Если не наложено никаких ограничений, топринадлежат открытымобластям.Решение задачи в этом случае дается уравнениями Эйлера, записанными для всехкоординат и всех управлений, входящих в (12.129):(12.130)где F' — частные производные от подынтегральной функции (12.129) по соответствующимпеременным.
Это решение определяет пучок интегральных кривых (экстремалей), изкоторых необходимо выбрать траекторию, проходящую через заданные начальную и конечнуюточки.При этом функциидолжны принадлежать к так называемому классу функций,т. е. должны иметь 2m непрерывных производных. В рассматриваемом случае (12.129), должны иметь двенаивысшая производная является первойнепрерывные производные.Кроме того, для установления факта минимизации функционала (12.129) необходимоудостовериться, что вдоль экстремалей выполняются условия.
Эти условияаналогичны требованию положительности второй производной в точке минимума функции.Однако задача без ограничений не имеет смысла применительно к системам регулированияи управления. Введем ограничения в виде связей типа (12.125) или (12.126). Тогда в уравнениях(12.130) вместо функции Р должна использоваться функция(12.131)где— произвольные множители Лагранжа, в общем случае зависящие от времени t.Это будет вариационная задача на так называемый условный экстремум (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
