Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Рассмотрим случай, когдадифференциальное уравнение (13.1) сводится к уравнению второго порядка(13.19)При помощи подстановки(13.20)это уравнение приводится к виду(13.21)Здесь введено обозначение(13.22)При действии единичного импульса f (t ) = δ (t − υ ) для уравнения (13.21) получитсярешение u = z (t − υ ,υ ) , которое связано с весовой функцией ω = z (t − υ ,υ ) исходногоуравнения (13.19) на основании формулы (13.20) соотношениемЕсли же положить f (t ) = δ (t − υ ) , то для уравнения (13.21) будет получена весоваяфункция r (t ) = δ (t − υ ) , которая на основании (13.9) связана с решением z (t ) = δ (t − υ )зависимостьюЭта зависимость на основании свойства дельта-функции может быть представлена в виде(13.24)В результате из (13.23) и (13.24) получаем(13.25)Таким образом, для отыскания функции веса ω (t − υ ,υ ) необходимо предварительнорешить уравнение (13.21), которое приобретает вид(13.26)с нулевыми начальными условиями: u (t ) = 0 и u (t ) = 0 при t = υ .
Полученную прирешении весовую функцию u (t ) = r (t − υ , υ ) необходимо затем подставить в (13.25) инайти ω (t − υ ,υ ) .Решение уравнения (13.26) может быть произведено при помощи использования функцийБесселя [118]. Для этого функция F(t) должна быть аппроксимирована отрезками прямыхлиний, уравнение которых сводится к виду a i + bi t . Однако это решение являетсясравнительно сложным.Ограничимся рассмотрением так называемого аппроксимирующего решения, котороеможет применяться, если функция F(t) мало изменяется относительно своего среднегобольшого значения Fcp(t) (рис.
13.4). Это решение называется аппроксимацией Бриллуина— Вентцеля — Крамера [118].Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение(13.27)Предположим теперь, что для некоторого однородного дифференциального уравнениявторого порядка получено частное решение(13.28)где(13.29)Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет решение (13.28).Продифференцировав его дважды и исключив промежуточные переменные, получаем(13.30)Сравнивая (13.30) и (13.27), видим, что выражение (13.28) будет частным решениемуравнения (13.27), если выполняется тождество(13.31)Решение уравнения (13.31) и отыскание функции N(t) является сложной задачейвследствие наличия нелинейностей в (13.31). Однако может быть найдено приближенноерешение (13.31) в виде ряда, если удовлетворяются неравенстваТогда решение (13.21) можно представить в виде(13.32)Подставляя этот ряд в (13.31), получаем формулы для определения членов ряда;(13.33)Часто можно ограничиться только первым членом ряда (13.22), что будет справедливым,если функция F(t) изменяется медленно, оставаясь в среднем большой (риc.
13.4). Тогда(13.34)При выполнении условия F(t)> 0 в качестве второго частного решения можно взятькомплексно-сопряженную величину (13.29)(13.35)Тогда можно показать, что решение уравнения (13.26) будет(13.36)или, после подстановки (13.28) и (13.35),(13.37)В предельном случае постоянства параметров F (t ) = Ω 2 = const . Тогда S (t ) = Ωt иS (υ ) = Ωυ . В результате из формулы (13.37) можно получить функцию весаконсервативного звенаДля исходного дифференциального уравнения (13.19) на основании (13.25) и (13.37)получаем искомую функцию веса(13.38)Критерием медленности изменения функции F(t) и, следовательно, применимостиполученного выражения может служить неравенство(13.39)которое получается из (13.31) и (13.34).Метод последовательных приближений.
Рассмотрим уравнение (13.1):Ограничиваясь случаем квазистационарных систем и полагая, что коэффициенты a i (t )меняются медленно, найдем функцию веса для этого уравнения.Переменные коэффициенты в левой части исходного уравнения представим в виде суммыпостоянной и изменяющейся частей:(13.40)где a = a i (υ ) — переменный коэффициент, зафиксированный для моментаприложения входной величины t = υ .Тогда исходное дифференциальное уравнение (13.1) можно представить в виде0i(13.41)где(13.42).(13.43),Поскольку мы предположили, что коэффициенты a i (t ) меняются медленно, то функцияу(t) мала по сравнению с левой частью (13.41). Эту функцию можно рассматривать каквозмущение, и тогда к уравнению (13.41) можно применить метод последовательныхприближений.В уравнении (13.41) можно перейти к изображениям по Лапласу.
Тогда получим(13.44)Здесь введено обозначение(13-45)Решение уравнения (13.41) или (13.44) можно записать в виде ряда(13.46)Для получения первого приближения х1 зафиксируем переменные коэффициентыa i (t ) = a i (υ ) . Тогда первое приближение может быть найдено как решениедифференциального уравнения(13.47)Решение этого уравнения можно получить, используя обычные методы ,(см. главу 7), втом числе путем нахождения оригинала, соответствующего изображению (13.44) приУ(р)= 0:(13.48)Для получения второго приближения в правую часть (13.41) или (13.44) подставляетсяпервое приближение х = х1, а в левую часть -х = х1 + х2. Тогда получается уравнение сфиксированными коэффициентами для определения поправки:(13.49)Это уравнение также может быть решено с использованием преобразования Лапласапосредством нахождения оригинала изображениягде У1(р) — изображение у(t) при подстановке в формулу (13.43) х = х1.
Повторяя этотпроцесс многократно, можно найти рекуррентное соотношение для определения k-гочлена ряда (13.46):(13.50)Ряд (13.46) сходится тем быстрее, чем медленнее изменяются коэффициенты a i (t ) .Рассмотренный метод может использоваться как для нахождения функции веса ипереходной функции, так и для построения переходного процесса при любом известномвоздействии f(t).Численно-графический метод. Численно-графический метод Д.
А. Башкирова [98]разработан также применительно к системам с переменными во времени параметрами,причем можно вводить любое переменное возмущающее или задающее воздействие ипроизвольные начальные условия.Неоднородные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Пустьтребуется построить решение уравненияс начальным условием х = х0 при t = 0. Разделив его на уравнение к виду(13.51)гдеУравнение (13.51) можно решать графически, если считать Т постоянным и равным∆tT (t + ) внутри каждого интервала времени (t , t + ∆t ) ,2но различным для разных интервалов.
Формула для решения в этом случае будета процесс построения сводится к следующему. Наносим заданные кривые f(t) и Т(t) (рис.13.5). Из точки Е кривой f(t), взятой в середине первого интервала ∆t , откладываем по∆tгоризонтали отрезок EM = T ( ) , величина которого берется равной ординате точки Н2заданной кривой Т(t), т. е. тоже в середине первого интервала ∆t . Полученная точкаМ соединяется прямой линией с заданной начальной точкой процесса А.В результате получается новая точка В искомой кривой х (t). Затем аналогично беретсяордината точки I, откладывается в виде отрезка FН и проводится прямая NВ, дающаяновую точку С решения х(t), и т. д.Неоднородные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.
Требуетсяпостроить решение уравнениякоторое можно записать также в виде(13.52)гдес начальными условиями х = х0, x = x 0 при t = 0. Если в правой части <13.52) имеетсяоператорное выражение, то предварительно производим вычисление правой части исводим ее к F(t).Если обозначить х1 = Т2 (t)х, то уравнение (13.52) разобьется на два;(13.53)где(13.54)а начальные условия будутФормулы для решения уравнений (13.53) согласно [64, 78] будут(13.55)гдепричем во второй из формул (13.55) значения ∆x берутся со сдвигом на ∆t вправо посравнению с ∆x1 .Отсюда вытекает следующее построение. Наносим заданные кривые T1(t) и T2(t), а такжекривую Т3(t), ординаты которой определяются по второй из формул (13.54). Они показанына графике (рис.
13.6, а).На другом графике наносим заданное f(t) (рис. 13.6, 6). На основании заданных начальныхусловий (см. выше) наносим на последнем графике точки х0, x10 и в середине первогоинтервала (как в § 7.6) еще точку А с ординатой (7.76), т.
е.Из точки Е1 в середине первого интервала ∆t на кривой f(t) откладываем вниз отрезок(вниз, когда он положителен, и вверх, когда он отрицателен). При этом величина x(∆t)2∆t) берется из графика Т3(t),2а величина х0 — из заданных начальных условий. Из полученной точки Е2 откладываемгоризонтальный отрезокберется как ордината уже имеющейся точки А, величина T3 (размер которого берется из графика T1 (t). Точку М соединяем прямой линией с точкойx10, что дает новую точку Н1 кривой х1(t) при t = ∆t .Из точки Н1 откладываем вниз отрезокравный ординате точки А.
Из точки Н2 проводим горизонтальный отрезокразмер которого берется из графика Т2(t). Точку К соединяем с точкой A, что дает новуюточку В искомой кривой х (t) в середине второго интервала ∆t . Опишем еще второй шагинтегрирования. Из точки F1 кривой F(t) в середине второго интервала ∆t откладываетсявниз отрезокгде хв — ордината точки B, полученной выше; tgα — тангенс угла наклона прямой КА,проведенной ранее (он дает требуемое значение х). Откладываем отрезоки проводим прямую N1H1, получая при этом новую точку I1 кривой х1(t).Из точки I1 откладываем вниза затем вправопосле чего проводим прямую LВ.
Это дает новую точку С искомой кривой х(t) и т. д. Всеописанные построения можно заменить числовыми расчетами.§ 13.3. Передаточные функцииСвязь между входной и выходной величинами в системе с переменными параметрамиопределяется интегральной зависимостью (13.9):Предположим, что к входному сигналу f(t) можно применить преобразование Фурье(7.15). Тогда его можно представить в виде (7.16):Объединяя записанные выше две формулы, получаем(13.56)Здесь в первом интеграле нижний предел взят равным − ∞ .
Это отражает тот факт, чтовходное воздействие может начаться в любой момент времени при t < 0, в том числе и приt → −∞ . Меняя в (13.56) порядок интегрирования и умножая правую часть на e jwt e − jwt ,получаем(13.57)Здесь введена частотная передаточная функция системы с переменными параметрами(13.58)Ее можно представить также в следующем виде:(13.59)где θ = t − υ — реверс-смещение, а w(θ , t − θ ) — сопряженная функция веса (13.7).Величина, находящаяся в правой части (13.57) под знаком интеграла, представляет собойизображение Фурье функции времени х(t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
