Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 79
Текст из файла (страница 79)
14.5.Пример системы с запаздыванием. Рассмотрим систему регулирования скоростидвигателя (рис. 1.16). Составим уравнения всех звеньев системы с учетом ихинерционностей. Дополнительно к тому учтем еще запаздывание τ в воздействиирегулирующего органа на объект. Изобразим это введением в структурную схему даннойсистемы дополнительного элемента запаздывания (рис.
14.6). Пусть объект не имеетсамовыравнивания и снабжен регулятором с жесткой обратной связью (рис. 10.11).Уравнения такой системы(14.18)Уравнение замкнутой системы(14.19)где(14.20)Здесь ∆w , ∆y , ∆x , ∆x *—приращения скорости, перемещений золотника ирегулирующего органа и управляющего воздействия; k1, . . ., k5—коэффициенты, T2 и T4—постоянные времени.§ 14.2. Уравнения линейных систем с распределенными параметрамиСистемой автоматического регулирования с распределенными параметрами называетсятакая система, среди уравнений которой кроме обыкновенных дифференциальныхуравнений имеются уравнения в частных производных.
Физически это соответствуетучету волновых явлений или гидравлического удара в трубопроводах, учету волновыхпроцессов в длинных электрических линиях при передаче по ним воздействий от одногозвена системы автоматического регулирования к другому или же при регулированиипроцессов в самих трубопроводах или длинных линиях.Этот вопрос приобретает практическое значение чаще всего в некоторых системахрегулирования, включающих в себя водяные, масляные или газовые трубопроводы (либо вобъекте, либо в регуляторе), реже — в некоторых системах телерегулирования(телеуправления) и т.
п.Известно, например, что водяной трубопровод гидротурбины описывается без учетапотерь уравнениямигде υ — скорость движения воды, h — напор в произвольной точке, определяемойкоординатой х вдоль трубопровода, а — скорость звука в воде.Уравнения длинной электрической линии без потерь имеют видгде u — напряжение, i — ток в произвольной точке, определяемой координатой х вдольлинии, l и с — индуктивность и емкость единицы длины линии.После решения указанных уравнений в частных производных с учетом граничныхусловий, определяемых смежными звеньями данной системы автоматическогорегулирования, для системы в целом получаются дифференциально-разностныеуравнения того же типа, как и для систем с запаздыванием.Рассмотрим вывод уравнений системы автоматического регулирования давления газа втрубопроводе, схема которой изображена на рис.
14.7. В данном случае сам регулируемыйобъект (трубопровод) является звеном с распределенными параметрами. Для простотыбудем считать его прямолинейным, а всех потребителей — сосредоточенными на концетрубопровода.Регулятор состоит из чувствительного элемента 2 (мембранный измеритель давления),Подача усилителей 3 и 4 (струйная трубка и пневматический двигатель) с жесткойобратной связью 5 и из регулирующего Рис. 14.7. органа 6 (клапан). Возмущающеевоздействие f(t) на объект выражается в изменении по произволу потребителейнекоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода.Уравнение регулируемого объекта. Движение газа в трубопроводе подчиняетсяуравнению(12.21)Учтем также условие постоянства массы(14.22)и адиабатическое уравнение состояния газа(14-23)В этих уравнениях w, р, р — соответственно скорость, давление и плотность газа втекущем сечении трубопровода с координатой l в момент времени t (вся длинатрубопровода обозначается через L); k — показатель степени в уравненииадиабатического состояния газа; индексы 0 вверху (р°, р°) означают, что данные величиныотносятся к установившемуся состоянию системы.
Продифференцировав (14.23),получаем(14.24)Откудагде а — скорость звука в газе, определяемая формулой(12.25)Обычно не учитывают сопротивления движения газа в трубопроводе, пренебрегая∂w∂ρсравнительно малыми членами wи w. Кроме того, ввиду малости величины∂l∂lотклонения давления р в процессе регулирования от его установившегося значения можноpρсчитать, что 0 ≈ 1 , а следовательно, согласно (14.23) 0 ≈ 1 . В результате из уравненийρp(14.21), (14.22) и (14.24) получаем(14.26)Введем обозначения для относительного отклонения <р регулируемой величины от ееустановившегося значения и для относительной координаты К вдоль трубопровода:(14.27)а также для относительного отклонения λ скорости движения газа в трубопроводе:(14.28)где w0 — скорость газа в трубопроводе при установившемся процессе, k— показательстепени в адиабатическом уравнении состояния газа (14.23).
Переходя в уравнениях(14.26) к этим относительным безразмерным переменным и бесконечно малымприращениям, получаем искомые уравнения регулируемого объекта (трубопровода) ввиде(14.29)где введены два постоянных параметра регулируемого объекта:(14-30)Первый из них (Т0) представляет собой, очевидно, время прохождения газа по данномутрубопроводу в установившемся процессе, а второй ( γ ) — отношение установившейсяскорости газа к скорости звука в нем.Заметим, что уравнения (14.29) эквивалентны так называемому волновому уравнению(14.31)которое легко получается, если первое из уравнений (14.29) продифференцировать по λ , авторое — по t и сравнить результаты дифференцирования.Для системы уравнений в частных производных (14.29) надо написать граничные условия.Для этого запишем уравнение поступления газа через регулирующий клапан в началетрубопровода и уравнение потребления газа в конце его.Используем выражение для скорости газа через его расход, а именно:(14.32)где G — расход газа по весу в секунду, F — площадь сечения трубопровода, g —ускорение силы тяжести.Условимся значения всех переменных, относящихся к началу и к концу трубопровода,обозначать индексами 1 и 2 соответственно.
Расход газа в начале трубопровода G будемсчитать функцией координаты перемещения регулирующего клапана х, т. е.(14.33)Эта функция (рис. 14.8) определяется либо аналитическим расчетом, либо из опытныхданных.На основании уравнений (14.32), (14.33), а также формул главы 3 малое отклонение ∆w1величины скорости в начале трубопровода от ее установившегося значения w° будет(14.34)установившиеся значения w°, G°, р° пишутся без индекса 1, так как они одинаковы вдоль⎛ ∂ρ ⎞всего трубопровода). Величина ⎜ 1 ⎟ есть тангенс угла наклона касательной в точке С⎝ ∂x ⎠(рис. 14.8), соответствующей установившемуся процессу в трубопроводе. На основании(14.23) и (14.25)Введем безразмерную величину относительного отклонения регулирующего клапана:(14.35)где хн — условное номинальное значение, равное(14.36)Кроме того, заметим, что согласно (14.32)(14.37)Подставляя все это в (14.34), с учетом (14.28) и (14.27) получаем уравнение поступлениягаза через регулирующий клапан в начале трубопровода;(14.38)которое является первым граничным условием для уравнений объекта (14.29).
Расход газав конце трубопровода у потребителей можно записать согласно (14.32) в виде(14.39)С другой стороны, известно, что при выходе газа из трубопровода (в случае критическогоистечения, которым мы для простоты и ограничимся) будет(14.40)где Q — площадь некоторого эквивалентного выходного сечения на конце трубопровода употребителей (это величина, которая может меняться как угодно по произволупотребителя; она выражает собой, следовательно, внешнее возмущающее воздействие наданную систему регулирования), р2 — давление в конце трубопровода перед выходом кпотребителям, υ 2 — удельный объем газа там же.Уравнение для отклонения величины расхода в процессе регулирования от егоустановившегося значения в линеаризованном виде на основании (14.39), (14.23), (14.37) и(14.27) будет(14.41)Выразим ∆G 2 также из (14.40), т.
е. через изменение выходного сечения у потребителей,считая для простоты υ 2 = const = υ 0 :Учитывая, что из (14.40)(14.42)и вводя безразмерную величину изменения выходного сечения, т. е. внешнеговозмущающего воздействия(14.43)получим(14.44)Сравнение выражений (14.41) и (14.44) дает искомое уравнение потребления газа в концетрубопровода:(14.45)которое является вторым граничным условием для уравнения объекта (14.29).
Уравнениепотребления (14.45) записано для общего случая процесса регулирования с переменнымвнешним возмущающим воздействием, выраженным через относительную величинувыходного сечения f у потребителей. При исследовании же переходного процесса всистеме, когда после некоторого возмущения потребление установилось (Q = соnst f =0),уравнение (14.45) будет иметь вид(14-46)Уравнения регулятора. Уравнение чувствительного элемента(14-47)здесь T1,Т2 и k1 — постоянные времени и коэффициент передачи, а(14-48)Ун — некоторое номинальное перемещение.Индекс 1 при переменной ϕ в уравнении (14.47) означает, что чувствительный элементизмеряет давление газа в начале трубопровода.Уравнение управляющего элемента со струйной трубкой(14.49)Уравнение пневматического двигателя на основании (5.137) будет(14.50)где Тs — время двигателя.Уравнение жесткой обратной связи согласно рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
